一種齊當(dāng)別思想下的量子決策模型：對(duì)囚徒困境中的分離效應(yīng)的解釋*

辛瀟洋 李 瑛 畢研玲 晏碧華

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一種齊當(dāng)別思想下的量子決策模型：對(duì)囚徒困境中的分離效應(yīng)的解釋

辛瀟洋 李 瑛 畢研玲 晏碧華

(陜西師范大學(xué)心理學(xué)院暨陜西省行為與認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710062)

量子決策模型是近10年來(lái)提出的一種新型決策模型, 用以解釋那些違背經(jīng)典決策模型的現(xiàn)象。雖然當(dāng)前的量子決策模型能夠解釋囚徒困境中的分離效應(yīng), 但其中卻存在一些困難, 即會(huì)產(chǎn)生反常的概率關(guān)系以及無(wú)法精確擬合分離效應(yīng)量較大的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。本研究在分析當(dāng)前量子決策模型困難的基礎(chǔ)上, 結(jié)合齊當(dāng)別思想對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。結(jié)果表明, 研究所構(gòu)建的量子決策模型克服了當(dāng)前模型中的困難, 并且能夠預(yù)測(cè)囚徒困境博弈中由他人收益差距改變而引起的分離效應(yīng)變化趨勢(shì)。本研究還是一次啟發(fā)式?jīng)Q策模型與計(jì)算式?jīng)Q策模型相結(jié)合的探索。

量子; 決策; 齊當(dāng)別; 分離效應(yīng); 囚徒困境

1 引言

早期的決策研究大都遵循個(gè)體完全理性的理論假設(shè), 認(rèn)為人們的決策是追求自我利益的最大化。在這種早期“經(jīng)典”理論的影響之下, Savage (1954)提出了確定事件(sure-thing principle)原則, 所謂確定事件原則是指如果決策者知道事件E會(huì)發(fā)生, 他會(huì)采取行動(dòng)A; 如果決策者知道事件E不會(huì)發(fā)生, 他仍會(huì)采取行動(dòng)A; 以此觀之, 決策者在不知道事件E是否會(huì)發(fā)生的情況下, 也會(huì)采取行動(dòng)A。然而, 大量研究表明, 決策者并非總是遵循這一原則, 即當(dāng)決策者不知道事件E是否會(huì)發(fā)生的情況下, 他會(huì)拒絕行動(dòng)A, 這一現(xiàn)象被稱為分離效應(yīng)(Tversky & Shafir, 1992; 汪祚軍, 李紓, 2008)。

一系列的研究已經(jīng)證實(shí), 在一次性二人囚徒困境博弈中, 決策者的行為往往也會(huì)違背確定事件原則, 出現(xiàn)分離效應(yīng)(Busemeyer, Matthew, & Wang, 2006; Croson, 1999; Li & Taplin, 2002; Tversky & Shafir, 1992)。在這一博弈中, 只有合作和背叛兩種策略可供博弈雙方選擇。無(wú)論對(duì)方選擇合作還是背叛, 當(dāng)自己選擇背叛時(shí), 收益是最大的(標(biāo)準(zhǔn)囚徒困境博弈中的收益矩陣如表1所示, 其中π>π>π>π) (Denolf, Martínez, Josephy, & Duran, 2017; Smith, 1982), 因此選擇背叛是決策雙方的優(yōu)勢(shì)策略。根據(jù)確定事件原則, 在對(duì)方策略不明的情況下, 決策者做出背叛的可能性應(yīng)該介于兩種確定的狀態(tài)(對(duì)方背叛、對(duì)方合作)下決策者背叛的可能性之間。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 此時(shí)決策者背叛的可能性小于兩種確定狀態(tài)下決策者背叛的可能性, 即出現(xiàn)了分離效應(yīng)。例如, 在Shafir和Tversky (1992)的研究中,在兩種確定情況下(已知對(duì)手背叛/合作), 決策者選擇背叛的概率分別為97%和84%, 而在對(duì)手決策未知這一情況下, 決策者選擇背叛的概率卻只有63%。

表1 標(biāo)準(zhǔn)囚徒困境博弈中收益矩陣

近10年來(lái), 一些學(xué)者基于量子理論研究思想與方法探索出了量子決策模型, 為解釋諸如分離效應(yīng)這樣違背傳統(tǒng)決策理論的現(xiàn)象提供了新思路。量子決策模型能夠給出獨(dú)立于模型的參數(shù)和實(shí)證數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè), 且針對(duì)不同研究問(wèn)題所構(gòu)建模型的表述形式也不盡相同(Blutner, Pothos, & Bruza, 2013; Bruza, Wang, & Busemeyer, 2015; Busemeyer & Wang, 2015; Busemeyer, Wang, Khrennikov, & Basieva, 2014; 辛瀟洋, 徐晨虹, 陳宏玉, 李瑛, 2018)。其中, 針對(duì)囚徒困境中出現(xiàn)的分離效應(yīng), Pothos和Busemeyer借鑒認(rèn)知失調(diào)理論構(gòu)建了可以解釋囚徒困境中分離效應(yīng)的四維動(dòng)態(tài)量子決策模型(Pothos & Busemeyer, 2009; Busemeyer & Bruza, 2012)。但是, 當(dāng)前量子決策模型在解釋囚徒困境時(shí), 仍存在一些困難之處。接下來(lái), 本文將首先指出并分析這些困難, 并在此基礎(chǔ)上, 提出解決這些困難的方法。

2 當(dāng)前量子決策模型的困難

由Jerome R. Busemeyer教授等人提出的, 用以解釋囚徒困境博弈中的分離效應(yīng)的四維量子決策模型是一種較為成熟的動(dòng)態(tài)量子決策模型, 這種模型及其變式可用來(lái)解釋兩階段賭博任務(wù)中的分離效應(yīng)以及分類?決策中的干涉效應(yīng)等違背傳統(tǒng)決策模型的現(xiàn)象(Busemeyer, Wang, & Lambert-Mogiliansky, 2009; Pothos & Busemeyer, 2009; Busemeyer & Bruza, 2012; Busemeyer, Wang, & Pothos, 2015; Wang & Busemeyer, 2016)。然而, 這種模型在對(duì)囚徒困境中分離效應(yīng)進(jìn)行分析解釋的過(guò)程中, 存在著一些困難, 接下來(lái), 本文將指出這些困難, 并分析產(chǎn)生這些困難的原因。

2.1 四維標(biāo)準(zhǔn)量子決策模型

2.2 Pothos和Busemeyer (2009)對(duì)四維標(biāo)準(zhǔn)量子決策模型的改進(jìn)

Pothos和Busemeyer (2009)認(rèn)為, 決策者在決策過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知失調(diào), Wang和Busemeyer (2016)后來(lái)將其稱為信念與行為的糾纏(belief-action entanglement), Shafir和Tversky (1992)則把這種個(gè)人的偏見(jiàn)表述為“一廂情愿”(wishful thinking), 即當(dāng)決策者認(rèn)為對(duì)手的策略為合作/背叛時(shí), 他傾向于采取同樣的行動(dòng)(Festinger, 1957), 這種信念與行動(dòng)間的關(guān)系可由式(4)所示的矩陣表示：

進(jìn)一步的分析可以發(fā)現(xiàn), 這一區(qū)域正對(duì)應(yīng)于圖1(a)中存在明顯分離效應(yīng)的區(qū)域(冷色區(qū)域), 也就是說(shuō), 圖1(a)中存在分離效應(yīng)的冷色區(qū)域大部分是存在著(背叛│對(duì)手合作) >(背叛│對(duì)手背叛)這一奇怪關(guān)系的“無(wú)效”區(qū)域。將圖1(a)中這些“無(wú)效”區(qū)域剔除后的有效區(qū)域如圖1(c)所示(彩色部分為有效區(qū)域), 此時(shí), 便出現(xiàn)了第二個(gè)困難——雖然這一部分能夠解釋的最大分離效應(yīng)量的絕對(duì)值為0.25左右, 但這些極大值區(qū)域較少, 對(duì)于分離效應(yīng)量較大的研究結(jié)果(如Shafir和Tversky (1992)的研究)依舊難以精確擬合(擬合結(jié)果見(jiàn)表2)。

若我們繼續(xù)探究的話, 便會(huì)發(fā)現(xiàn)這一模型的第三個(gè)困難, 即無(wú)法解釋決策者自身收益之差的效用函數(shù)與分離效應(yīng)量之間的關(guān)系。已有的研究已經(jīng)證實(shí), 當(dāng)決策者的收益之差增大時(shí), 會(huì)導(dǎo)致分離效應(yīng)的減少(Li & Taplin, 2002; 李紓, 2016)。而從圖1(c)中可以看出, 當(dāng)增大時(shí), 分離效應(yīng)量的絕對(duì)值反而呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)。

3 一種齊當(dāng)別思想下的量子決策模型

3.1 齊當(dāng)別模型對(duì)囚徒困境中分離效應(yīng)的解釋

齊當(dāng)別模型認(rèn)為, 左右人類風(fēng)險(xiǎn)決策行為的機(jī)制不是最大限度地追求某種形式的期望值, 而是某種形式上辨察選擇對(duì)象之間是否存在“優(yōu)勢(shì)性”關(guān)系, 并借助最好可能結(jié)果和最壞可能結(jié)果對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征。人們必須在一個(gè)或幾個(gè)維度上將差別較小的可能結(jié)果人為地“齊同”掉, 而在差別較大的維度上選擇出具有優(yōu)勢(shì)的選項(xiàng)(Li & Taplin, 2002; 畢研玲, 李紓, 2007; 李紓, 2005; 李紓等, 2009)。因此, 該模型認(rèn)為, 在一次性標(biāo)準(zhǔn)囚徒困境實(shí)驗(yàn)中, 決策者在不同條件下決策所基于的“維度”是不同的。在兩種確定條件下, 由于在“自己收益維度”上, 背叛明顯優(yōu)于合作, 因此決策者傾向于將“他人收益維度”上的差異“齊同”掉, 從而在“自己收益維度”上做決策, 選擇對(duì)自己有利的行為(背叛); 而在不確定條件下, 由于在“自己收益維度”上, 背叛策略不再明顯地優(yōu)于合作策略, 而在“他人收益維度”上, 合作策略明顯優(yōu)于背叛策略, 這樣, 決策者抑或傾向于將“自己收益維度”上的差異“齊同”掉, 而在“他人收益維度”上做決策, 選擇對(duì)他人有利的行為(合作) (Li & Taplin, 2002; 李紓, 2016; 汪祚軍, 李紓, 2008)。

表2 不同研究中決策者選擇背叛的概率以及不同量子決策模型的擬合結(jié)果

注：括號(hào)內(nèi)為先前的量子模型擬合結(jié)果/本研究提出的量子模型的擬合結(jié)果

據(jù)此可知, 當(dāng)決策者處于兩種對(duì)手策略確定的情況時(shí), 他是基于自己的收益做決策的, 此時(shí)量子決策模型中的哈密頓矩陣可根據(jù)決策者自身維度上的效用函數(shù)進(jìn)行定義。當(dāng)決策者處于不確定的決策條件時(shí)(對(duì)手策略未知), 若決策者只處于“他人收益維度”上, 那么選擇合作便是這一維度上的占優(yōu)選項(xiàng), 此時(shí)決策者選擇合作的概率應(yīng)大于選擇背叛的概率, 而這與實(shí)際研究結(jié)果卻不相符。以此觀之, 此時(shí)決策者應(yīng)該既考慮自己的收益, 又兼顧他人的收益, 因此, 在對(duì)手策略未知的情況下, 哈密頓矩陣需要根據(jù)決策者以及他人的效用函數(shù)進(jìn)行定義。接下來(lái), 本文將基于以上分析對(duì)量子決策模型進(jìn)行修正與重構(gòu)。

3.2 齊當(dāng)別思想下量子決策模型的重構(gòu)

3.2.1 確定條件下哈密頓矩陣的修正

接下來(lái), 我們便需要解決2.1中效用函數(shù)過(guò)度簡(jiǎn)化的問(wèn)題, 即如何定義一個(gè)能夠有效反映決策者收益之差的效用函數(shù)。我們選擇使用預(yù)期理論中的價(jià)值函數(shù), 并對(duì)其做適當(dāng)?shù)臍w一處理, 使其取值在?1與1之間, 以滿足量子決策模型對(duì)于效用函數(shù)取值范圍的要求：

3.2.2 不確定條件下哈密頓矩陣的修正

當(dāng)對(duì)手策略未知時(shí), 決策者會(huì)將“他人收益維度”列入自己的決策標(biāo)準(zhǔn)之內(nèi)。此時(shí), 決策者決策時(shí)除了會(huì)參考自己的收益維度, 也會(huì)考慮他人的收益維度。此時(shí)的哈密頓矩陣便可以通過(guò)兩個(gè)分別代表自身收益和他人收益的哈密頓矩陣疊加而成。

其中, 代表決策者自身收益的哈密頓矩陣可表示為：

而代表他人收益的哈密頓矩陣可表示為：

3.3 齊當(dāng)別思想下的量子決策模型對(duì)囚徒困境中分離效應(yīng)的解釋

圖2 本研究所提出的量子決策模型中(背叛│對(duì)手合作)?(背叛│對(duì)手背叛)以及分離效應(yīng)量與和之間關(guān)系的3D著色表面圖(其中模型參數(shù)=/4,=3/8)

圖3 本研究所提出的量子決策模型中收益增加量Dp與分離效應(yīng)量之間的關(guān)系(模型其余參數(shù)為擬合Shafir和Tversky (1992)研究所得參數(shù))

4 討論

4.1 啟發(fā)式與計(jì)算式的融合

自從Herbert Simon提出“有限理性”的概念以來(lái), 在此基礎(chǔ)上形成的啟發(fā)式(Heuristic)決策模型已經(jīng)在決策領(lǐng)域取得了許多重要的成就(Baron, 2007; Gigerenzer & Todd, 1999; Tversky & Kahneman, 1974)。大多數(shù)啟發(fā)式?jīng)Q策模型, 例如齊當(dāng)別模型, 以決策模型的三因素分類體系來(lái)看, 屬于非補(bǔ)償性和確定性的決策模型(Stevenson, Busemeyer, & Naylor, 1990)。由于存在非補(bǔ)償性, 這類模型會(huì)對(duì)一些信息進(jìn)行簡(jiǎn)化或剔除, 進(jìn)而簡(jiǎn)化分析過(guò)程; 但由于該模型的確定性(Kubovy, Rapoport, & Tversky, 1971; 李紓, 2016), 使其無(wú)法精確描述決策者在不同條件下做出決定的概率。

量子決策模型, 屬于計(jì)算式(Computational)或數(shù)學(xué)(Mathematical)決策模型, 從決策模型的分類體系標(biāo)準(zhǔn)來(lái)看, 屬于具有隨機(jī)性的決策模型。因?yàn)槠渚哂须S機(jī)性, 可以通過(guò)概率函數(shù)的形式表征決策結(jié)果, 所以這類模型可以定量描述分離效應(yīng)(Busemeyer & Townsend, 1993; Payne & Bettman, 2004)。但是, 先前的量子決策模型, 過(guò)度簡(jiǎn)化了模型的構(gòu)建過(guò)程, 并缺乏對(duì)實(shí)際決策過(guò)程中決策者策略的深入思考。因此, 在解釋分離效應(yīng)時(shí)存在困難。

本研究所提出的量子決策模型, 立足于四維量子決策模型, 借鑒了齊當(dāng)別思想對(duì)模型進(jìn)行了重構(gòu)?？梢苑Q之為一種計(jì)算式與啟發(fā)式相融合的決策模型。而這種齊當(dāng)別思想下的量子決策模型, 解決了先前量子決策模型中所存在的困難, 同時(shí)也為今后決策模型的構(gòu)建添加了新的可能性。

4.2 囚徒困境中決策者信念與行為的糾纏

本研究所提出的量子決策模型中, 依舊保留了原量子模型中表示信念與行動(dòng)糾纏的哈密頓矩陣H。那么, 是否可以忽略這一糾纏效應(yīng), 進(jìn)而完全按照齊當(dāng)別思想來(lái)構(gòu)建量子決策模型呢？本研究的結(jié)果表明, 當(dāng)分離效應(yīng)量較小時(shí)(如Li & Taplan (2002)的研究結(jié)果), 模型的最佳擬合參數(shù)中=0, 說(shuō)明此時(shí)H是可以去除的; 但當(dāng)分離效應(yīng)量較大時(shí), 若去除H, 則會(huì)使擬合誤差大幅提升, 如對(duì)Shafir和Tversky (1992)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合時(shí), 絕對(duì)誤差便會(huì)從原先的0.04上升至0.09, 增大了兩倍, 可見(jiàn)此時(shí)去除H是不合適的。綜上所述, 信念與行為的糾纏對(duì)于解釋分離效應(yīng)量較大的研究是不可或缺的。

5 結(jié)論與展望

本文提出了一種結(jié)合齊當(dāng)別思想的量子決策模型, 研究表明這一模型解決了先前量子決策模型中存在的困難。當(dāng)然, 正如量子決策模型的奠基者Jerome R. Busemeyer教授所指出的, 類似量子決策模型這樣的數(shù)學(xué)決策模型, 就像剛剛進(jìn)入決策之城的小孩子一樣(Busemeyer & Johnson, 2008), 需要不斷地成長(zhǎng)才能獲得屬于自己的一席之地。因此, 作為這些“小孩子”中的一員, 本研究所提出的這種量子決策模型, 也有值得進(jìn)一步探討與發(fā)展之處, 主要總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

(1) 模型的擴(kuò)展應(yīng)用。本文提出的這種量子模型, 未來(lái)可以嘗試解釋諸如兩階段賭博任務(wù)中的分離效應(yīng), 以及分類?決策(Categorization-decision)實(shí)驗(yàn)中的干涉效應(yīng)(Busemeyer et al., 2009; Townsend, Silva, Spencer-Smith, & Wenger, 2000; Wang & Busemeyer, 2016)等違背經(jīng)典決策模型的問(wèn)題。

(2) 模型的動(dòng)態(tài)化探究。在量子決策模型中, 由于薛定諤方程以及其解中存在時(shí)間參數(shù), 因此量子模型又是一種動(dòng)態(tài)的(Dynamical)模型(Busemeyer, Wang, & Townsend, 2006)。但是, 目前大多數(shù)相關(guān)研究中, 為了簡(jiǎn)化問(wèn)題探討, 往往將時(shí)間設(shè)為固定值, 而在實(shí)際問(wèn)題中, 決策時(shí)間的不同會(huì)對(duì)決策者的最終決策產(chǎn)生影響, 而對(duì)于量子決策模型來(lái)說(shuō)也是如此, 因此, 探究一種具有“動(dòng)態(tài)化”的量子決策模型也具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

(3) 更加“真實(shí)”的量子決策模型。包括本研究在內(nèi)的大多數(shù)動(dòng)態(tài)量子決策模型, 都是“理想的”模型。例如, 模型中決策者的信念行為狀態(tài)(包括基態(tài)以及疊加態(tài)), 是一種“純凈的”、“理想的”量子態(tài)(純態(tài)), 這就意味著決策者(被試)間的差異可以忽略, 模型可以通過(guò)平均行為傾向來(lái)描述被試群體行為特點(diǎn); 模型中的測(cè)量是“完美的”, 即在測(cè)量時(shí)(或要求被試報(bào)告結(jié)果時(shí))所測(cè)得的結(jié)果能夠完全表示決策者所處的信念行為狀態(tài)(Yearsley, 2017)。但是在現(xiàn)實(shí)中, 由于受到各種條件的影響(噪音), 決策過(guò)程往往不會(huì)如此理想化。在未來(lái)的研究中, 通過(guò)在模型中構(gòu)建適當(dāng)?shù)脑胍? 不僅可增強(qiáng)模型的真實(shí)性, 而且可以據(jù)此來(lái)判別在一定的情況下是否真的存在分離效應(yīng)抑或僅僅是實(shí)驗(yàn)中存在的“噪音”。

(4) 啟發(fā)式?jīng)Q策模型與計(jì)算式?jīng)Q策模型的融合。長(zhǎng)期以來(lái), 計(jì)算式的決策模型(如決策場(chǎng)模型與馬爾科夫決策模型)由于其較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), 往往不能為大多數(shù)研究者所理解; 而計(jì)算式?jīng)Q策模型的研究者, 在其構(gòu)建模型的過(guò)程中, 往往將重心放在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上, 從而忽視了與其相關(guān)的啟發(fā)式?jīng)Q策模型。通過(guò)本研究的結(jié)果, 可以看出, 啟發(fā)式?jīng)Q策模型與計(jì)算式?jīng)Q策模型能夠很好地融合, 通過(guò)啟發(fā)式的思想對(duì)計(jì)算式的模型進(jìn)行改進(jìn), 不僅能夠解決計(jì)算式模型中存在的一些困難, 而且能使啟發(fā)式的思想以較為客觀的數(shù)學(xué)形式展現(xiàn)出來(lái), 讓其具有量化解釋問(wèn)題的能力。因此, 啟發(fā)式?jīng)Q策模型與計(jì)算式?jīng)Q策模型的融合, 具有重要的理論意義與廣闊的發(fā)展前景。

致謝：作者感謝兩位匿名審稿專家對(duì)本文提出的嚴(yán)謹(jǐn)而富有建設(shè)性的意見(jiàn)。

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Quantum decision-making model based on equate-to-differentiate method: Explanation for the disjunction effect in prisoner’s dilemma

XIN Xiaoyang; LI Ying; BI Yanling; YAN Bihua

(School of Psychology, Shaanxi Normal University & Key Laboratory of Behavioral and Cognitive Neuroscience of Shaanxi Province, Xi’an 710062, China)

One of the most puzzling findings in decision research field is the disjunction effect. Several studies demonstrate that the disjunction effect exists in a two-person prisoner’s dilemma game. This effect violates the sure-thing principle and cannot be explained by classical decision-making models. During the recent decade, quantum decision making models have been established on the basis of the mathematical structure and methodologies of quantum mechanics. Owing to their special theoretical structures, quantum decision-making models are well suited for explaining the disjunction effect, although these models continue to encounter difficulties.

This study aims to overcome the difficulties in existing quantum decision-making models by developing a modified model. To achieve this goal, the deficiencies of the previous models were analyzed. We concluded three deficiencies: 1) Although previous quantum decision-making models can account for the disjunction effect, they can also obtain findings that defy the experimental results and common sense. 2) They cannot explain the disjunction effect with large values in certain experiments (e.g., the experiment of Shafir & Tversky, 1992). 3) They cannot properly illustrate the relationship between the utility of decision maker’s pay off and the scale of the disjunction effect.

The reasons for these difficulties were investigated. An important reason is that previous quantum decision-making models ignore that the decision maker may consider another’s pay off based on different decision conditions. Another reason is the over-simplicity of the utility function. With the above analyses as basis, we adopted the equate-to-differentiate method to rebuild the quantum decision-making model. In this new model, whether the decision maker considers another’s pay off or not based on a specific decision condition is determined with the equate-to-differentiate method. In addition, the utility function is redefined by value function and hyperbolic tangent transformation.

Results revealed that the new quantum decision-making model overcomes the difficulties in previous quantum decision-making models. The proposed model is an integration of heuristic and computational or mathematical models. This ideal model integration deserves much attention and has good theoretical significance and application prospects.

quantum; decision-making; equate-to-differentiate; disjunction effect; prisoner’s dilemma

2018-05-30

* 陜西省科技統(tǒng)籌創(chuàng)新工程計(jì)劃項(xiàng)目(2015KTZDSF02-02)以及陜西師范大學(xué)教師教育研究項(xiàng)目(JSJY2018002)。

李瑛, E-mail: liying@snnu.edu.cn

10.3724/SP.J.1041.2019.00724

B841.2; C934