平面體系存在無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí)幾何組成分析

范衛(wèi)琴，顏玲月，張紅章

（1.三明學(xué)院 建筑工程學(xué)院，福建 三明 365004；2.武漢市豐達(dá)地質(zhì)工程有限公司，湖北，武漢 430074）

結(jié)構(gòu)幾何組成分析目的主要是：判定桿件體系是否幾何可變，從而決定其能否用作結(jié)構(gòu)；研究結(jié)構(gòu)的幾何組成，同時(shí)有助于結(jié)構(gòu)靜力分析。很多學(xué)者對(duì)幾何組成分析規(guī)則進(jìn)行了一系列總結(jié)和梳理，得出較為詳盡的分析方法[1-4]。但這些文獻(xiàn)對(duì)平面體系中存在無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí)的分析方法論述較少，且舉例偏簡(jiǎn)單，總結(jié)不完整，教材中也沒有對(duì)此進(jìn)行專門的論述。針對(duì)這個(gè)難點(diǎn)，文獻(xiàn)[5-7]根據(jù)射影幾何的相關(guān)概念推導(dǎo)出平面體系存在無窮遠(yuǎn)鉸情況下的判定法則，還有學(xué)者[8]在結(jié)構(gòu)自由度為零的情況下，運(yùn)用“零載法”進(jìn)行計(jì)算，認(rèn)為當(dāng)體系內(nèi)力為零是唯一解時(shí)，體系幾何不變；當(dāng)體系內(nèi)力有無窮多非零解時(shí)，體系幾何瞬變。

通常幾何組成分析的方法主要有“鉸接三角形規(guī)律”、“零載法”等[9]。很明顯，對(duì)于一個(gè)自由度為零的體系，在零載下，當(dāng)結(jié)構(gòu)內(nèi)力有無窮多非零解時(shí)，結(jié)構(gòu)體系有可能是幾何瞬變、也有可能是幾何常變，與論著[8]不一致。當(dāng)結(jié)構(gòu)存在著成對(duì)平行鏈桿時(shí)，根據(jù)近代歐式幾何學(xué)[10]認(rèn)為此對(duì)平行鏈桿在無窮遠(yuǎn)處相交于一點(diǎn)，即形成一個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸，再依據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[5-7]論述的規(guī)則來進(jìn)行平面體系幾何組成分析，有些情況下會(huì)得出不同的結(jié)果，現(xiàn)通過分析某三剛片體系的內(nèi)部幾何組成性質(zhì)予以證明。

1 舉例分析

1.1 解法一

如圖1所示，平面體系由一系列鏈桿連接而成，圖中 AF、BC、FE、CD 四桿等長(zhǎng)。選取桿件 AB、FC、ED分別為剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，Ⅰ和Ⅱ之間通過AF和BC這對(duì)平行且等長(zhǎng)鏈桿相連、Ⅱ和Ⅲ之間通過FE和CD這對(duì)平行且等長(zhǎng)鏈桿相連，分別形成無窮遠(yuǎn)虛鉸，即“二鉸無窮遠(yuǎn)”。Ⅰ和Ⅲ之間通過桿件AD和BE相連，相交于G點(diǎn)。根據(jù)法則[5-7]“當(dāng)結(jié)構(gòu)有兩個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸時(shí)，組成兩個(gè)無窮遠(yuǎn)虛鉸的兩對(duì)平行鏈桿相互平行且等長(zhǎng)，則常變。”據(jù)此，圖1結(jié)構(gòu)應(yīng)為幾何常變體系。

圖1 示例及第一種選取剛片的方法Figure 1 Example and the firstmethod for selecting a rigid piece

1.2 解法二

對(duì)圖1的桿件體系，選擇不同對(duì)象為剛片和連接鏈桿，見圖2。選取桿件AD、FC、BE分別為剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，Ⅰ和Ⅱ之間通過桿件AF和CD這對(duì)平行且等長(zhǎng)鏈桿相連、Ⅱ和Ⅲ之間通過桿件FE和BC這對(duì)平行且等長(zhǎng)鏈桿相連、Ⅰ和Ⅲ之間通過桿件AB和ED這對(duì)平行且等長(zhǎng)鏈桿相連，分別形成無窮遠(yuǎn)虛鉸，即“三鉸無窮遠(yuǎn)”。根據(jù)法則[5-7]“三鉸無窮遠(yuǎn)，若三對(duì)平行鏈桿各自等長(zhǎng)，則常變?！睋?jù)此，圖1所示結(jié)構(gòu)應(yīng)為幾何常變體系。

圖2 第二種選取剛片的方法Figure 2 Second method for selecting rigid plates

1.3 解法三

針對(duì)圖1的桿件體系，再次改變剛片的選擇方式，選取桿件AF、BE、CD分別為剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，見圖3。Ⅰ和Ⅱ之間通過桿件AB和FE相交于虛鉸A，Ⅱ和Ⅲ之間通過桿件ED和BC相交于虛鉸D，Ⅰ和Ⅲ之間通過桿件FC和AD相連，鉸點(diǎn)為G，此次分析，三個(gè)鉸點(diǎn)未出現(xiàn)無窮遠(yuǎn)的情況，A、D、G三點(diǎn)在一條直線上，根據(jù)“三剛片”法則[9]，圖1所示結(jié)構(gòu)應(yīng)為幾何瞬變體系。

圖3 第三種選取剛片的方法Figure 3 Thirdmethod for selecting rigid plates

由此可見，解法一、二的結(jié)果與解法三不一致。第三種分析方法中沒有出現(xiàn)無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)，根據(jù)“三剛片法則”[9]得出的結(jié)果可靠，由此判定：前兩種方法不夠準(zhǔn)確。

2 問題探討

近代歐式幾何學(xué)[10]中有如下定義：（1）兩條或多條平行線可以說成有一公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，或者在無窮遠(yuǎn)處相交；（2）在任一條直線上，有且只有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；（3）所有的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)都在一條無窮遠(yuǎn)直線上。

由此很多學(xué)者都指出：平行鏈桿相當(dāng)于無窮遠(yuǎn)處的虛鉸，然而，在歐式平面上平行線是無交點(diǎn)的。因此，采用無窮遠(yuǎn)交點(diǎn)來判斷幾何組成分析，給出的答案不夠精準(zhǔn)。

祁皚[11]指出：（1）當(dāng)三剛片體系中有一鉸無窮遠(yuǎn)時(shí)，當(dāng)另外兩個(gè)鉸的連線與組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩條平行鏈桿不平行時(shí)，幾何不變；當(dāng)體系發(fā)生微小位移后，另外兩個(gè)鉸的連線與組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩條平行鏈桿仍然平行時(shí)，幾何常變；反之當(dāng)體系發(fā)生微小位移后，另外兩個(gè)鉸的連線與組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩條平行鏈桿不平行時(shí)，幾何瞬變。

（2）當(dāng)三剛片體系中有兩鉸無窮遠(yuǎn)時(shí)，當(dāng)組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩對(duì)平行鏈桿方向不平行時(shí)，幾何不變；當(dāng)組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩對(duì)平行鏈桿方向平行，但當(dāng)體系發(fā)生微小位移后，組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩對(duì)平行鏈桿仍然平行時(shí)，幾何常變；反之體系發(fā)生微小位移后，組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩對(duì)平行鏈桿不平行時(shí)，幾何瞬變。

用此方法對(duì)圖1結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何組成分析，假定桿件AF、BC、FE、CD發(fā)生如圖4所示的微小位移且保持平行狀態(tài)（虛線表示假定的變形形狀），則變位之后的AD1、BE1長(zhǎng)度明顯不等，而與原來相等的狀態(tài)不符，則圖4所示的變位是不可能的，則本例屬于“兩鉸無窮遠(yuǎn)，發(fā)生微小位移為以后，組成無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)的兩對(duì)平行鏈桿不可能平行”的狀態(tài)，則體系瞬變。同理也可得出當(dāng)選本文的“解法二”時(shí)，三鉸無窮遠(yuǎn)，當(dāng)發(fā)生微小位移后，組成無窮遠(yuǎn)鉸的平行鏈桿不再保持平行狀態(tài)，所以體系瞬變。采用這種判定法則，采用前述“解法一、二、三”這三種不同的剛片選取方法能得出相同的結(jié)果。

圖4 假定的微小位移示意圖Figure 4 Prototype of the assumed small displacement

3 規(guī)則總結(jié)

論著[11]所示的方法，相對(duì)于文獻(xiàn)[5-7]，描述更準(zhǔn)確。但此法需要對(duì)可能發(fā)生的各種微小變形情況從幾何角度進(jìn)行分析，對(duì)初學(xué)者來講，比較繁瑣。本文根據(jù)幾何變形的特點(diǎn)在文獻(xiàn)[5-7]結(jié)論的基礎(chǔ)上，對(duì)平面體系存在無窮遠(yuǎn)鉸點(diǎn)時(shí)的解題規(guī)則進(jìn)行重新整理，規(guī)則中，對(duì)于前述正確的論述，本文不再解釋，對(duì)于本文提出的新觀點(diǎn)，舉例證明。

3.1 平面體系存在一鉸無窮遠(yuǎn)

（1）組成無窮遠(yuǎn)鉸的兩條平行鏈桿與另外兩鉸連線不平行時(shí)，三點(diǎn)不共線，幾何不變。

（2）組成無窮遠(yuǎn)鉸的兩條平行鏈桿與另外兩鉸連線平行但不等長(zhǎng)時(shí)，體系瞬變。

（3）組成無窮遠(yuǎn)鉸的兩條平行鏈桿與另外兩鉸連線同側(cè)、平行且等長(zhǎng)時(shí)，體系常變。如圖5所示（虛線表示變形后的位置），桿件ACF與BCE中間的三根鏈桿AB、CD、EF平行且相等均從同側(cè)伸出，所以結(jié)構(gòu)很容易左右晃動(dòng)形成平行四邊形體系。

圖5 平行鏈桿同側(cè)連出Figure 5 Parallel link rod with parallel side out

（4）上述第（3）條中，如果兩平行鏈桿與另外兩鉸連線平行且等長(zhǎng)，但三者異側(cè)，則體系瞬變。如圖6（a）或（b），F(xiàn)AC、FE、BE 分別為剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。圖中實(shí)線表示原結(jié)構(gòu)體系，虛線表示可能發(fā)生的微小位移。Ⅰ和Ⅱ之間通過鉸點(diǎn)A相連，Ⅱ和Ⅲ之間通過鉸點(diǎn)E相連，Ⅰ與Ⅲ之間通過平行鏈桿AD、BC相連，平行且等長(zhǎng)的三根桿件AD、EF、BC分別從剛片Ⅲ異側(cè)連出，則體系發(fā)生微小運(yùn)動(dòng)之后，無法保持BC、AD、EF三桿繼續(xù)平行，如圖虛線所示，體系瞬變。

圖6 平行鏈桿從剛片異側(cè)連出Figure 6 Parallel chain rods connected from the lateral side of rigid plates

3.2 平面體系存在兩鉸無窮遠(yuǎn)

（1）組成無窮遠(yuǎn)鉸的兩對(duì)平行鏈桿相互不平行，則三鉸不共點(diǎn)，體系幾何不變；

（2）組成無窮遠(yuǎn)鉸的兩對(duì)平行鏈桿相互平行但不等長(zhǎng)則瞬變；

（3）若上述四桿平行且等長(zhǎng)，但從平行桿件是從剛片異側(cè)連出時(shí)，則體系瞬變。舉例見圖1的示例，連接Ⅰ和Ⅱ的桿件AF和BC與連接Ⅱ和Ⅲ的桿件FE和CD分別從FC異側(cè)伸出，體系瞬變。

（4）若上述四桿平行且等長(zhǎng)，但平行桿件從同側(cè)連出時(shí)，則體系常變。如圖7所示，選取桿件AH、GF、BCDE分別為剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，Ⅰ與Ⅲ之間通過AB、CK相連，形成一無窮遠(yuǎn)虛鉸，Ⅱ與Ⅲ之間通過GD、FE相連，形成一無窮遠(yuǎn)虛鉸，Ⅰ與Ⅱ之間連接點(diǎn)為H，則形成兩虛鉸的四根平行鏈桿相互平行等長(zhǎng)，且均從剛片Ⅲ同側(cè)連出，體系很明顯可以變成平行四邊形，為一幾何常變體系。

圖7 平行鏈桿從剛片同側(cè)連出Figure7 Parallelchain rodsconnected from thesamesideofthe rigid sheet

3.3 三鉸無窮遠(yuǎn)

（1）若三對(duì)同側(cè)平行鏈桿各自等長(zhǎng)，則常變。

（2）若三對(duì)異側(cè)平行鏈桿各自等長(zhǎng)，則瞬變。舉例如圖2所示，在上述解法二的描述中，連接Ⅰ和Ⅱ的桿件AF和CD，分別從FC桿異側(cè)伸出、連接Ⅱ和Ⅲ的桿件FE和BC，分別從FC桿異側(cè)伸出、桿件AB和ED分別從Ⅰ和Ⅲ異側(cè)伸出，屬于“三對(duì)異側(cè)平行鏈桿各自等長(zhǎng)”的類型，則體系為瞬變體系。

（3）若三對(duì)平行鏈桿各自不等長(zhǎng)，則體系瞬變。

4 結(jié)論

通過舉例分析，對(duì)平面體系存在無窮遠(yuǎn)鉸的幾何組成分析的部分方法[5-7]進(jìn)行了重新探討，對(duì)“鉸接三角形規(guī)律”進(jìn)行了完善。建議解題時(shí)選擇合適的鏈桿作為剛片，盡量少或避免出現(xiàn)無窮遠(yuǎn)虛鉸。對(duì)于平面體系無法避免出現(xiàn)無窮遠(yuǎn)虛鉸的情況，分析了這種體系微小變形后的幾何特征，總結(jié)出此時(shí)幾何組成分析可以遵循下列原則：

（1）當(dāng)一鉸無窮遠(yuǎn)時(shí)，且組成無窮遠(yuǎn)虛鉸的兩平行鏈桿與另二鉸連線不平行，體系為幾何不變；若二者平行不等長(zhǎng)則為瞬變體系；若平行鏈桿與另二鉸連線異側(cè)、平行且等長(zhǎng)，則為瞬變體系；若平行鏈桿與另二鉸連線同側(cè)、平行且等長(zhǎng)，則為常變體系。

（2）當(dāng)兩鉸無窮遠(yuǎn)，且組成兩無窮遠(yuǎn)虛鉸的兩對(duì)平行鏈桿互不平行，體系為幾何不變；若此四桿相互平行但不等長(zhǎng)則為瞬變體系；若此四桿平行且等長(zhǎng)但異側(cè)連出，則為瞬變體系；若四桿同側(cè)連出、平行且等長(zhǎng)，則為常變體系。

（3）當(dāng)三鉸無窮遠(yuǎn)，一般情況下，體系瞬變；若三對(duì)同側(cè)平行鏈桿各自等長(zhǎng)，則常變；若三對(duì)平行鏈桿各自等長(zhǎng)，且其中有異側(cè)連出的平行鏈桿，則為瞬變體系。