考慮接觸效應(yīng)的拉桿轉(zhuǎn)子非線性動力學(xué)特性分析*

申 鵬 劉瀟波 趙 立,2 閆建勇 柳亦兵

（1.華北電力大學(xué) 電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點(diǎn)實驗室；2.北京能源投資集團(tuán)有限公司；3.北京英華達(dá)軟件公司）

0 引言

盤式拉桿轉(zhuǎn)子廣泛應(yīng)用于燃?xì)廨啓C(jī)和航空發(fā)動機(jī)，其結(jié)構(gòu)形式本質(zhì)為由拉桿螺栓連接并壓緊的多盤組合式轉(zhuǎn)子。由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)存在不連續(xù)性，與傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)差異較大，使轉(zhuǎn)子可能產(chǎn)生一些新的故障因素。因此有必要對兩種轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性展開研究，以便更好地針對拉桿轉(zhuǎn)子展開研究工作。

近年來，有大量的學(xué)者對拉桿轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性及運(yùn)行穩(wěn)定性開展研究，取得了豐碩的成果[1-7]。本團(tuán)隊胡亮[7-9]等也針對轉(zhuǎn)軸裂紋與動靜碰磨等傳統(tǒng)故障模式以及轉(zhuǎn)子中各拉桿螺栓預(yù)緊力分布不均勻?qū)е罗D(zhuǎn)子產(chǎn)生初始撓曲的新故障問題對拉桿式轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響展開了研究，研究表明這些故障模式會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)較豐富的非線性行為，相關(guān)結(jié)果對拉桿轉(zhuǎn)子預(yù)緊力不均勻的故障診斷有指導(dǎo)意義[10-11]。由于拉桿螺栓的預(yù)緊作用，輪盤之間的接觸效應(yīng)是區(qū)別于整體式轉(zhuǎn)子的重要特征，在拉桿轉(zhuǎn)子動特性的研究中，對于輪盤之間接觸層抗彎剛度的計算就變得十分重要。也有很多學(xué)者提出了各種行之有效的計算方法[11-17]，包括接觸理論、有限元方法、虛擬材料層以及分形理論等。

現(xiàn)有文獻(xiàn)在研究拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性時，將盤間接觸剛度時等效為具有3次非線性性質(zhì)的抗彎彈簧，在處理中并沒有解釋如此處理的原因，且抗彎彈簧的非線性剛度值的確定來源也不明確，相比于文獻(xiàn)中的等效方式，采用接觸理論明確了盤間接觸剛度與盤間預(yù)緊力的關(guān)系，確定轉(zhuǎn)子輪盤之間接觸剛度更具合理性，并將這種合理接觸剛度模型引入拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型中。為此本文針對同樣物理結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子模型建立了考慮盤間接觸作用的拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，并將拉桿轉(zhuǎn)子?；癁閱伪P整體式轉(zhuǎn)子，建立整體式轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，兩個轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型都考慮了非線性油膜力及輪盤不平衡質(zhì)量等影響因素，然后利用經(jīng)典的4階龍格庫塔法進(jìn)行求解，討論了不同轉(zhuǎn)速下兩種轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的差異。

1 物理模型與動力學(xué)方程

圖1（a）為搭建的兩盤拉桿式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗臺，轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的兩個輪盤由六根拉桿螺栓連接，支撐方式為滑動軸承支撐，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由變頻電機(jī)驅(qū)動?；谠撐锢砟Ｐ?，將其簡化為由兩個軸承處的集中質(zhì)量、輪盤處的集中質(zhì)量、接觸層（剛度）和無質(zhì)量彈性桿組成的集中質(zhì)量模型，如圖1（b）所示。在建模中忽略轉(zhuǎn)子的軸向振動和扭轉(zhuǎn)振動，僅考慮各集中質(zhì)量的彎曲振動。

圖1 拉桿轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 The schematic diagram of the rod-fastened rotor bearing system

根據(jù)各集中質(zhì)量受力分析及達(dá)朗伯原理建立考慮陀螺力矩的16自由度兩盤拉桿式轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型見式（2），式中ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，F(xiàn)bx，F(xiàn)by是軸承軸頸受到的非線性油膜力，F(xiàn)x，F(xiàn)y，Mx和My分別為拉桿式轉(zhuǎn)子輪盤之間接觸作用的傳遞力與力矩。同時將拉桿轉(zhuǎn)子?；癁椴豢紤]盤間接觸剛度的單盤整體式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并建立整體式轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)模型。為了方便展示分析結(jié)果，將式（1）代入式（2），對系統(tǒng)微分方程作無量綱化處理：

式中c為軸承油膜平均間隙，c1為單位標(biāo)稱角度。

1.1 輪盤間接觸剛度計算

根據(jù)文獻(xiàn)[12-14]可以將輪盤間的接觸作用等效為均布彈簧加鉸鏈的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步可以等效為一個扭簧的形式，如圖2（a）所示。其中鉸鏈的作用為限制兩輪盤集中質(zhì)量塊的線位移，均布彈簧主要作用是提供接觸層的抗彎剛度，限制兩集中質(zhì)量塊的角位移，在ZOX平面內(nèi)，接觸面間接觸作用的簡化力學(xué)模型見式（3）：

圖2 輪盤間接觸特性簡化示意圖Fig.2 The schematic diagram of simplification of contact characteristics between two wheels

1.2 非線性油膜力模型

通過求解雷諾方程可以得到滑動軸承非線性油膜力，本文選用的滑動軸承在軸向的影響弱于徑向，因此在建立拉桿式轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型時采用了基于短軸承理論的Capone非線性油膜力模型[18-19]，并有如下假設(shè)：滑動軸承軸向尺寸相對于周向尺寸較小，周向油膜壓力分布變化率基本為0，對油膜力影響較小可忽略，潤滑油動力粘度為常數(shù)，潤滑油是不可壓縮的液體等。

根據(jù)雷諾方程得到無量綱非線性油膜力在x方向和y方向分量的表達(dá)式。式中X,Y是滑動軸承軸頸x方向和y方向無量綱位移，X=x/c，Y=y/c。Z是軸頸中心無量綱軸向位移，h是油膜厚度。

V（X,Y,α）、S（X,Y,α）、G（X,Y,α）及α的具體表達(dá)式如下：

2 轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)動特性的影響

建立的拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和整體式轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型，受非線性油膜力和不平衡質(zhì)量離心力共同作用，因此轉(zhuǎn)速時離心激振力最主要的因素，因此轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速將會對拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動特性產(chǎn)生影響，接下來借助MATLAB程序平臺，采用經(jīng)典4階龍格庫塔法進(jìn)行求解，得到系統(tǒng)響應(yīng)，進(jìn)而討論分析不同轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速時兩種系統(tǒng)的動力學(xué)特性差異，研究的轉(zhuǎn)速范圍為300～2 000rad/s。

表1 兩盤拉桿轉(zhuǎn)子物理模型參數(shù)Tab.1 The physical model parameters of rod-fastened rotor

探究轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)動特性的影響，設(shè)置兩個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所有輪盤不平衡質(zhì)量偏心距均為e=8e-6m，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輪盤間總預(yù)緊力設(shè)置為飽和狀態(tài)，為Fp=50000N，根據(jù)接觸理論計算得盤間接觸剛度為Kc=2.435 4e+7N/m。如圖2所示，為單盤整體式轉(zhuǎn)子和兩盤拉桿式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輪盤位移響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖。

從圖2（a）中可以看出，對于單盤整體式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在較低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，系統(tǒng)處于單周期運(yùn)動狀態(tài)，于720rad/s附近，發(fā)生陣發(fā)性分岔，進(jìn)入周期2運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)轉(zhuǎn)速大于900rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)逐漸進(jìn)入準(zhǔn)周期運(yùn)動或混沌運(yùn)動。轉(zhuǎn)子處于1 040rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)穩(wěn)定性增強(qiáng)，發(fā)散性減弱，之后隨著轉(zhuǎn)速的提高，系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)穩(wěn)定性又逐漸變差，轉(zhuǎn)子運(yùn)動方式變?yōu)榛煦邕\(yùn)動。從圖2（b）可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的升高，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)位移響應(yīng)呈現(xiàn)出較豐富的動力學(xué)特性。當(dāng)轉(zhuǎn)速低于850rad/s時，系統(tǒng)始終處于單周期的運(yùn)動狀態(tài)，高于850rad/s時系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生分岔進(jìn)入周期2運(yùn)動狀態(tài)，當(dāng)轉(zhuǎn)速處于1 130～1 180rad/s中間時，系統(tǒng)短暫的處于準(zhǔn)周期運(yùn)動狀態(tài)或混沌運(yùn)動狀態(tài)，之后又進(jìn)入周期2運(yùn)動狀態(tài)。當(dāng)轉(zhuǎn)速高于1 250rad/s低于1 345rad/s時轉(zhuǎn)子運(yùn)行穩(wěn)定性下降，發(fā)散性增強(qiáng)，轉(zhuǎn)為準(zhǔn)周期運(yùn)動狀態(tài)或混沌狀態(tài)。高于1 345rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定性增強(qiáng)，恢復(fù)為周期2運(yùn)動狀態(tài)，當(dāng)轉(zhuǎn)速提高至1 660rad/s時，系統(tǒng)穩(wěn)定性稍稍下降，變?yōu)閹в兄芷诙\(yùn)動特征的準(zhǔn)周期運(yùn)動。當(dāng)轉(zhuǎn)速處于1 940rad/s和1 955rad/s之間時，系統(tǒng)響應(yīng)的吸引子數(shù)量由兩個變?yōu)橐粋€，穩(wěn)定性進(jìn)一步下降，當(dāng)轉(zhuǎn)速高于1 955rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)又轉(zhuǎn)變?yōu)閹в兄芷诙\(yùn)動特征的準(zhǔn)周期運(yùn)動狀態(tài)。對比圖2（a）（b），可以發(fā)現(xiàn)，相比于單盤整體式轉(zhuǎn)子，考慮盤間接觸效應(yīng)的影響，會使系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的非線性動力學(xué)行為更加復(fù)雜，在中高轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)在周期運(yùn)動與準(zhǔn)周期運(yùn)動或混沌運(yùn)動狀態(tài)之間出現(xiàn)多次反復(fù)，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)初次發(fā)生分岔的轉(zhuǎn)速值變大，響應(yīng)的幅值減小。相同的是在低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，系統(tǒng)狀態(tài)不受轉(zhuǎn)速變化影響。

如圖3和圖4所示為轉(zhuǎn)速分別處于1 300rad/s、1 500rad/s和1 950rad/s時，單盤整體式轉(zhuǎn)子和兩盤拉桿式轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)位移響應(yīng)的Poincare映射圖。從圖3可以看出，單盤整體式轉(zhuǎn)子處于不同轉(zhuǎn)速時，Poincare圖中包含兩個吸引子，并分別呈規(guī)則短線狀，說明系統(tǒng)狀態(tài)為帶有周期2特征的混沌運(yùn)動狀態(tài)。從圖4可以看出，當(dāng)拉桿轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為1 300rad/s時，Poincare圖中包含有兩個呈散點(diǎn)狀的吸引子，說明系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動狀態(tài)；轉(zhuǎn)速為1 500rad/s時，Poincare圖中為兩個單點(diǎn)，說明系統(tǒng)處于周期2運(yùn)動狀態(tài)；轉(zhuǎn)速為1950rad/s時，Poincare映射為環(huán)狀，說明系統(tǒng)此時處于準(zhǔn)周期運(yùn)動狀態(tài)。

對比圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)，不同轉(zhuǎn)速下，單盤整體式轉(zhuǎn)子運(yùn)動形式相似，而拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)差異很大，表明考慮盤間接觸作用建立拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型會增加系統(tǒng)非線性行為的復(fù)雜性。

圖2 輪盤x方向位移響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖Fig.2 The displacement response bifurcation diagram of rotor system inxdirection with rotating speed increasing

圖3 各轉(zhuǎn)速下單盤整體式轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)Poincare圖Fig.3 Response Poincare map of integral rotor system at different speed

圖4 各轉(zhuǎn)速下兩盤拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)Poincare圖Fig.4 Response Poincare map of rod-fastened rotor system at different speed

3 結(jié)論

本文根據(jù)達(dá)朗伯原理建立了單盤整體式轉(zhuǎn)子和兩盤拉桿式轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)動力學(xué)模型，模型受不平衡力和非線性油膜力激勵，拉桿轉(zhuǎn)子輪盤之間接觸剛度由接觸理論計算得到，使用4階龍格庫塔法進(jìn)行求解，并使用分岔圖和Poincare圖等數(shù)學(xué)工具探討了不同轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速時，兩種轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動特性的差異。通過研究得到隨著轉(zhuǎn)速變化，相比于單盤整體式轉(zhuǎn)子，考慮盤間接觸效應(yīng)的影響，會使系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化的非線性動力學(xué)行為更加復(fù)雜，在中高轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)在周期運(yùn)動與準(zhǔn)周期運(yùn)動或混沌運(yùn)動狀態(tài)之間出現(xiàn)多次反復(fù)，拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)初次發(fā)生分岔的轉(zhuǎn)速值變大，響應(yīng)的幅值減小。相同的是在低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)不受轉(zhuǎn)速變化影響。

綜上，研究結(jié)果表明輪盤之間的接觸作用會較大幅度改變系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性，在拉桿轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)特性的研究中，忽略輪盤之間的接觸作用是不合理的，研究取得的相關(guān)結(jié)論，可以加深我們對拉桿式轉(zhuǎn)子運(yùn)行中動力學(xué)特性的理解，為拉桿轉(zhuǎn)子的實際安全運(yùn)行提供參考價值。