四旋翼直升機(jī)的線性自抗擾與非線性H2/H∞混合控制

劉俊杰，高強(qiáng)，孫明瑋，陳增強(qiáng)

(1.南開大學(xué) 人工智能學(xué)院，天津，300350；2.天津理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，天津，300384)

無人機(jī)(unmanned aerial vehicle，UAV)也稱“無人飛行器”，即不搭載飛行員的空中飛行器[1]。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)尤其是傳感器技術(shù)和控制理論的不斷提高[2]， 無人飛行器的發(fā)展在自動控制領(lǐng)域引起了人們的高度關(guān)注。多種無人飛行器已經(jīng)被用于執(zhí)行各類任務(wù)，如地面監(jiān)測、高空航拍、抗震救災(zāi)、軍事偵察等[3]，因此，開展具有垂直起降功能的高機(jī)動性、強(qiáng)穩(wěn)定性的無人飛行器控制研究在空中機(jī)器人領(lǐng)域意義重大。作為一種典型的垂直起降無人飛行器，四旋翼無人直升機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，通過2對旋翼產(chǎn)生的平衡力實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸停和改變飛行狀態(tài)，并能完成低速飛行等動作[4]。然而，四旋翼直升機(jī)的控制量數(shù)目少于系統(tǒng)的自由度，屬于欠驅(qū)動系統(tǒng)，在實(shí)際飛行過程中受諸多因素影響，是一個(gè)非線性強(qiáng)、參數(shù)不確定、耦合強(qiáng)、對外擾敏感的復(fù)雜對象，其跟蹤控制問題成為控制領(lǐng)域的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。針對簡化的四旋翼直升機(jī)模型，常見的線性算法有PID控制[5-6]、LQR控制[7]以及線性H∞控制[8]。由于四旋翼直升機(jī)模型中的強(qiáng)非線性，且在飛行過程中易受非線性阻力的影響，當(dāng)飛行器遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，線性控制算法可能失效，因此，研究人員使用反步法[9-10]、反饋線性化[11]、滑?？刂芠12]、浸入和不變控制[13]以及非線性 H∞控制[14]等非線性控制方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。針對拉格朗日-歐拉方程推導(dǎo)的非線性模型，RAFFO等[14]采用反步法和H∞控制對四旋翼直升機(jī)系統(tǒng)中的持續(xù)外部擾動進(jìn)行抑制。MOKHTAR 等[15]考慮四旋翼直升機(jī)非線性模型的不確定性，設(shè)計(jì)非線性H∞輸出反饋控制器，并采用高階滑模觀測器進(jìn)行擾動估計(jì)。RAFFO 等[16]提出一種非線性魯棒控制結(jié)構(gòu)，將四旋翼直升機(jī)系統(tǒng)劃分為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動子系統(tǒng)和平移運(yùn)動子系統(tǒng)，并采用非線性H∞控制器對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動進(jìn)行鎮(zhèn)定，利用模型預(yù)測控制實(shí)現(xiàn)位置坐標(biāo)的跟蹤控制。自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)是韓京清[17]提出的一種新型實(shí)用控制技術(shù)，其不依賴系統(tǒng)的精確模型，可直接利用被控對象的輸入輸出信息對系統(tǒng)狀態(tài)以及“總擾動”進(jìn)行估計(jì)并在線補(bǔ)償[18]。在此基礎(chǔ)上，GAO[19]將非線性自抗擾控制器中的非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行線性化處理，極大簡化了ADRC的參數(shù)整定方法。目前，自抗擾控制已逐步應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，如工業(yè)過程[20]、伺服系統(tǒng)[21]、機(jī)器人控制[22]等。本文作者針對四旋翼直升機(jī)的非線性模型，將其劃分為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動子系統(tǒng)與平移運(yùn)動子系統(tǒng)，在考慮持續(xù)外部擾動的情況下，利用線性自抗擾控制解決平移運(yùn)動中系統(tǒng)位置坐標(biāo)的跟蹤問題；對于四旋翼直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，采用一種非線性H2/H∞混合控制方法，在抑制外部干擾的同時(shí)保持良好的跟蹤性能。

1 系統(tǒng)模型

圖1 坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Diagram of coordinate system

坐標(biāo)系示意圖如圖1所示，四旋翼直升機(jī)具有6個(gè)自由度。圖1中：Xe=[x,y,z]T，η=[φ,θ,ψ]T，分別表示四旋翼直升機(jī)在慣性坐標(biāo)系中的位置和姿態(tài)角(滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航)；，表示機(jī)體坐標(biāo)系；Xb軸指向飛機(jī)前進(jìn)方向；YbXb正交；Zb垂直于XbOYb并指向上方；地面坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系；姿態(tài)角，表示機(jī)體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系?？紤]到右手坐標(biāo)系，由繞x，y和z軸的旋轉(zhuǎn)關(guān)系可以得到從機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣Rb為

其中：

利用基于動能和勢能的拉格朗日-歐拉方程，可將四旋翼無人飛行器的運(yùn)動方程表示為[17]

其中：L為四旋翼無人飛行器模型的拉格朗日算子；EkTrans為平移運(yùn)動動能；EkRot為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動動能；Ep為系統(tǒng)總勢能。

即

其中：m為機(jī)體質(zhì)量；g為重力加速度；為外部擾動。

定義矩陣N為以下形式：

其中：J=diag(Ixx,Iyy,Izz)，為轉(zhuǎn)動慣量矩陣。則旋轉(zhuǎn)動能方程可以表示為

令M(η)=Ν(η)，拉格朗日-歐拉旋轉(zhuǎn)方程可以重新表示為

其中：

因此，利用拉格朗日-歐拉方程導(dǎo)出的四旋翼直升機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的非線性數(shù)學(xué)模型為

故四旋翼無人直升機(jī)的非線性數(shù)學(xué)模型為

2 控制策略

由四旋翼直升機(jī)動力學(xué)模型可知，飛行器在飛行過程中控制器直接作用于飛行器姿態(tài)角與高度，姿態(tài)角又直接影響飛行器的水平位置，因此，飛行控制器多采用內(nèi)外環(huán)的結(jié)構(gòu)?？紤]四旋翼無人直升機(jī)的參數(shù)不確定、未建模動態(tài)及外部擾動，設(shè)計(jì)一種非線性魯棒控制策略，以實(shí)現(xiàn)其路徑跟蹤控制，其控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。式(13)將四旋翼直升機(jī)系統(tǒng)分為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和平動運(yùn)動，為解決四旋翼直升機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動控制問題，控制結(jié)構(gòu)內(nèi)環(huán)采用一種非線性混合控制方法，在考慮參數(shù)不確定性和持續(xù)外部擾動的情況下，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角和姿態(tài)角速度的穩(wěn)定控制。對于平移運(yùn)動，在控制結(jié)構(gòu)外環(huán)采用線性自抗擾控制器，實(shí)現(xiàn)四旋翼直升機(jī)位置的軌跡跟蹤控制。位置參考信號由參考路徑發(fā)生器產(chǎn)生，當(dāng)考慮未建模動態(tài)和持續(xù)外部擾動時(shí)，對所設(shè)計(jì)的線性自抗擾控制器進(jìn)行總擾動估計(jì)并給予補(bǔ)償。

2.1 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動子系統(tǒng)控制

根據(jù)式(13)，在考慮擾動的情況下，四旋翼無人直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動方程為

定義跟蹤誤差：

圖2 控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Control structure

定義T矩陣形式如下：

其中：T11=aI3×3,T12=bI3×3；a和b為待定正數(shù)；O和I分別為3階零矩陣和單位矩陣。

由式(14)和式(15)可以推導(dǎo)出基于誤差的狀態(tài)空間表達(dá)式：

其中：

對于該旋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，可設(shè)計(jì)如下控制律：

則基于狀態(tài)誤差的四旋翼直升機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動方程可以重新表達(dá)為

其中：u為控制輸入；n為外部擾動。

對于具有參數(shù)不確定和外部擾動的四旋翼旋轉(zhuǎn)運(yùn)動系統(tǒng)，在有權(quán)矩陣Q1，Q1f，Q2，Q2f，R1，R2和P全部為對稱正定矩陣，γ+∈R 的條件下，若控制器能在H∞擾動估計(jì)最大范圍內(nèi)，

滿足H2最優(yōu)跟蹤控制

則可設(shè)計(jì)H2/H∞混合控制器，實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制(其中，ti和tf表示控制的初始和最終時(shí)刻)。定義2個(gè)性能指標(biāo)如下：

即需要滿足的條件為

其中：u*和n*分別代表最優(yōu)控制輸入和最壞的擾動情形。

定理1[23]：對于式(19)中的誤差狀態(tài)系統(tǒng)，最優(yōu)控制和最壞擾動可以分別選擇以下形式：

其中：P1(xη,t)和P2(xη,t)為耦合非線性時(shí)變Riccati形式方程的解，具體形式參考文獻(xiàn)[23]。

若選擇P1(xη(tf),tf)=Q1f和P2(xη(tf),tf)=Q2f，代入式(25)和(26)，則式(25)和(26)就成為式(24)中H2/H∞混合控制最優(yōu)跟蹤問題的解。

定理2：若R1，R2和R定義為

選取Q1和Q2為

其中：Q11=q11I；Q22=q22I；q11＞0；q22＞0。

非線性時(shí)變Riccati形式方程解為

轉(zhuǎn)換矩陣T選擇如下形式：

參數(shù)a和b分別為：

2.2 平移運(yùn)動子系統(tǒng)控制

其 中 ：uz=cosφcosθ,ux=cosψsinθcosφ+sinψsinφ,uy=sinψsinθ- cosψsinφ。

2.2.1 高度控制

以高度控制為例，設(shè)計(jì)自抗擾控制器，使得輸出能夠快速穩(wěn)定跟蹤設(shè)定值。考慮高度系統(tǒng)如下：

令x3=f1作為高度通道的擴(kuò)張狀態(tài)，且其導(dǎo)數(shù)為h1，則式(32)所示系統(tǒng)可以擴(kuò)張為

其中：x1=z表示高度；U1為控制輸入。

式(33)對應(yīng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為

其中：zi(i=1，2，3)為狀態(tài)xi(i=1，2，3)的估計(jì)值；βi(i=1，2，3)為觀測器增益，為可調(diào)參數(shù)，且，；ωo1為觀測器帶寬。

控制律及補(bǔ)償部分為：

2.2.2 橫縱向運(yùn)動控制

對于四旋翼的縱向運(yùn)動和橫向運(yùn)動，設(shè)計(jì)線性自抗擾控制器時(shí)，設(shè)計(jì)控制律u0i(i=1，2)，補(bǔ)償總擾動后，獲得相應(yīng)通道和擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的控制輸入，ux，uy分別表示縱向運(yùn)動和橫向運(yùn)動通道的虛擬控制律，與姿態(tài)角設(shè)定值θd和φd的關(guān)系為

四旋翼的縱向運(yùn)動的狀態(tài)空間表達(dá)式為

令x6=f2作為縱向運(yùn)動通道的擴(kuò)張狀態(tài)，且其導(dǎo)數(shù)為h2，則式(39)所示系統(tǒng)可以擴(kuò)張為

式(40)對應(yīng)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可設(shè)計(jì)為

其中：zi(i=4，5，6)是狀態(tài)xi(i=4，5，6)的估計(jì)值；βi(i=4，5，6)為觀測器增益，為可調(diào)參數(shù)，且；ωo2為觀測器帶寬。

相對應(yīng)的控制律可以選擇為

對于飛行器的橫向運(yùn)動，其狀態(tài)空間表達(dá)式為

同理，可得如下四旋翼無人飛行器橫向運(yùn)動的控制器設(shè)計(jì)：

其中：zi(i=7，8，9)為橫向通道狀態(tài)及總擾動的估計(jì)值；βi(i=7，8，9)為觀測器增益；b03為可調(diào)參數(shù)；；ωo3為觀測器帶寬；u02為誤差控制律，控制器增益；ωc3為控制器帶寬；yd為側(cè)向移動設(shè)定值。

3 仿真結(jié)果

仿真中，選取四旋翼無人直升機(jī)的物理參數(shù)為機(jī)體質(zhì)量m=2.85 kg，槳距l(xiāng)=0.197 m，x，y和z軸轉(zhuǎn)動慣量分別為Ixx=Iyy=0.055 2 kg·m2和，重力加速度g=9.81 m/s2。參考路徑設(shè)定為：x坐標(biāo)變化設(shè)定值，y坐標(biāo)變化設(shè)定值，z坐標(biāo)變化設(shè)定值，偏航角設(shè)定值；飛行器的初始位置設(shè)定為(x，y，z)=(0，0，0)m，初始姿態(tài)角設(shè)定為(φ，θ，ψ)=(0，0，0)rad。在位置和姿態(tài)輸出通道中分別添加白噪聲擾動，功率為10-7。在仿真過程中，考慮參數(shù)的不確定性，對慣性參數(shù)上下浮動20%后，進(jìn)行仿真并比較結(jié)果。其中，非線性混合H2/H∞控制器參數(shù)被整定為：γ=1，σ=0.5，q22=1；LADRC 控制器參數(shù)整定為：b01=1，b02=0.9，b03=0.9，ωo1=40，ωc1=150，ωo2=10，ωc2=5，ωo3=10，ωc3=5。

白噪聲擾動下路徑跟蹤效果如圖3所示。四旋翼直升機(jī)從初始位置(x，y，z)=(0，0，0)m開始，沿設(shè)定路徑進(jìn)行飛行，參考路徑起點(diǎn)為(x，y，z)=(0，0，1)m，利用持續(xù)的白噪聲信號干擾來模擬實(shí)際飛行產(chǎn)生的測量誤差和外部干擾等因素，因此，在仿真結(jié)果中，系統(tǒng)輸出存在不同程度的波動。從圖3可以看出：四旋翼直升機(jī)軌跡能夠較好地在較短時(shí)間內(nèi)到達(dá)預(yù)期設(shè)定值，并較好地按照預(yù)設(shè)路線飛行；在對標(biāo)稱慣性參數(shù)進(jìn)行20%上下浮動時(shí)，飛行軌跡沒有發(fā)生較大變化，說明系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖3 白噪聲擾動下路徑跟蹤效果Fig.3 Path tracking under white noise disturbance

圖4 白噪聲擾動下位置坐標(biāo)變化Fig.4 Position coordinates under white noise disturbance

圖5 白噪聲擾動下位置跟蹤誤差Fig.5 Attitude angle tracking error under white noise disturbance

圖6 白噪聲擾動下姿態(tài)角變化Fig.6 Attitude angle under white noise disturbance

四旋翼直升機(jī)在運(yùn)動中位置坐標(biāo)x，y和z的變化過程見圖4。坐標(biāo)x在大約2 s能夠迅速跟上設(shè)定值，響應(yīng)速度較快，y和z均能較好地穩(wěn)定跟蹤預(yù)設(shè)值。白噪聲擾動下位置跟蹤誤差見圖5。從圖5可以看出：對模型中標(biāo)稱慣性參數(shù)進(jìn)行20%上下浮動，控制器參數(shù)保持不變，系統(tǒng)輸出依然能夠保持較小的跟蹤誤差，說明所采用的控制器對四旋翼直升機(jī)的參數(shù)不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。圖6所示為四旋翼直升機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中各姿態(tài)角的變化情況。從圖6可見：在自噪聲干擾下，滾轉(zhuǎn)角φ和俯仰角θ能夠較平穩(wěn)地變化；偏航角ψ在大約2 s達(dá)到設(shè)定值，盡管產(chǎn)生一定的超調(diào)量，但能夠迅速到達(dá)穩(wěn)定設(shè)定值并保持不變，在慣性參數(shù)進(jìn)行±20%變化時(shí)，仍然可以保持較好的控制效果。

4 結(jié)論

1)針對四旋翼直升機(jī)的軌跡跟蹤問題，設(shè)計(jì)了一種線性自抗擾與非線性 H2/H∞混合控制結(jié)合的控制策略。首先，基于拉格朗日-歐拉方程獲得四旋翼直升機(jī)的強(qiáng)非線性數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，將位置系統(tǒng)中的未知擾動作為系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的線性自抗擾控制器；針對姿態(tài)的穩(wěn)定跟蹤控制問題，采用了一種非線性 H2/H∞混合控制方法，能夠使外擾衰減的同時(shí)保持良好的H2跟蹤性能。

2)本文所設(shè)計(jì)的四旋翼直升機(jī)穩(wěn)定控制算法能夠較好地抑制系統(tǒng)參數(shù)不確定性和外部擾動的影響，具有響應(yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。