多尺度自適應直接信息采樣與重構(gòu)

李 成，晉玉猛，田文飚

（1.91001部隊，北京100036；2.中國新興鑄管股份有限公司，河北邯鄲056300；3.海軍航空大學，山東煙臺264001）

如今，許多信號寬帶較大，常規(guī)采樣器件可能有采集壓力，但在典型應用中這些信號的“信息速率”通常很小。近年來，在壓縮感知[1-4]（Compressed Sensing，CS）框架下，可以通過多尺度壓縮感知（基于數(shù)字信號）獲取壓縮表示形式[5-8]，但這種模式還是基于傳統(tǒng)的先高速采樣、后大量丟棄的思路。人們開始考慮能否在執(zhí)行模數(shù)轉(zhuǎn)換時同時實現(xiàn)壓縮，即直接獲取壓縮表示，然后完全重構(gòu)其稀疏信息。

CS框架下的直接信息采樣[9-11]（Analog-to-Information Conversion，AIC）技術非常適合這些應用場景，已在機器學習[12]、圖像壓縮[13]、視頻壓縮[14]、無線傳感器網(wǎng)絡[15]以及模式識別[16]等等眾多領域應用，能夠大大降低數(shù)據(jù)采集速率（匹配信號的信息速率），因為AIC能夠僅關注輸入信號當中的信息，而這些信息往往是稀疏的。另外，有些信號盡管不是絕對稀疏的，但它們在像小波域這樣的變換域中可壓縮。國際上對AIC的研究取得了一些成果[9-10]，它們往往假設信號在頻域稀疏（存在有限個整數(shù)頻率分量），對信號進行均勻低速的隨機觀測。這往往存在局限性，例如：采集對象為非多音信號的情況，均勻采樣忽視了信號中不同的尺度在重構(gòu)中占據(jù)的不同地位[17]。小波[18]在信號壓縮中的優(yōu)勢不言而喻，現(xiàn)考慮建立多尺度直接信息采樣框架，在采樣的同時，針對信號的不同尺度，實行不同的觀測速率即進行不同程度的壓縮并重構(gòu)。

1 自適應直接信息采樣框架

1.1 AIC設計方案

直接信息采樣系統(tǒng)由3部分組成：解調(diào)器、積分器以及常規(guī)采樣單元，AIC設計方案如圖1所示。模擬信號首先被一個NHz（信號x(t)的Nyquist頻率）的偽隨機最大長度PN序列pc(t)解調(diào)，其取值為±1，即

接著，對解調(diào)后的信號進行低通濾波，這里的低通濾波簡化為一個積分過程，完成Ms時間內(nèi)解調(diào)信號的累加。解調(diào)的目的在于擴展頻譜以保證低通濾波后信息的完整性。最后，利用常規(guī)的ADC器件以速率M進行采樣、量化后得到信息觀測值序列y[m]。

圖1 AIC設計方案Fig.1 Composition block diagram ofAIC

1.2 信號模型

信號x(t)在小波域稀疏或近似稀疏，將其在小波基上展開：

式（1）中：aj0,k為信號x()t的第j0級尺度系數(shù)；dj,k為信號x(t)的第j級小波系數(shù)。將信號x(t)的j級小波分解系數(shù)表示成矢量形式：

根據(jù)稀疏性假設，α中非零元素或大系數(shù)的個數(shù)應當遠遠小于系數(shù)的總數(shù)。

不妨在1 s內(nèi)考察整個系統(tǒng)（當然也可以選擇其他時間分辨率），現(xiàn)以離散時間表示信號，令

式中，T1=N為PN序列一個碼元的持續(xù)時間，在這個時間間隔內(nèi)PN序列取值為一個常數(shù)。因此，可以先來考察積分器對信號的作用：

這里，Φ(t)、Ψ(t)分別為尺度函數(shù)φ(t)、小波函數(shù)ψ(t)的原函數(shù)。

定義N×N矩陣：

于是，式（2）可寫為矩陣形式β=W′α。

1.3 自適應直接信息采樣

因為PN序列一個碼元的持續(xù)時間為T1=N，在1 s內(nèi)PN序列的N個碼元構(gòu)成切割序列（Chipping Sequence）ε0,ε1,…,εN-1對信號的作用可寫成矩陣形式β?Dβ，其中，

接下來考察低速采樣器的影響。信號觀測值可表示為：

當T1能夠整除T2時（即M整除N），式（3）中的積分可以分解為個積分區(qū)間長度為T1的子積分，且在對應區(qū)間內(nèi)pc(τ)為一個常數(shù)。低速采樣器的作用可表示為一個M×N的矩陣H，其第i行從第列起為個連續(xù)的1，其余項均為0，i∈[0,M-1]。當T1不能整除T2時，則說明存在某些對觀測值需要“共享”PN序列的一個碼元。文獻[11]中給出了一種近似：

由α的結(jié)構(gòu)知道，其中尺度系數(shù)(aj0,?) 蘊含了大部分信號能量，考慮利用傳統(tǒng)的Nyquist采樣方式對其采集，而精細系數(shù)則用壓縮采樣的方式采集。

2 信號重構(gòu)算法

矩陣W′的計算涉及第j0級尺度函數(shù)和第1至j0級小波函數(shù)的定積分，計算比較復雜，另外，現(xiàn)有算法往往基于均勻采樣，因而在本文框架下實現(xiàn)自適應速率采樣后性能將大幅下降?？煽紤]對W′進行簡化。實現(xiàn)步驟如下：

式（6）中：H和G是分解低通和高通濾波器矩陣，分別由具有p消失矩的小波生成，它們的每一行都是一個長度為2j-1的矢量，如：

第i行則由其循環(huán)右移2( )i-1次；E為單位陣。

可以證明，這樣構(gòu)造的W是一個正交小波變換矩陣，而WT是逆變換矩陣。

定理1：令x為一個長度為N的信號矢量，X為其j-級正交小波變換，它們滿足：

式（7）、（8）中：W滿足式（5）、（6）定義，且WWT=E；X=[ajdj…d2d1]TN×1，其中，aj和dj為x的第j-級粗系數(shù)和精系數(shù)。

根據(jù)小波變換的定義：

且小波分解可用矩陣形式描述aj+1=Hj+1?aj，dj+1=Gj+1?aj。令

x=WTX。

恰如式（8），定理得證。

算法1：自適應正交匹配追蹤（Adaptive Orthogonal Matching Pursuit，AOMP）。

AOMP（Φ,y）

Input：觀測矩陣ΦM×N，觀測值yM×1，正交小波矩陣WN×N，最大迭代次數(shù)m（稀疏度）

Output：目標信號估計x?N×1

通過引入弱匹配因子μ，避免了常規(guī)貪婪算法需要稀疏度已知的難題，由迭代停止條件 ‖rn‖2＞‖rn-1‖2可知，迭代過程中rn能量單調(diào)遞減，算法至少收斂到一個局部最小點。

3 數(shù)值實驗及結(jié)果分析

3.1 自適應直接信息采樣重構(gòu)實驗

為了驗證自適應直接信息采樣和AOMP算法的有效性，使用長度為4 096點的測試信號作為Matlab/Simulink環(huán)境中的模擬輸入。其Nyquist采樣頻率為8 kHz，原始信號如圖2 a）所示。測量數(shù)M為1 024，選取sym3小波基，小波閾值ξ分別設置3個不同的值10-2、10和102以重構(gòu)原始輸入并對照?；謴托盘柕钠骄鶐貥?gòu)信噪比（Average Frame-Reconstruction SNR，AFSNR）為34.22dB、34.51dB和32.1dB，即，盡管信號僅通過Nyquist采樣頻率的25%進行測量，但絕大多數(shù)能量或信息包含在自適應直接信息采樣的壓縮觀測數(shù)據(jù)當中。

式中：J為總幀數(shù)；xi和x?i為第i幀原信號及其重構(gòu)信號。

圖2 原信號以及3個閾值下的重構(gòu)信號Fig.2 Original signal and reconstructed signal at three thresholds

3.2 壓縮性能分析

對提出的多尺度自適應AIC系統(tǒng)和原始AIC系統(tǒng)的AFSNR性能進行了比較，采樣率（M/N）范圍為10%～100%。多尺度自適應AIC系統(tǒng)基于sym3和db2正交小波矩陣和AOMP重建算法，而原始AIC系統(tǒng)基于離散余弦變換（DCT）和OMP恢復算法。

從圖3中可以看出，隨著采樣率的提高，AFSNR性能會越來越好。此外，發(fā)現(xiàn)多尺度自適應AIC系統(tǒng)具有比原始AIC系統(tǒng)更好的性能，并且sym3小波矩陣的AFSNR性能略好于db2小波。

3.3 分解級數(shù)對重構(gòu)性能的影響

信號與前次實驗相同，壓縮比固定為25%，在多尺度自適應AIC系統(tǒng)中，基于sym3和db2正交小波矩陣和AOMP重建算法考察不同分解級數(shù)對重構(gòu)性能的影響，考慮到信號長度，級數(shù)從1步進到10，結(jié)果如圖4所示。

圖3 壓縮性能分析對比圖Fig.3 Comparison of compression performance

圖4 分解級數(shù)對重構(gòu)性能的影響分析Fig.4 Influence analysis of decomposition level on reconstruction performance

圖4表明，在分解級數(shù)較少的情況下（小于4），信號幾乎不能重建，原因是其分解系數(shù)不夠稀疏。此外，為達到相同的重構(gòu)性能，sym3小波基下的重構(gòu)要求的分解級數(shù)更少，而同樣分解級數(shù)下，sym3小波基下的重構(gòu)準確性比db2小波基下的重構(gòu)準確性更好。

4 結(jié)論

本文提出了一種多尺度自適應直接信息采樣與重構(gòu)方法，通過在直接信息采樣系統(tǒng)中引入自適應信息采樣，實現(xiàn)對信號不同尺度的稀疏系數(shù)進行不同程度的壓縮。該方法易實現(xiàn)，通過在恢復端引入小波矩陣等效地解決了信號壓縮采集融合的問題。提出了自適應OMP算法，仿真結(jié)果表明，多尺度自適應AIC系統(tǒng)可以獲得比傳統(tǒng)AIC系統(tǒng)更好的AFSNR性能。

下一步可將多尺度自適應AIC系統(tǒng)推廣使之適應不同的稀疏字典。