基于彈塑性理論的落石碰撞恢復(fù)系數(shù)和峰值沖擊力研究

梅雪峰，胡卸文,2，羅 剛，杜映錦，馬洪生，吳建利

(1.西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都 610031；2.西南交通大學(xué) 高速鐵路運(yùn)營安全空間信息技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，成都 610031；3.四川省交通運(yùn)輸廳公路規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)研究院，成都 610041)

崩塌落石是高山峽谷區(qū)常見的斜坡地質(zhì)災(zāi)害之一[1]。典型的落石過程一般要經(jīng)歷四個(gè)階段：墜落啟動(dòng)-滾滑加速-拋射碰撞-減速停止(見圖1)。巖土體間發(fā)生的復(fù)雜沖擊和接觸決定了落石的運(yùn)動(dòng)形態(tài)[2]。Ritchie[3]是第一個(gè)系統(tǒng)性研究落石問題的學(xué)者。Rochet[4]根據(jù)規(guī)模將落石分為2類：單體落石(1×10-2～1×102m3)；落石群(>1×102m3)。其中，落石群又可分三種規(guī)模：一般、較大、超大。體積分別介于1×102～1×105m3,1×105～1×107m3及大于1×107m3。由于落石具有突發(fā)、隨機(jī)及高能的動(dòng)力特性，因此對(duì)生命、房建、交通及環(huán)境帶來巨大的威脅。中國[5]、Nepal[6-8]、Italy[9-10]、Canada[11]、Japan[12]、Peruvian Andes[13]等地落石災(zāi)害均造成了巨大的損失。Gardner對(duì)Lake Louise地區(qū)842 h的調(diào)查，共報(bào)告了563起落石事件。

撞擊過程中的峰值沖擊力和恢復(fù)系數(shù)是落石問題研究中最主要的兩個(gè)特征參量，其決定了落石的危害程度、影響防護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)特征參數(shù)及落石運(yùn)動(dòng)軌跡等。Asteriou等[14]采用試驗(yàn)研究了落石恢復(fù)系數(shù)與落石質(zhì)量及沖擊速度之間的關(guān)系。Labiouse等[15]分析了落石的回彈規(guī)律。Peila等[16]開展了大比例加筋土攔石墻結(jié)構(gòu)模型的抗沖擊性能試驗(yàn)研究，Ronco等[17]通過ABAQUS/Explicit有限元對(duì)Pelia等的研究進(jìn)行數(shù)值模型驗(yàn)證。Asteriou等[18]基于室內(nèi)試驗(yàn)提出了一種預(yù)測(cè)落石軌跡的三維經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀hau等[19]研究了落石運(yùn)動(dòng)過程中與斜坡的鎖閉效應(yīng)。袁進(jìn)科等[20]采用沖擊力測(cè)試裝置獲取了不同質(zhì)量、不同速度的落石對(duì)土石緩沖層結(jié)構(gòu)的沖擊力變化規(guī)律。楊海清等[21]基于Thornton模型推導(dǎo)了落石正面撞擊地面的法向恢復(fù)系數(shù)。何思明[22]研究了典型正碰撞情況下落石對(duì)防護(hù)結(jié)構(gòu)沖擊力計(jì)算表達(dá)式。王東坡等[23]基于Olsson動(dòng)力控制方程研究了落石沖擊荷載作用下的棚洞頂板的動(dòng)力響應(yīng)。王爽等[24]采用模型試驗(yàn)研究了不同沖擊能量下拱形棚洞結(jié)構(gòu)的抗沖擊性能。此外采用波動(dòng)理論、數(shù)值模擬、基于概率論的不確定性評(píng)價(jià)也是研究落石問題的手段。

圖1 落石運(yùn)動(dòng)過程示意圖Fig.1 Movement process of Rockfall

作為彈塑性體，巖土體的塑性變形是撞擊行為的主要控制階段。法向塑性變形與切向摩擦是撞擊過程中能量損失最主要組成部分，也是回彈恢復(fù)系數(shù)小于1的原因?；贜ewton定義的運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)是目前解決落石撞擊問題的主要方式(回彈速度與入射速度之比)。一些學(xué)者在采用此種定義的恢復(fù)系數(shù)研究落石碰撞過程中發(fā)現(xiàn)回彈速度很大，甚至出現(xiàn)恢復(fù)系數(shù)大于1的能量不協(xié)調(diào)情形[25-26]。此外，通過試驗(yàn)反演恢復(fù)系數(shù)多采用中小尺寸模型[27]，其試驗(yàn)材料尤其是滾滑面材料的力學(xué)物理特性與天然狀態(tài)下差異較大，無法還原真實(shí)落石運(yùn)動(dòng)特性，實(shí)際碰撞過程中較小的落石受到坡面粗糙度的影響更顯著[28]。而采用經(jīng)驗(yàn)半經(jīng)驗(yàn)所建議的法向和切向恢復(fù)系數(shù)差別非常大，導(dǎo)致選取及計(jì)算的困難。目前關(guān)于沖擊力的計(jì)算方法多是忽略摩擦，基于正面碰撞下的經(jīng)驗(yàn)半經(jīng)驗(yàn)公式。而正碰僅是斜碰的特殊情況，實(shí)際過程中斜碰撞更為普遍，尤其是大角度斜碰撞過程中，摩擦作用非常明顯，甚至成為主要控制因素，忽略摩擦可能導(dǎo)致恢復(fù)系數(shù)偏大。相對(duì)于滑坡、泥石流等地質(zhì)災(zāi)害，落石災(zāi)害研究明顯滯后，嚴(yán)重制約著合理有效防治措施的實(shí)施。針對(duì)上述問題，本文在經(jīng)典接觸理論的基礎(chǔ)上，建立了一套相對(duì)完整的落石運(yùn)動(dòng)計(jì)算方法。提出了一種計(jì)算切向力的新模型，通過坡面條件及入射條件對(duì)可能掉落的危巖體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)形態(tài)的判別。采用算例與當(dāng)前常用模型進(jìn)行對(duì)比討論，比較了模型之間的差異，驗(yàn)證了本文理論的合理性，對(duì)于預(yù)測(cè)和減輕落石災(zāi)害具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。

1 落石碰撞過程機(jī)理

落石沖擊地面的過程分為兩個(gè)階段：首先是開始接觸發(fā)生壓縮變形至變形量最大，此時(shí)落石速度為0，該階段為壓縮加載階段；隨后土體發(fā)生回彈直至落石與地面分離，速度達(dá)到最大，該階段為回彈卸荷階段。第一階段速度逐漸減小，沖擊力逐漸增加；第二階段速度逐漸增加，沖擊力逐漸減小。本文假設(shè)覆蓋層為彈塑性體且在碰撞過程中忽略落石與長大樹干間的相互作用。

1.1 彈性加載過程

根據(jù)Hertz接觸理論[29]，接觸區(qū)應(yīng)力分布函數(shù)為

(1)

(2)

(3)

接觸域上的總荷載與壓力的關(guān)系為

(4)

聯(lián)立式(2)～式(4)得彈性階段荷載與貫入量的關(guān)系

(5)

式中：Ei，Ej，Ri，Rj，vi,vj分別為落石和地面的彈性模量(Pa)、半徑(m)、泊松比。

Jackson等[29]研究了彈塑性材料屈服應(yīng)力與貫入深度間的關(guān)系

式中：δy為土體初始屈服時(shí)的貫入量,m；σy為土體的初始屈服應(yīng)力,Pa，可依據(jù)試驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)獲取，且C=min(1.295e0.763vi,1.295e0.763vj)。

將式(6)代入式(5)得土體屈服壓力

(7)

根據(jù)Jackson等[31]，屈服時(shí)的最大變形能

(8)

將式(6)、式(7)代入式(8)得土體初始屈服時(shí)的速度

(9)

假設(shè)碰撞前質(zhì)心的速度為V1，碰撞后速度為V2，任意時(shí)刻的速度為v，據(jù)功能原理

(10)

將式(5)代入式(10)得

(11)

當(dāng)土體達(dá)到第一次屈服時(shí)土體的瞬時(shí)屈服速度

(12)

根據(jù)牛頓第二定律得

(13)

兩邊對(duì)δ積分得

(14)

(15)

將式(15)代入式(5)得到彈性階段最大壓力

(16)

1.2 塑性加載階段

根據(jù)Johnson等的理論，開始發(fā)生塑性變形有以下關(guān)系式

p=ζσy

(17)

隨著沖擊力的增加，接觸面積增大，接觸區(qū)面積增量為：dA=2πrdr，因此有

dF(δ)=ζσy2πrdr

(18)

由式(17)、式(18)得塑性階段荷載與貫入量的關(guān)系

(19)

對(duì)式(19)積分并聯(lián)立式(3)得到屈服階段荷載與貫入量的表達(dá)式

Fep(δ)=Fy+πσyR*(δm-δy)

(20)

式中：ζ為無量綱因子，Johnson等建議ζ=1，δm為任意時(shí)刻最大貫入量,m。

由功能原理得

(21)

根據(jù)式(21)可求得最大貫入量，代入式(20)可求得最大荷載Fepm。

1.3 回彈卸荷階段

回彈卸荷階段，荷載與貫入量仍然符合彈性理論

(22)

根據(jù)Kligerman等[32]的理論

(23)

由式(23)并根據(jù)動(dòng)能定理得碰撞結(jié)束后落石的恢復(fù)能量

(24)

由初始碰撞時(shí)刻總的輸入能量與式(24)聯(lián)立，得到以輸出與輸入能量比值所表達(dá)的能量恢復(fù)系數(shù)

(25)

由式(25)可知，恢復(fù)系數(shù)與撞擊過程中輸入能量和輸出能量相關(guān)。相比Thornton模型采用的速度恢復(fù)系數(shù)，本文基于能量原理推導(dǎo)的恢復(fù)系數(shù)表達(dá)形式較復(fù)雜，但系統(tǒng)性更強(qiáng)更符合實(shí)際。

2 切向沖擊過程計(jì)算

2.1 切向沖擊力

Mindlin[33]最早研究了接觸體在固定法向荷載作用下，接觸體表面切向力的分布規(guī)律。Vu-Quoc等[34]提出了不同荷載組合下彈塑性接觸面的應(yīng)力-應(yīng)變模型(Thomas-Fexmi-Dirac,TFD)。何思明等[35]在Mindlin接觸理論基礎(chǔ)上推導(dǎo)了土體切向沖擊過程，但是所假設(shè)的固定法向壓力與實(shí)際情況不符。Fujimoto等[36]推導(dǎo)了塑性變形過程中，接觸表面切向載荷與切向變形之間關(guān)系?？紤]到落石撞擊屬于低速準(zhǔn)靜態(tài)碰撞問題，因此假設(shè)切向力近似等于摩擦力。目前關(guān)于切向力的計(jì)算方法，均采用Coulomb-Amontons摩擦定律(見圖2)。Maw等[37]通過對(duì)斜撞擊的研究表明，撞擊過程切向力的變化是受沖擊入射角的影響，并將斜碰撞過程分為：黏滯、黏滯-滑移、完全滑動(dòng)三階段。定義

(26)

Maw等認(rèn)為，考慮不同的撞擊條件，當(dāng)ψ≤1時(shí)，接觸區(qū)之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，在整個(gè)撞擊過程中均為黏滯，而不存在微滑或滑動(dòng)；當(dāng)1<ψ≤4χ-1時(shí)，碰撞以完全滑動(dòng)開始，并以完全滑動(dòng)結(jié)束，其余為滑移與黏滯共存的過渡階段，但是過渡階段持續(xù)的過程極短，僅占整個(gè)沖擊過程的不到2%；當(dāng)ψ>4χ-1滑動(dòng)發(fā)生在整個(gè)碰撞過程。考慮當(dāng)滿足1<ψ≤4χ-1時(shí)，接觸面仍以滑移為主。本文在Coulomb-Amontons、Maw等的理論基礎(chǔ)上提出一種新的切向力計(jì)算模型，表達(dá)式

(27)

式中：ψi為初始入射角(°)；ψc為黏滯與滑動(dòng)的臨界摩擦角(°)，本文計(jì)算中

對(duì)于給定的材料常數(shù)，根據(jù)以上公式可求得黏滯與滑動(dòng)的閾值。由此可見，當(dāng)θi→0時(shí)，ψi→0，此時(shí)切向力Fτ→0，為正碰撞；當(dāng)θi→90°時(shí)，切向力Fτ=μFη，計(jì)算滿足經(jīng)典Coulomb-Amontons準(zhǔn)則。

由圖3可知，傳統(tǒng)的摩擦力模型無法考慮不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下切向力分布特征以及切向力隨沖擊角度的變化規(guī)律，切向力在原點(diǎn)處梯度無限大且積分不連續(xù)。本文所提出的切向力計(jì)算模型很好的解決了以上問題，并且可以根據(jù)入射條件判別落石沖擊過程中的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，對(duì)于實(shí)際的工程應(yīng)用簡便有效。由圖2可知，摩擦因數(shù)與土體臨界摩擦角呈正相關(guān)。三維空間內(nèi)，臨界摩擦角是大小為2ψc的錐體，稱為摩擦錐。本文所涉及的土體摩擦因數(shù)為0.4，其臨界摩擦角等于24.5。

圖2 摩擦因數(shù)與臨界摩擦角Fig.2 Friction coefficient and critical friction angle

圖3 切向力計(jì)算模型Fig.3 Tangential force calculation model

2.2 切向恢復(fù)系數(shù)

落石在碰撞過程中如果發(fā)生黏滯，則恢復(fù)系數(shù)為0。在滑動(dòng)階段，Kharaz等[38]提出了滑動(dòng)階段切向恢復(fù)系數(shù)的計(jì)算表達(dá)式

eτ=1-μcotθ(1+eη) 0≤eτ≤1

(28)

結(jié)合以上分析得落石沖擊過程切向恢復(fù)系數(shù)的最終計(jì)算表達(dá)式

(29)

根據(jù)以上的理論，建立整個(gè)落石沖擊過程中恢復(fù)系數(shù)(法向與切向恢復(fù)系數(shù))、沖擊力(法向與切向沖擊力)之間的關(guān)系。

3 工程算例分析

已知坡面為殘坡積覆蓋層，參數(shù)見表1。采用本文理論討論碰撞過程中不同特征參量對(duì)沖擊力、恢復(fù)系數(shù)的變化規(guī)律。

表1 落石沖擊計(jì)算材料參數(shù)[39]Tab.1 Rockfall impact calculation material parameters

3.1 恢復(fù)系數(shù)與速度的關(guān)系

為了研究落石速度與恢復(fù)系數(shù)的規(guī)律，在相同入射角情況下，以入射速度為自變量，計(jì)算得到了沖擊過程中法向與切向恢復(fù)系數(shù)(見圖4)。結(jié)果表明，當(dāng)入射角為60°時(shí)。無論是Thornton模型抑或本文模型，法向恢復(fù)系數(shù)隨入射速度增加而減小，而切向恢復(fù)系數(shù)隨速度的增加而降低。其他條件相同的情況下，本文模型的法向恢復(fù)系數(shù)最大為0.28，而Thornton模型為0.42，與Thornton模型相比，本文推導(dǎo)的法向恢復(fù)系數(shù)值遠(yuǎn)小于相同速度下的Thornton模型。過大的恢復(fù)系數(shù)可能造成防護(hù)結(jié)構(gòu)的失效及材料的浪費(fèi)。此外，相同速度條件下，依據(jù)法向恢復(fù)系數(shù)計(jì)算得到的切向恢復(fù)系數(shù)對(duì)于兩種模型相差不明顯。本模型算例參數(shù)接近軟土性質(zhì)，陳洪凱等[40]建議的軟土法向恢復(fù)系數(shù)為0.10～0.25，與本文計(jì)算結(jié)果較吻合，而Thornton模型偏離程度較大。

圖4 速度與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relationship between velocity and coefficient of restitution

3.2 速度與沖擊力的關(guān)系(見圖5)

采用本文理論計(jì)算了落石碰撞過程中峰值沖擊力隨速度變化的規(guī)律(見圖6)。結(jié)果表明，峰值沖擊力隨速度增加而呈線性增加的趨勢(shì)，法向力增加的速率大于切向力增加的速率。與Labiouse等及Kawahara等[41]模型計(jì)算的沖擊力對(duì)比發(fā)現(xiàn)，三種模型計(jì)算的沖擊力增大趨勢(shì)基本相同，但本文模型計(jì)算的沖擊力略大于Labiouse模型，而遠(yuǎn)大于Kawahara模型，計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在低速碰撞過程中，另外兩種模型所得沖擊力分別為0.99 t和0.64 t，其沖擊力峰值均略小于自身重量，顯然，兩種模型存在著一定的誤差。在高速撞擊過程中本文結(jié)果與Labiouse模型較一致。

圖5 速度與沖擊力的關(guān)系Fig.5 Relationship between speed and impact force

圖6 不同模型的峰值沖擊力Fig.6 Peak impact force of different models

3.3 恢復(fù)系數(shù)與入射角的關(guān)系

以入射角(見圖1)為自變量，研究了入射速度為15 m/s時(shí)恢復(fù)系數(shù)與入射角度的變化規(guī)律(見圖7)。結(jié)果表明，撞擊過程可分為黏滯階段與滑動(dòng)階段，當(dāng)入射角小于臨界入射角時(shí)，切向恢復(fù)系數(shù)為0，法向恢復(fù)系數(shù)隨入射角的增加而增大。當(dāng)入射角大于臨界入射角時(shí)，法向與切向恢復(fù)系數(shù)均隨入射角的增加而增大，最大法向恢復(fù)系數(shù)為0.21。法向恢復(fù)系數(shù)的大小主要受控于入射速度的大小。入射角的改變對(duì)切向恢復(fù)系數(shù)的影響要遠(yuǎn)大于對(duì)法向恢復(fù)系數(shù)的影響。

圖7 入射角與恢復(fù)系數(shù)的關(guān)系Fig.7 Relationship between the incident angle and the recovery coefficient

入射角隨沖擊力變化規(guī)律(見圖8)表明，碰撞過程中合力與法向沖擊力隨入射角的增加而減小，而切向沖擊力在黏滯階段隨入射角的增大而增加，在其達(dá)到臨界摩擦角時(shí)，切向力達(dá)到最大的78 kN，隨后進(jìn)入完全滑動(dòng)階段，在其他條件不變時(shí)，切向力隨入射角的增大而減小。入射角與切向力的關(guān)系(見圖9)表明，切向力與滑動(dòng)摩擦力的比值分為兩個(gè)階段：第一階段，兩者比值與入射角成正比；第二階段，比值為常數(shù)1。

圖8 入射角與沖擊力的關(guān)系Fig.8 Relationship between incident angle and impact force

圖9 入射角與切向力的關(guān)系Fig.9 Relationship between incident angle and tangential force

4 結(jié) 論

采用經(jīng)典接觸力學(xué)，推導(dǎo)了落石碰撞過程中的能量恢復(fù)系數(shù)和沖擊力的計(jì)算公式。研究了以初始入射速度和入射角為變參量下的恢復(fù)系數(shù)和沖擊力的變化規(guī)律，通過算例分析并與目前常用的計(jì)算模型進(jìn)行比較，得到了以下結(jié)論：

(1)落石碰撞過程中法向恢復(fù)系數(shù)隨速度的增大而增加，切向恢復(fù)系數(shù)反之。

(2)隨入射角的增大，法向與切向恢復(fù)系數(shù)均有增加的趨勢(shì)，且切向恢復(fù)系數(shù)增加的幅度遠(yuǎn)大于法向恢復(fù)系數(shù)。

(3)法向沖擊力隨速度增大而增加，隨入射速度增加而減小。切向沖擊力隨速度增加而增加，隨入射角的增加先增大后減小。

(4)通過實(shí)例驗(yàn)證并與目前采用的模型進(jìn)行分析比較，表明，Thornton模型計(jì)算的牛頓恢復(fù)系數(shù)偏大，在實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)造成防護(hù)結(jié)構(gòu)的失效或材料的浪費(fèi)。此外，采用Rockfall等軟件進(jìn)行落石運(yùn)動(dòng)模擬時(shí)，需自定義恢復(fù)系數(shù)，合理的恢復(fù)系數(shù)是正確預(yù)測(cè)落石軌跡、能量計(jì)算的關(guān)鍵。本文模型對(duì)落石碰撞過程恢復(fù)系數(shù)與峰值沖擊力的計(jì)算更系統(tǒng)合理。

(5)落石回彈運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取決于初始入射條件。當(dāng)入射角大于臨界黏-滑入射角時(shí)，碰撞過程均存在滑動(dòng)，反之落石發(fā)生黏滯。通過本文的模型也可判別落石撞擊過程中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的形態(tài)及其轉(zhuǎn)化過程。