應(yīng)用混合單元基光滑點(diǎn)插值法的聲固耦合分析

陳澤聰，陳毓珍，何智成，張桂勇,4,5，王海英

(1．大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院 遼寧省深海浮動(dòng)結(jié)構(gòu)工程實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；2.中國(guó)船舶工業(yè)集團(tuán) 上海船舶研究設(shè)計(jì)院，上海 201203；3.湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082；4．大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024；5.高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240；6.大連海洋大學(xué) 航海與船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

結(jié)構(gòu)在受到載荷激勵(lì)的時(shí)候，會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，同時(shí)通過(guò)壓縮附近的流體介質(zhì)向周?chē)晥?chǎng)輻射噪聲，而聲場(chǎng)聲壓的變化反過(guò)來(lái)又會(huì)激勵(lì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，形成結(jié)構(gòu)與聲學(xué)介質(zhì)相互作用的結(jié)構(gòu)聲振耦合系統(tǒng)。在汽車(chē)、船舶和飛機(jī)等結(jié)構(gòu)體的振動(dòng)噪聲分析中，基本都涉及到結(jié)構(gòu)和聲學(xué)介質(zhì)的相互作用，所以聲固耦合系統(tǒng)的研究一直是振動(dòng)與噪聲控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。高效精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)耦合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)響應(yīng)有著十分重要的意義，不但可以為結(jié)構(gòu)件的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供依據(jù)，而且對(duì)系統(tǒng)采取的減振降噪措施具有指導(dǎo)性作用。

結(jié)構(gòu)聲振耦合系統(tǒng)的數(shù)值模擬包括結(jié)構(gòu)、聲場(chǎng)和它們之間的相互作用。Gladwell等[1]最早建立了基于不同場(chǎng)變量如位移或力相關(guān)量的聲固耦合理論公式，并進(jìn)行薄板與空氣的聲振耦合分析。Craggs[2]詳細(xì)推導(dǎo)了混合變量(結(jié)構(gòu)采用位移變量而聲場(chǎng)采用聲壓變量)聲固耦合系統(tǒng)的有限元方程，使有限元法(Finite Element Method,FEM)逐漸成為解決聲固耦合問(wèn)題的重要手段。但因?yàn)橛邢拊╗3]是對(duì)全域進(jìn)行離散，所以主要應(yīng)用于有界聲場(chǎng)的聲固耦合分析，且由于其矩陣的稀疏性，相比邊界元計(jì)算內(nèi)聲場(chǎng)效率較高。針對(duì)無(wú)界聲場(chǎng)問(wèn)題，一般采用邊界元法(Boundary Element Method,BEM)[4]進(jìn)行模擬，它只需要對(duì)聲場(chǎng)的邊界進(jìn)行離散，并且自動(dòng)滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處的Sommerfeld輻射邊界條件，在結(jié)構(gòu)聲輻射等外聲場(chǎng)問(wèn)題中具有明顯的優(yōu)勢(shì)。目前，Nastran、LMS Virtual.Lab Acoustics等常用商業(yè)軟件的結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)耦合分析主要采用的就是有限元/有限元耦合法(FEM/FEM)[5-7]和有限元/邊界元耦合法(FEM/BEM)[8-10]。在滿足聲學(xué)經(jīng)驗(yàn)法則[11](一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)至少要有6個(gè)線性單元)的前提下，這兩種方法在低頻的結(jié)構(gòu)聲振耦合數(shù)值模擬中都能得到很好的結(jié)果。但隨著頻率的升高，色散誤差逐漸增大并占據(jù)主導(dǎo)地位；其根本原因是有限元法和邊界元法形成的系統(tǒng)剛度偏硬，導(dǎo)致計(jì)算的聲音傳播速度比實(shí)際聲速快，從而給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)較大誤差。通過(guò)減小單元尺寸可以在一定程度上抑制色散誤差，但同時(shí)會(huì)帶來(lái)巨大的計(jì)算時(shí)間代價(jià)。

近年來(lái)Liu等[12]提出了基于廣義梯度光滑技術(shù)的光滑有限元法(Smoothed Finite Element Method,SFEM)和光滑點(diǎn)插值法(Smoothed Point Interpolation Method,SPIM)[13]。理論證明及大量的數(shù)值算例說(shuō)明光滑方法能夠有效地軟化系統(tǒng)剛度，從而提高結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)的計(jì)算精度。姚凌云等[14]將二維光滑有限元應(yīng)用到聲固耦合分析的結(jié)構(gòu)域中，提出了光滑有限元/有限元耦合法(SFEM/FEM)，得到了比FEM/FEM更高的精度，但沒(méi)有對(duì)聲學(xué)單元進(jìn)行光滑處理。何智成等[15]構(gòu)建了三維邊光滑有限元(Edge-Based Smoothed Tetrahedron Finite Element Method,ES-T-FEM)來(lái)計(jì)算結(jié)構(gòu)聲振耦合中的流體域，結(jié)合二維邊基光滑有限元(Edge-based Smoothed-FEM,ESFEM)的Mindlin板單元進(jìn)行耦合分析，其計(jì)算精度甚至超過(guò)了改進(jìn)的六面體單元。為了得到無(wú)限接近連續(xù)系統(tǒng)的剛度，Li等[16]還通過(guò)混合光滑有限元方法(HS(Hybrid Smoothed)FEM)(點(diǎn)基光滑有限元(NS(Node-based Smoothed)FEM)與線性有限元的結(jié)合)來(lái)分別逼近結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)的系統(tǒng)剛度，并進(jìn)行結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)響應(yīng)分析，得到的結(jié)果與參考解非常吻合。但是，ESFEM和NSFEM都需要重新構(gòu)造光滑域來(lái)進(jìn)行梯度光滑處理。

本文將Liu等[17]提出的混合單元基光滑點(diǎn)插值法(CSαPIM)應(yīng)用于聲場(chǎng)的數(shù)值模擬，結(jié)合邊基光滑有限元(ESFEM)的板單元[18]，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)聲振耦合分析。與ESFEM和HSFEM相比，由于基于單元的光滑點(diǎn)插值法(Cell-based Smoothed Point Interpolation Method,CSPIM)的光滑域和背景單元重合，因此在形成混合單元基光滑點(diǎn)插值法(CSαPIM)時(shí)不需要在背景網(wǎng)格的基礎(chǔ)上生成局部光滑域，計(jì)算形狀函數(shù)時(shí)只需要在徑向基函數(shù)形函數(shù)基礎(chǔ)上以一定權(quán)重加上線性有限元對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)即可。而且，由于線性有限元采用線性插值方式，在邊界面上的3個(gè)節(jié)點(diǎn)形函數(shù)為一定值1/3，使得計(jì)算過(guò)程更加方便高效。在此聲固耦合系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)采用二維三角形板網(wǎng)格，聲場(chǎng)采用三維四面體網(wǎng)格，可以很好地適應(yīng)任意復(fù)雜幾何模型，減少前處理的工作量。同時(shí)，由于計(jì)算精度的提高，尤其是針對(duì)較高頻率的色散誤差具有明顯的抑制作用，在相同尺寸的網(wǎng)格下，可計(jì)算的頻率范圍更寬，具有極大的工程實(shí)用意義。

1 構(gòu)造基于ESFEM的Mindlin板單元

板結(jié)構(gòu)在汽車(chē)、船舶和飛機(jī)等交通工具的艙室中應(yīng)用廣泛，研究板結(jié)構(gòu)與聲場(chǎng)的耦合作用具有十分重要的工程意義。此處采用二維的三角形Mindlin板單元來(lái)模擬結(jié)構(gòu)域，無(wú)阻尼板結(jié)構(gòu)振動(dòng)的離散方程可寫(xiě)為

(1)

(2)

(3)

(4)

為了消除Mindlin板單元的剪切自鎖現(xiàn)象，這里引入離散剪切間隙法(Discrete Shear Gap,DSG)[19]來(lái)處理單元的剪切剛度，從而提高計(jì)算精度。在應(yīng)用DSG的板單元中，彎曲應(yīng)變?chǔ)舃和剪切應(yīng)變?chǔ)舠可分別寫(xiě)為

εb=Bbue;εs=Bsue

(5)

式中：ue為單元位移向量；Bb和Bs分別為單元的彎曲應(yīng)變矩陣和剪切應(yīng)變矩陣。

邊光滑有限元已被大量數(shù)值算例[20]證明剛度與連續(xù)系統(tǒng)非常接近，相比有限元，在同一網(wǎng)格下能夠更加準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。邊光滑指的是構(gòu)造基于邊的光滑域并對(duì)其進(jìn)行應(yīng)變光滑操作，具體過(guò)程如下。

首先利用商業(yè)軟件自動(dòng)生成三角形網(wǎng)格作為背景網(wǎng)格，如圖1所示?；谌切蔚拿織l邊構(gòu)造光滑域：若邊在計(jì)算域的內(nèi)部，則由該邊的兩端點(diǎn)和共享該邊的兩個(gè)單元的形心點(diǎn)作為頂點(diǎn)形成光滑域；若邊在問(wèn)題域的邊界，則由該邊的兩端點(diǎn)和其所在單元的形心點(diǎn)作為頂點(diǎn)形成光滑域。

圖1 基于三角形網(wǎng)格以邊為中心的光滑域Fig.1 Edge-based smoothing domain based on triangular meshes

在形成線性有限元的單元應(yīng)變矩陣的基礎(chǔ)上，對(duì)光滑域進(jìn)行應(yīng)變光滑操作，表達(dá)式為

(6)

(7)

(8)

(9)

2 構(gòu)造基于CSαPIM的聲學(xué)單元

在理想流體介質(zhì)和小振幅聲波的假設(shè)下，無(wú)損耗聲波方程的離散形式可以描述為

(10)

(11)

(12)

(13)

2.1 濃縮的RPIM形函數(shù)

本文將聲場(chǎng)域離散成四面體網(wǎng)格，采用混合單元基光滑點(diǎn)插值法(CSαPIM)來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬，并通過(guò)調(diào)整權(quán)重參數(shù)α∈[0,1]得到與連續(xù)系統(tǒng)非常接近的剛度，從而提高聲學(xué)計(jì)算的精度。下面介紹剛度偏軟的引入虛擬節(jié)點(diǎn)的單元基光滑點(diǎn)插值法(CSRPIM-T5-Cd)的光滑應(yīng)變構(gòu)造過(guò)程。

在單元基光滑點(diǎn)插值法(CSPIM)中，采用的是基于面的選點(diǎn)模式：對(duì)聲場(chǎng)域邊界上的面采用面的3個(gè)頂點(diǎn)(T3形式)進(jìn)行線性插值，而對(duì)聲場(chǎng)域內(nèi)部的面采用面的3個(gè)頂點(diǎn)加上共享該面的兩個(gè)單元的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作為插值點(diǎn)(T5形式)，如圖2所示。

圖2 基于面的選點(diǎn)模式Fig.2 Face-based schemes for selecting support nodes

為避免采用多項(xiàng)式基PIM引起的奇異性問(wèn)題，本文采用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function,RBF)作為插值形式，它的另一個(gè)好處是插值精度高，同時(shí)方便支持點(diǎn)的靈活選取。另外，為了滿足徑向基(Radial Point Interpolation Method,RPIM)的線性再生性，一般會(huì)添加一次完全多項(xiàng)式基以改善其性能，確保RPIM能通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)分片試驗(yàn)。添加PIM(Point Interpolation Method)的RPIM插值形式可表示為

(14)

式中:Ri和ai分別為徑向基及其系數(shù)；Pj和bj分別為多項(xiàng)式基及其系數(shù)；n為局部域的支持點(diǎn)數(shù)目；m為多項(xiàng)式基數(shù)目，此處取線性完全多項(xiàng)式，即m=4。他們的向量形式可以表示為

aT={a1,a2,…,an};bT={b1,b2，…，bm}

(15)

(16)

(17)

這里選擇復(fù)合二次形式(MQ-RBF)作為徑向基函數(shù)，形狀參數(shù)αc，q采用書(shū)中的推薦值。

(18)

式中：ri為支持點(diǎn)i和被插值點(diǎn)的徑向距離；dc為問(wèn)題域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的平均間距。使式(14)滿足計(jì)算點(diǎn)x周?chē)膎個(gè)節(jié)點(diǎn)值，可以得到n個(gè)線性方程，即

(k=1,2,…,n)

(19)

矩陣形式可表示為

ds=RQa+Pmb

(20)

式中：ds為函數(shù)值向量；RQ和Pm分別為徑向式和多項(xiàng)式的力矩矩陣。

由于式(20)中有n+m個(gè)變量，需添加下面m個(gè)約束條件作為附加方程方可求解。

(21)

聯(lián)立式(20)和式(21)，最后可以得到對(duì)應(yīng)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)位移向量的RPIM形函數(shù)可表示為

(22)

在T5形式的基礎(chǔ)上，引入6個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)，其位置分別取在T5單元6個(gè)面的形心上，如圖3所示。坐標(biāo)值可通過(guò)下式求得

(23)

通過(guò)5個(gè)真實(shí)節(jié)點(diǎn)(1～5)和6個(gè)虛擬節(jié)點(diǎn)(6～11)，共11個(gè)支持點(diǎn)進(jìn)行插值，我們可以得到濃縮前的RPIM形函數(shù)

(24)

(25)

為了消去虛擬節(jié)點(diǎn)的位移，我們假定虛擬節(jié)點(diǎn)的位移與所在面的3個(gè)頂點(diǎn)位移具有線性關(guān)系，即

(26)

將式(26)代入式(25)，可以得到

(27)

式中：濃縮后的RPIM形函數(shù)可為如下形式

(28)

圖3 引入虛擬節(jié)點(diǎn)的T5選點(diǎn)模式Fig.3 T5 scheme with virtual nodes for selecting support nodes

2.2 混合單元基光滑點(diǎn)插值法

混合單元基光滑點(diǎn)插值法是指在形成局部域形函數(shù)時(shí)將剛度偏軟的CSRPIM-T5-Cd和剛度偏硬的FEM以一定權(quán)數(shù)相加并保證權(quán)數(shù)之和為1，通過(guò)改變權(quán)數(shù)的值來(lái)調(diào)節(jié)離散系統(tǒng)的剛度。當(dāng)α取合適值時(shí)，不但收斂性和計(jì)算精度能得到有效提高，而且在畸變網(wǎng)格下也能得到合理的結(jié)果。同時(shí)，由于單元基光滑點(diǎn)插值方法的光滑域和背景網(wǎng)格重合，所以不需要構(gòu)造光滑域的步驟，可以節(jié)省前處理時(shí)間。應(yīng)用廣義梯度光滑技術(shù)，我們把原來(lái)的梯度替換為光滑梯度，并通過(guò)格林公式將域積分轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔绶e分，可描述為以下形式

(29)

(30)

由于FEM相當(dāng)于單元基光滑點(diǎn)插值法的一種特殊形式，表現(xiàn)為在光滑域的面上采用線性插值形式，也就是說(shuō)，它在3個(gè)頂點(diǎn)上的形函數(shù)為一定值1/3，因此不需要額外的計(jì)算，只需要在CSRPIM-T5-Cd積分求和得到形函數(shù)后直接以不同權(quán)重相加即可，如下

(31)

式中：α∈[0,1]為權(quán)重參數(shù)；Ng為CSRPIM-T5-Cd的邊界面積分選擇的高斯積分點(diǎn)數(shù)目；wq代表第q個(gè)積分點(diǎn)的權(quán)數(shù)。

最后生成每個(gè)光滑域的局部剛度矩陣，并組裝成總剛度陣

(32)

(33)

3 結(jié)構(gòu)-聲場(chǎng)耦合方程

圖4 結(jié)構(gòu)-聲場(chǎng)耦合模型示意圖Fig.4 Sketch of structural-acoustic coupling model

(34)

根據(jù)式(13)可以得到，結(jié)構(gòu)在耦合界面?Ωsa對(duì)聲場(chǎng)的作用載荷為

(35)

式中：Na和Ns分別為聲場(chǎng)和結(jié)構(gòu)的形函數(shù)，這里用的都是線性三角形的形函數(shù)；T為將廣義位移向量轉(zhuǎn)變?yōu)榫€位移向量的轉(zhuǎn)換矩陣。

(36)

根據(jù)式(4)可以得到，聲場(chǎng)在耦合界面?Ωsa對(duì)結(jié)構(gòu)的作用載荷為

(37)

聯(lián)立式(1)、式(10)、式(35)、式(37)，可以得到時(shí)域下無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)-聲場(chǎng)耦合系統(tǒng)的控制方程

(38)

式中：H為耦合矩陣，表達(dá)式為

(39)

假設(shè)位移和聲壓均為簡(jiǎn)諧波函數(shù)，則基于頻域的結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)耦合的強(qiáng)迫響應(yīng)可以表示為

(40)

4 確定α的取值

本節(jié)利用一個(gè)具有解析解的聲學(xué)問(wèn)題來(lái)確定α的取值，通過(guò)調(diào)節(jié)α的值來(lái)改變離散系統(tǒng)的剛度，達(dá)到接近連續(xù)系統(tǒng)的剛度，以提高聲學(xué)計(jì)算的精度。問(wèn)題域如圖5所示，長(zhǎng)度為1 m，寬和高均為0.1 m，左邊界施加簡(jiǎn)諧速度激勵(lì)，右邊為完全吸聲邊界。域中介質(zhì)為空氣，密度ρ為1.225 kg/m3，聲速c為340 m/s。精確解的表達(dá)式為

p=ρcvncos(kx)-jρcvnsin(kx)

v=vncos(kx)-jvnsin(kx)

(41)

圖5 問(wèn)題域示意圖Fig.5 Schematic of problem domain

根據(jù)聲學(xué)經(jīng)驗(yàn)法則，想要得到可信賴的計(jì)算結(jié)果，一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)至少要包括6個(gè)線性單元，即波數(shù)k和單元尺寸h應(yīng)滿足kh=1的關(guān)系。本文在保證kh=1的基礎(chǔ)上，選取尺寸分別為0.1 m，0.05 m，0.025 m(對(duì)應(yīng)頻率分別為541 Hz，1 082 Hz，2 164 Hz)的三套網(wǎng)格對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬。不同網(wǎng)格全局誤差隨α變化的曲線，如圖6所示。

圖6 不同α值下的全局誤差Fig.6 Global error varying with different α values

其中，全局誤差可定義為

(42)

從圖6可知，在保證kh為常數(shù)的前提下，網(wǎng)格尺寸越細(xì)，對(duì)應(yīng)計(jì)算頻率越高;前者在固定頻率下會(huì)提高計(jì)算精度，后者在固定網(wǎng)格尺寸情況下由于色散誤差會(huì)降低精度。而當(dāng)網(wǎng)格較粗時(shí)，因?yàn)閮?nèi)部單元面較少，形成CSαPIM的形函數(shù)所占比例少，所以全局誤差變化不明顯。但值得注意的是，針對(duì)所研究的三種網(wǎng)格形式，當(dāng)α∈[0.5,0.6]時(shí)計(jì)算精度一致較高，尤其當(dāng)α=0.6時(shí)，全局誤差最小。因此，在下文的聲振耦合數(shù)值模擬中，基于CSαPIM的聲學(xué)單元統(tǒng)一取α=0.6進(jìn)行計(jì)算。

5 數(shù)值算例

5.1 特征值預(yù)測(cè)

圖7為二維柔性板與三維聲場(chǎng)的耦合模型，其中聲場(chǎng)域尺寸為0.6 m×0.5 m×0.4 m，上表面為與板的耦合面，其他表面為剛性壁面；板的四邊為簡(jiǎn)支邊界，尺寸為0.6 m×0.5 m。聲場(chǎng)媒質(zhì)為空氣，密度ρa(bǔ)=1.225 kg/m3，聲速c=340 m/s。板的材料為鋁，參數(shù)如下：彈性模量E=71 GPa，密度ρs=2 700 kg/m3，泊松比ν=0.3，厚度t=0.005 m。

圖7 柔性板與聲腔耦合模型Fig.7 Flexible plate coupled with acoustic cavity

結(jié)構(gòu)聲振耦合系統(tǒng)的計(jì)算精度不僅和聲場(chǎng)的計(jì)算方法有關(guān)，還和結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法有關(guān)。本節(jié)分別采用FEM/FEM耦合法，F(xiàn)EM/CSαPIM耦合法和ESFEM/CSαPIM耦合法對(duì)上述耦合模型進(jìn)行模態(tài)分析。首先把板結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)分別離散成三角形和四面體網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸為0.05 m(結(jié)構(gòu)域共148個(gè)節(jié)點(diǎn)，聲場(chǎng)域共1 003個(gè)節(jié)點(diǎn))，并將不同方法得到的前20階耦合頻率列于表1中，與參考解進(jìn)行比較。由于該問(wèn)題沒(méi)有解析解，這里采用極其細(xì)密的等參元模型(單元尺寸為0.01 m，結(jié)構(gòu)域共3 111個(gè)節(jié)點(diǎn)，聲場(chǎng)域共127 551個(gè)節(jié)點(diǎn))提供參考解。為了更好地比較計(jì)算方法的優(yōu)劣性，表2列出了參考解模型計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)與聲場(chǎng)的前10階固有頻率。

表1 柔性板與聲腔耦合系統(tǒng)的前20階耦合頻率Tab.1 The former 20th eigenfrequencies of coupled systems with flexible plate and cavity

表2 結(jié)構(gòu)與聲場(chǎng)各自的前10階固有頻率Tab.2 The former 10th eigenfrequencies of structure and acoustic domain

從表1和表2的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)：

(1)FEM/FEM耦合法得到的特征頻率均比參考值高，這是由有限元過(guò)硬的剛度造成的；

(2)FEM/CSαPIM耦合法計(jì)算的特征頻率相比FEM/FEM耦合法明顯更接近于參考值，說(shuō)明CSαPIM可以很好地模擬聲場(chǎng)的剛度，進(jìn)而提高計(jì)算精度。其中，有幾階固有頻率的計(jì)算值相比FEM/FEM沒(méi)有較大改善(包括第7階、第10階和第11階、第15階和第16階)，是因?yàn)檫@幾階頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率較接近，聲場(chǎng)固有頻率的參與比例較低，而此耦合法只改變了聲場(chǎng)的計(jì)算方法。同理，精度有明顯提高的耦合頻率計(jì)算值與聲場(chǎng)固有頻率較接近(例如第9階、第13階和第18階)。

(3)ESFEM/CSαPIM耦合法對(duì)特征值的計(jì)算精度在3種方法中最高，在特征頻率階次較高時(shí)優(yōu)勢(shì)更為突出。除了第16階頻率，其他的特征值誤差均小于1%。這是因?yàn)樗粌H能更好地模擬聲場(chǎng)剛度，還能得到更合適的結(jié)構(gòu)剛度。

5.2 結(jié)構(gòu)聲場(chǎng)響應(yīng)分析

頻率響應(yīng)分析時(shí)振動(dòng)噪聲模擬中必不可少的一環(huán)。為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)CSαPIM與ESFEM結(jié)合進(jìn)行聲固耦合分析的效果，本節(jié)分別用FEM/FEM和ESFEM/CSαPIM耦合法對(duì)耦合系統(tǒng)的頻率響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，在圖7所示板的中心點(diǎn)施加幅值為1 N的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，方向沿z軸。

圖8和圖9分別繪制了結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)1(板的中心點(diǎn)，坐標(biāo)為[300，200，400])的位移響應(yīng)曲線和聲場(chǎng)節(jié)點(diǎn)2(某棱邊的中點(diǎn)，坐標(biāo)為[0，0，200])的聲壓響應(yīng)曲線，頻率范圍為0～800 Hz，間隔為2 Hz。為了驗(yàn)證ESFEM/CSαPIM耦合法的魯棒性，圖中同時(shí)給出了其在規(guī)則網(wǎng)格和畸變網(wǎng)格下的計(jì)算結(jié)果，網(wǎng)格劃分細(xì)節(jié)如圖10所示。參考解同樣用5.1所描述的等參元模型獲得。結(jié)果表明，在0～200 Hz內(nèi)，兩種方法都能得到很好的響應(yīng)結(jié)果；隨著激勵(lì)頻率的增大，ESFEM/CSαPIM耦合法計(jì)算所得的結(jié)果相比FEM/FEM耦合法與參考解更加吻合，無(wú)論是結(jié)構(gòu)和聲場(chǎng)的響應(yīng)峰值，還是峰值所對(duì)應(yīng)的頻率，都與參考解非常接近。這說(shuō)明新方法由于準(zhǔn)確地模擬了系統(tǒng)剛度，可以大大提高聲固耦合響應(yīng)的計(jì)算精度。也就是說(shuō)，在采用相同網(wǎng)格尺寸的基礎(chǔ)上，ESFEM/CSαPIM耦合法的可計(jì)算頻率范圍比FEM/FEM耦合法更廣，計(jì)算精度可以明顯提高。另外，雖然ESFEM/CSαPIM耦合法在畸變網(wǎng)格下的計(jì)算結(jié)果比規(guī)則網(wǎng)格的結(jié)果差，但仍優(yōu)于FEM/FEM耦合法，說(shuō)明了ESFEM/CSαPIM耦合法的魯棒性好。

圖8 結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)1的頻率響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency response curves of structure node 1

圖9 聲場(chǎng)節(jié)點(diǎn)2的頻率響應(yīng)曲線Fig.9 Frequency response curves of acoustic node 2

圖10 網(wǎng)格劃分細(xì)節(jié)Fig.10 Details of the meshes

6 結(jié) 論

本文將CSαPIM應(yīng)用于三維聲學(xué)計(jì)算中，通過(guò)基本算例確定合適的α值，并與基于ESFEM的二維Mindlin板單元結(jié)合，對(duì)聲固耦合系統(tǒng)進(jìn)行特征頻率預(yù)測(cè)和頻率響應(yīng)分析，得到如下的結(jié)論：

(1)當(dāng)α取經(jīng)驗(yàn)值0.6時(shí)，CSαPIM能獲得與連續(xù)系統(tǒng)非常接近的剛度，明顯提高聲學(xué)計(jì)算的精度。

(2)與FEM/FEM耦合法相比，ESFEM/CSαPIM耦合法在相同的網(wǎng)格尺寸下，計(jì)算得到的模態(tài)特征值更接近參考解，而且頻率響應(yīng)的可計(jì)算范圍得到有效擴(kuò)展，可以通過(guò)較低的網(wǎng)格要求達(dá)到相同的計(jì)算精度。

(3)ESFEM/CSαPIM耦合法分別采用三角形單元和四面體單元離散結(jié)構(gòu)域和聲場(chǎng)域，可以適應(yīng)各種復(fù)雜幾何模型，減少前處理時(shí)間，魯棒性好，具有良好的工程應(yīng)用前景。