基于m-Capon的多陣列直接定位算法*

譚智文，駱吉安，左 燕

（杭州電子科技大學自動化學院，杭州 310018）

0 引言

通過多個陣列接收未知輻射源信號并確定其位置的無源定位技術(shù)在雷達、聲納、通信等領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注和研究［1-6］。在傳統(tǒng)的多陣列測向定位技術(shù)中，通常采用測角交叉二次定位方法［7-8］，即利用多個陣列的陣元對輻射源的波達信號（DOA）進行數(shù)字采樣并估計其DOA值，將DOA值傳輸至融合中心建立相應(yīng)的數(shù)學模型實現(xiàn)交叉定位，然而這種定位技術(shù)存在著顯著的缺陷，即存在著低信噪比情況下定位精度不高和多目標情況下定位模糊等問題。針對上述問題，Weiss等人考慮到接收信號來自于同一輻射源這一空間關(guān)聯(lián)特性，提出了一種直接利用數(shù)字采樣數(shù)據(jù)的直接定位方法［9-11］（DPD），該方法相比二次定位方法的特點是無需參數(shù)估計，避免了參數(shù)估計帶來的信息損失，因而在低信噪比下能有更好的定位性能。同時在DPD方法的啟示下，羅景青等人提出了同樣無需參數(shù)估計的目標信息場定位方法［12-14］（PIF）；直接定位方法技術(shù)在分布式相控陣列的應(yīng)用上，唐碩和尤丹丹分別提出了基于旋轉(zhuǎn)不變子空間（ESPRIT）和多重信號分類（Music）的目標直接定位方法［15-16］。ESPRIT和Music算法是空間譜估計理論中兩種經(jīng)典的子空間類DOA估計算法，該類算法在確定噪聲子空間和兩個子陣之間的特征值時，都必須以預知或判定目標個數(shù)為前提，因而在低信噪比下ESPRIT和Music算法的定位性能會受到信噪比的極大影響，即目標個數(shù)估計算法的正確率會隨著信噪比的下降而下降。

針對上述問題，本文在未知信源數(shù)的參數(shù)估計算法的啟示下［17-18］，提出了基于m-Capon的多陣列直接定位算法，該算法在Capon算法和Music算法的基礎(chǔ)上，通過近似逼近的方法得到Music算法中的代價函數(shù)，有效地避免了因目標個數(shù)預知和預判錯誤，導致Music等算法不能正確獲得其代價函數(shù)的問題，同時相對于Capon算法改善了其在低信噪比的條件下定位性能不足的問題。在定位結(jié)果求解問題上，本文考慮首先利用經(jīng)典的網(wǎng)格法建立網(wǎng)格化的空間譜值矩陣，然后對網(wǎng)格化的空間譜值矩陣進行向量化處理，并且利用爬山算法提取其中的波峰作為目標位置的定位結(jié)果，與此同時也得到了目標個數(shù)即為所提取的波峰個數(shù)。

1 多陣列信號模型及算法分析

1.1 多陣列信號模型

考慮由M個陣列，每個陣列由N個接收陣元組成的多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)，如圖1所示。假陣列結(jié)點的位置已知，記第i個未知目標的位置為，第m個陣列的第1個陣元位置為針對遠場第k個方位的目標，則第m個陣列的N個接收陣元接收到的信號可以表示為：

圖1 多陣列聯(lián)合定位示意圖

式中，sm，k，l表示第l時刻從遠場入射到第m個陣列的第k個窄帶輻射源信號，其中為陣列流形矢量，為第m個陣列的噪聲矩陣，θm，k為第k個窄帶輻射源信號相對于第m個陣列的方位角。其表達式如下：

將式（1）簡化為：

再令

將所有陣列的接收數(shù)據(jù)寫為矢量形式為：

對第m個陣列的接收數(shù)據(jù)進行特征值分解可得：

實際上真實的協(xié)方差矩陣Rm是未知的，利用L次快拍采樣數(shù)據(jù)對協(xié)方差進行估計可得：

式（11）中，（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置。

1.2 CRLB分析

假設(shè)不同陣列之間的量測相互獨立，同一陣列各陣元的測量相互獨立，且噪聲功率相似為a2。在該假設(shè)條件下，類似于文獻［18］的計算方法，可得：

1.3 目標定位算法

Music算法和Capon算法是空間譜估計中兩種各具優(yōu)勢的典型波達方向估計算法。從算法的簡易性上來說，Music算法是以預判或預知信號源個數(shù)為前提，而Capon算法則不需要以預判或預知信號源個數(shù)；從估計精度上來說，在低信噪比條件下，Capon算法的性能往往不如Music算法。利用目標位置估計代替DOA參數(shù)估計，更能體現(xiàn)出多陣列對未知目標直接定位的特點。下面分別對2種算法進行介紹。

1.3.1 Music定位算法

基于子空間投影的原理，Music定位算法的空間譜函數(shù)為：

顯然可知，空間譜函數(shù)的極大值點即為目標位置估計為：

式（13）近似表示陣列的接收導向矢量與噪聲子空間之間的距離，故會在各陣列的真實目標方位的附近產(chǎn)生峰值，通過多個陣列峰值的匯集形成極大值點，從而實現(xiàn)超分辨地對未知目標定位。但是，實際中該算法的性能會受到兩方面的影響，一方面是協(xié)方差估計的準確性依賴于快拍采樣數(shù)據(jù)的次數(shù)；另一方面該算法的實現(xiàn)必須預判或預知目標個數(shù)作為前提，若目標數(shù)目估計錯誤會使相應(yīng)的陣列不能得到有效的噪聲子空間，進而導致算法定位失效。

1.3.2 Capon定位算法

以最小方差準則為優(yōu)化準則，Capon定位算法的空間譜函數(shù)為：

同樣地，目標位置估計為：

2 基于m-Capon的目標定位算法

由上面的分析可以看出，在有限快拍數(shù)的條件下，基于子空間類的目標定位算法性能會隨著信號源個數(shù)估計正確率的降低而降低，即信噪比的降低而降低。為了提高目標定位算法性能，避免對目標個數(shù)的估計，本文考慮在Music及Capon算法原理的基礎(chǔ)上，給出一種通過近似噪聲子空間和噪聲子空間共軛轉(zhuǎn)置積的m-Capon目標定位算法。

2.1 m-Capon定位算法

對于協(xié)方差矩陣可以分解表示為：

將式（17）進一步推導，可得：

通過式（19）可以得到一個無需預判或預知目標個數(shù)進行特征值分解得到噪聲子空間和噪聲子空間共軛轉(zhuǎn)置積的近似方法。式（19）表明，當m→∞時才收斂到噪聲子空間，實際應(yīng)用中，m只要取有限的整數(shù)，就可以達到很好的性能。利用式（19），將式（13）的空間譜函數(shù)改寫為：

目標位置估計為：

2.2 m-Capon定位解算方法

由于目標個數(shù)是未知的，因此，對式（21）的求解包括了未知目標個數(shù)和位置的解算兩個部分。在傳統(tǒng)的定位算法中，可以根據(jù)已知的目標個數(shù)信息進行自由選擇解算方法，在單目標情況下，可以選用粒子群算法（PSO）進行解算，以降低算法復雜度；在多目標情況下，則需要對探測空間的空間譜進行建立，然后提取其中的譜峰。本文考慮首先設(shè)定探測空間搜索步長得到網(wǎng)格化的探測空間譜，接著將空間譜進行向量化處理并設(shè)定子集進行邊緣提取，最后由爬山搜索算法對其峰值進行提取作為目標個數(shù)和目標位置的估計。

對探測空間V設(shè)定橫縱坐標等距劃分維數(shù)Nx、Ny得到網(wǎng)格化的探測空間集合為：

將探測空間V由式（22）計算對應(yīng)的空間譜圖像為：

將式（23）向量化處理可得：

記ei為e的第i個元素，，然后設(shè)定分割子集數(shù)l，求得曲線邊緣矢量ε，計算公式為：

綜上所述，基于m-Capon的多陣列被動目標直接定位算法流程如下：

3）設(shè)定網(wǎng)格步長 Step，由 F（x，y）計算其函數(shù)值，并向量化后的e；

4）設(shè)定分割子集數(shù)l，由式（25）對向量化后的e的邊沿曲線進行提??；

5）對第4步所得結(jié)果，由式（26）進行求解，得到目標的位置和個數(shù)估計。

3 仿真實驗

3.1 單目標仿真

為了對比本文所提算法與經(jīng)典Music算法之間的性能，不考慮目標個數(shù)估計的錯誤對Music算法的影響，Music算法的目標個數(shù)均為已知的情況下進行仿真。目標定位結(jié)果的解算方法均采用本文所提的m-Capon定位解算方法進行解算，以下不再重述。仿真環(huán)境：多陣列聯(lián)合定位系統(tǒng)由位置分別位于：s1=［0 km，0 km］T、s2=［10 km，0 km］T、s3=［0 km，10 km］T的3個陣列構(gòu)成；未知目標位置為p1=［16 km，15 km］T，陣列接收陣元個數(shù)均為7，陣元之間的間隔設(shè)置為0.03 m，采樣次數(shù)L=2 000，信號載頻fc=1 GHz；信號類型為線性調(diào)頻信號；分割子集數(shù)l=100；轉(zhuǎn)移狀態(tài)的范圍η=3；探測空間V范圍為：x軸15 km～25 km，y軸10 km～20 km；本文算法中的m設(shè)置為10；網(wǎng)格步長step=50 m；繪制仿真結(jié)果如下頁圖2所示。

圖2（a）表示了信噪比為：-5 dB 時，m-Capon 算法單目標網(wǎng)格化探測空間譜圖像，從圖2（a）可以看出，m-Capon算法通過近似噪聲子空間的方式能對目標有效地進行定位；下面考察平均均方根誤差（Root Mean Square Errot，RMSE）與信噪比之間的關(guān)系。仿真結(jié)果由50次蒙特卡羅仿真平均獲得，RMSE誤差曲線與信噪比關(guān)系如圖2（b）所示，可以看出3種算法的估計偏差大致相同；當信噪比高于-10 dB時，3種算法的RMSE趨于穩(wěn)定且逼近于CRLB下界，同時從圖2（b）中可以看到，在信噪比高于-10 dB情況下，3種算法的定位誤差均收斂于50 m，因此，可以根據(jù)自己的精度需求設(shè)置相應(yīng)的網(wǎng)格步長。

圖2 單個目標定位仿真結(jié)果圖

3.2 多目標仿真

圖3 兩個目標定位仿真結(jié)果圖

表1 本文所提解算方法和傳統(tǒng)解算方法運行時間比較

仿真環(huán)境：未知目標位置為 p1=［20 km，15 km］T，p2=［16km，16km］T；其他參數(shù)設(shè)置不變。仿真結(jié)果如圖3（a）～ 圖3（d）所示，圖3（a）表示信噪比為：-5 dB時，m-Capon算法兩個目標空間譜圖像，從圖中可以看出，m-Capon算法能夠定位多個目標。圖3（b）表示50次蒙特卡羅后的平均RMSE誤差曲線，從圖中可以看出，Music算法和m-Capon算法定位誤差大致相同，Capon算法誤差最大；當信噪比大于-10 dB時，Music算法和m-Capon算法定位誤差開始漸進于CRLB，而Capon算法定位誤差較大；在信噪比大于10 dB時，3種算法的定位誤差逼近于CRLB。圖3（c）表示3種算法估計目標個數(shù)與信噪比之間關(guān)系，從圖中可以看出，當信噪比大于-10 dB時，Music算法和m-Capon算法的空間圖像已能準確估計目標個數(shù)，而Capon算法需要信噪比大于2 dB才能準確估計目標個數(shù)，結(jié)合圖3（b）對比可以發(fā)現(xiàn)，Capon算法與m-Capon算法相比，m-Capon算法收斂速度明顯快于Capon算法。圖3（d）表示了m-Capon算法中定位誤差與m的取值之間的關(guān)系，從圖3（d）中可以看出，即可滿足定位精度的需要，通過對m取有限值即可達到很好的性能并且隨著m值的增大，其取值為5～10即可滿足定位精度的要求，m-Capon算法的定位性能逐步提高，同時也驗證了式（19）的有效性。

3.3 時效分析

下面對本文所提解算方法與傳統(tǒng)解算方法和量子粒子群解算方法的計算時間進行對比，PSO算法迭代次數(shù)設(shè)置為15次，網(wǎng)格步長100 m，其他參數(shù)均保持不變，計算機操作系統(tǒng)：Microsoft Windows 7 Ultimate；CPU：Intel（R）Core（TM）i3-2310M；內(nèi)存：6.00 GB，MATLAB：2014b。經(jīng)過 50 次蒙特卡羅實驗后得到算法單次運行平均時間如表1所示，從表1可以看出，Capon和m-Capon算法在目標個數(shù)為1個或2個時，傳統(tǒng)方法和本文方法的運行時間基本一致，且略快于Music算法；PSO算法需要較多的迭代次數(shù)，因此，單次運行平均時間耗時較高。綜上所述，Capon算法與m-Capon算法相比，運行時間上大致相同，且略快于Music算法。

4 結(jié)論

本文針對Capon算法在低信噪比下性能不足的問題，提出一種無需目標個數(shù)的多陣列目標直接定位算法。該算法引入m-Capon的算法思想，結(jié)合了Capon算法和Music的優(yōu)點，利用協(xié)方差逆的高階冪方法近似逼近得到Music算法中的代價函數(shù)，然后利用經(jīng)典網(wǎng)格搜索和爬山搜索算法分別對目標個數(shù)和位置進行求解。仿真結(jié)果表明，在低信噪比下，m-Capon算法性能漸進于Music算法且優(yōu)于Capon算法；在高信噪比下，三算法的性能相當且接近克拉美羅下界。