基于界面本構(gòu)模型的錨桿張拉受力分析

劉 波1，胡卸文1，白凱文，陳浩棟，鄭智洋

(1.西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院， 成都 611756; 2.西南石油大學(xué) 地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 成都 610500)

1 研究背景

注漿錨桿或錨索大量地應(yīng)用于隧道支護(hù)、巖石邊坡錨固以及其他巖土工程中。錨桿荷載-位移關(guān)系的預(yù)測(cè)、側(cè)阻力的分布模式、荷載傳遞以及錨固體與土體、巖體或混凝土界面的剪切變形特性，一直是工程中關(guān)注的焦點(diǎn)。

為預(yù)測(cè)錨桿拉拔時(shí)的荷載-位移曲線，研究者大多從2種思路出發(fā):一種是建立合適的數(shù)學(xué)模型擬合錨桿現(xiàn)場(chǎng)抗拔荷載-位移關(guān)系曲線，從而確定錨桿的極限荷載標(biāo)準(zhǔn)值，如雙曲線函數(shù)模型[1]、指數(shù)函數(shù)模型[2]、SVM回歸模型[3]、Weibull數(shù)學(xué)模型[4]以及改進(jìn)指-冪混合函數(shù)模型[5]；另一種思路則是基于確定錨固界面的本構(gòu)模型及其參數(shù)，利用荷載傳遞微分方程求解荷載-位移曲線[6-7]，同時(shí)求解出不同拉拔荷載下，錨桿界面剪應(yīng)力的分布情況，這種思路從機(jī)理出發(fā)，理論上相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)。

在錨桿界面剪切滑移本構(gòu)模型的建立上，眾多的研究學(xué)者提出了線性增長型[8-9]、雙折線硬化型[6]、雙曲線硬化型[10-11]、理想彈塑性型[7,12]、一次跌落型[13-17]、三折線軟化型[18-22]以及四折線軟化型[23]，并分別對(duì)錨桿錨固體的受力變形特性進(jìn)行了理論分析。上述模型中，雖然有些模型能給出錨桿受力分布的解析表達(dá)，而實(shí)際錨桿界面的剪切滑移為連續(xù)曲線的形態(tài)，上述模型部分采用分段描述的方式，具有一定的誤差；部分為硬化型模型，不能刻畫多數(shù)情況下界面的軟化特征；且參數(shù)確定依賴室內(nèi)試驗(yàn)以及工程經(jīng)驗(yàn)。

黃明華等[24]通過實(shí)際工程中錨桿現(xiàn)場(chǎng)拉拔試驗(yàn)，從荷載-位移曲線出發(fā)建立錨固界面的雙指數(shù)曲線本構(gòu)模型，并用于錨桿受力分析。但由于假設(shè)荷載-位移曲線采用指數(shù)形式，且其建立的本構(gòu)模型不能反映殘余強(qiáng)度，因此存在一定的局限性。但其逆向求解的思路具有借鑒價(jià)值。

本文引入2種反映殘余強(qiáng)度的錨固界面剪切滑移模型：統(tǒng)計(jì)損傷模型以及改進(jìn)Duncan-Chang模型。借鑒上述思路，根據(jù)錨桿張拉過程中的荷載-位移實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用粒子群優(yōu)化算法反演模型參數(shù)，并應(yīng)用到錨桿受力的正分析中，從而實(shí)現(xiàn)錨桿荷載-位移關(guān)系以及側(cè)阻力分布的預(yù)測(cè)，以期為錨桿的設(shè)計(jì)和施工產(chǎn)生積極的反饋?zhàn)饔谩?/p>

2 2種錨固界面軟化本構(gòu)模型

為較為準(zhǔn)確地描述具有軟化特征的錨桿界面剪切滑移本構(gòu)關(guān)系，至少需要2個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo)：峰值點(diǎn)以及剛達(dá)到殘余強(qiáng)度的特征點(diǎn)，因此本構(gòu)模型里至少需要包括4個(gè)參數(shù)。本文引入2種考慮殘余強(qiáng)度的連續(xù)曲線形式的錨桿界面本構(gòu)模型，作為下文分析的基礎(chǔ)。

2.1 錨固界面統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型 (S-D模型)

筆者曾根據(jù)統(tǒng)計(jì)損傷理論[25]推導(dǎo)并建立考慮殘余剪切強(qiáng)度的錨固界面本構(gòu)模型，具體形式為

(1)

式中：τ為錨桿界面微元某一時(shí)刻剪力；K為錨桿界面未損傷時(shí)單位剪切位移對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)力；u為錨桿界面宏觀剪切位移；u0為錨桿剪切面的宏觀平均極限剪切位移；m為反映剪切面強(qiáng)度分布均勻性的參數(shù)；τr為錨桿界面的殘余剪切強(qiáng)度。則有

(2)

當(dāng)u=0時(shí)，dτ/du=K，即剪切滑移曲線的初始切線斜率=K；當(dāng)u→,τ→τr，即τr表征了界面的殘余剪切強(qiáng)度。

當(dāng)K=0時(shí)，式(2)退化為

(3)

式(3)為硬化型的三參數(shù)曲線模型，而指數(shù)曲線模型也是當(dāng)m=1時(shí)的特例。u0和m為界面微元強(qiáng)度服從Weibull分布時(shí)的分布參數(shù)，影響模型曲線的分布形態(tài)。

2.2 改進(jìn) Duncan-Chang 模型 (ID-C模型)

為描述砂巖破壞過程的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)，王軍保等[26]提出了改進(jìn)Duncan-Chang模型，以彌補(bǔ)Duncan-Chang 模型在反映巖石應(yīng)變軟化特性方面的不足。本文引入該軟化模型，并對(duì)其形式稍作修改，以刻畫錨桿界面的軟化特性，具體表達(dá)形式為

(4)

式中a,b,m,n為錨固界面參數(shù)。

當(dāng)u→時(shí),τ→b，即b是反映錨固界面殘余剪切強(qiáng)度的特征參數(shù)。

將τ對(duì)u求導(dǎo)可得

(5)

當(dāng)u=0時(shí)，dτ/du=a/n，即a/n為剪切滑移曲線的原點(diǎn)處切線斜率，初始剪切勁度系數(shù)K0=a/n。而參數(shù)m和n為影響曲線分布形態(tài)的參數(shù)。

3 錨固體錨固荷載傳遞模型

為分析錨桿的荷載傳遞特性，選取錨固微段dx作為研究對(duì)象，如圖1所示。P(x)為錨固體界面軸力；τ(u)為錨固體界面剪應(yīng)力。由于微段足夠小，可以認(rèn)為微段上的剪應(yīng)力均勻分布，并與錨固體與周圍巖土體接觸面上的相對(duì)滑移u有關(guān)。

圖1 錨固微段受力分析Fig.1 Stress analysis of anchorage segment

建立錨固體單元沿軸向方向力的平衡方程為

dP(x)+Cτ(u)dx=0 。

(6)

式中C為錨固體的截面周長。

由式(6)可以得到

(7)

并滿足:

(8)

P(x)=EAεx。

(9)

式中：εx為錨固體界面拉伸應(yīng)變;E,A分別為錨固體的彈性模量和截面面積。

假設(shè)錨固體工作時(shí)處在半無限空間體內(nèi)，即周圍巖土體對(duì)錨固體的約束作用相同，錨固體界面各錨固深度處均滿足相同的剪切滑移本構(gòu)關(guān)系，聯(lián)立式(7)—式(9)，可得

(10)

式中d為錨固體直徑。

式(10)滿足初值條件：

(11)

式中：l為錨固深度;s為錨固體頂端張拉位移。

由于τ(u)往往形式復(fù)雜，式(10)為二階非線性微分方程，并無解析解，因此在MatLab中可利用Runge-Kutta法迭代求解可得到滿足實(shí)際工程精度要求的關(guān)于u=u(x)的數(shù)值解。

錨固體在錨固深度x上各點(diǎn)的軸力以及界面剪切摩阻力可根據(jù)式(13)和式(14)求解，即：

(13)

τ(x)=τ[u(x)] 。

(14)

4 基于粒子群算法的接觸面模型參數(shù)反演

4.1 粒子群尋優(yōu)算法

粒子群優(yōu)化算法是基于群體的演化算法，將每個(gè)個(gè)體看作在D維搜索空間中一個(gè)沒有質(zhì)量和體積的粒子，并在搜索空間中以一定的速度飛行[27]。

對(duì)于D維的搜索空間,由m個(gè)粒子組成的粒子群第i個(gè)粒子的當(dāng)前位置表示為Xi(xi1,xi2,…,xiD),速度表示為Vi(vi1，vi2，…,viD),Pi(pi1，pi2，…,piD)為第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)位置，Pg(pg1，pg2，…,pgD)為該粒子群的歷史最優(yōu)位置。

對(duì)初始粒子位置和粒子速度賦予隨機(jī)值，在每次迭代中，每個(gè)粒子根據(jù)式(15)和式(16)來更新其速度和位置，即：

d=1,2,…,D;

(15)

(16)

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；w為慣性因子；d為方向分量編號(hào)；c1和c2為學(xué)習(xí)因子;r1和r2為[0，1]間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

粒子群算法的基本思想是每個(gè)粒子充分利用群體和自身的智能，不斷地調(diào)整學(xué)習(xí)，最終得到最優(yōu)解。

4.2 錨桿荷載位移曲線與界面本構(gòu)模型關(guān)系

錨桿界面剪切滑移的模型關(guān)系可以表示為

τ=τ(u) 。

(17)

將式(17)代入式(10)和式(13)，并根據(jù)式(11)和式(12)給出的初值條件求解，即可以得到u(x)和P(x)的表達(dá)式。并可得到錨桿頂部張拉位移S=u(x=0)，錨桿頂部荷載P=P(x=0)。這樣就建立了錨桿荷載位移曲線與界面剪切滑移本構(gòu)模型間的關(guān)聯(lián)。

4.3 接觸面模型參數(shù)反演過程

根據(jù)4.2節(jié)內(nèi)容，可知當(dāng)界面本構(gòu)模型中的4個(gè)參數(shù)確定，且錨桿頂部位移確定時(shí)(初值條件)，根據(jù)荷載傳遞模型解答可以得到錨桿頂部荷載P的數(shù)值。因此，接觸面模型參數(shù)的反演過程就是，根據(jù)錨桿頂端張拉數(shù)據(jù)，即P-S曲線，求解界面模型中4個(gè)參數(shù)的過程。

構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)為

(18)

其中，

X=(k,u0,m,τr) 或X=(a,b,m,n)。

式中:X為一組待反演參數(shù), 其中k,u0,m,τr為S-D模型參數(shù)，a,b,m,n為ID-C模型參數(shù)；Pi(X)為第i個(gè)錨桿頂部位移對(duì)應(yīng)的錨桿荷載計(jì)算值；Pi為第i個(gè)錨桿頂部位移對(duì)應(yīng)的錨桿荷載實(shí)測(cè)值；n為選取實(shí)測(cè)拉拔曲線上關(guān)鍵位移荷載點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

利用粒子群優(yōu)化算法編程簡(jiǎn)單、全局搜索能力強(qiáng)、收斂速度快的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)行優(yōu)化求解，反復(fù)迭代，尋找到合適的錨桿界面模型參數(shù)，使求解得到的不同張拉位移下的錨桿頂部荷載與實(shí)測(cè)值最為接近，即目標(biāo)函數(shù)最小。

5 算例分析

為驗(yàn)證本文引入的錨桿界面本構(gòu)模型的可靠性，以及接觸面模型參數(shù)反演思路的合理性，本文選用榮冠等[28]以及劉波等[29]完成的錨桿張拉過程的試驗(yàn)數(shù)據(jù)加以反演，在求解得到模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)錨桿張拉試驗(yàn)曲線以及張拉過程中錨桿軸力、剪應(yīng)力分布進(jìn)行計(jì)算，并用試驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴?/p>

5.1 鋼錨桿室內(nèi)張拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)反演與分析

為了解砂漿錨桿工作機(jī)制，合理進(jìn)行錨固工程設(shè)計(jì)計(jì)算，榮冠等[28]設(shè)計(jì)了螺紋鋼錨桿和圓鋼錨桿拉拔試驗(yàn)，錨桿直徑為32 mm，彈性模量為210 GPa，設(shè)計(jì)錨固長度為1 m，錨桿直接澆埋在混凝土中。并在錨桿上布置電阻應(yīng)變片以測(cè)量不同錨固深度處錨桿的應(yīng)力值。

2種錨桿界面剪切滑移模型的參數(shù)見表1,錨桿張拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)及反演結(jié)果如圖2所示。

圖2 室內(nèi)試驗(yàn)錨桿荷載-位移曲線計(jì)算值與實(shí)測(cè)值Fig.2 Calculated and test values of load-displacement curve of anchor

S-D模型參數(shù)ID-C模型參數(shù)ku0mτrabmn63.310.2241.2240.446154.160.240.1673.16

分別以2種模型的反演參數(shù)進(jìn)行正分析，利用錨桿荷載傳遞微分方程，求解不同張拉荷載下，錨桿錨固深度各點(diǎn)軸力以及剪應(yīng)力分布，見圖3和圖4。

圖3 室內(nèi)試驗(yàn)錨桿各處軸力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值Fig.3 Calculated and indoor test values of bolt’s axial force

圖4 室內(nèi)試驗(yàn)錨桿界面剪應(yīng)力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值Fig.4 Calculated and indoor test values of interfacial shear stress of anchor

從圖3和圖4可以看出，錨桿軸力及界面剪應(yīng)力的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與根據(jù)反演參數(shù)計(jì)算的結(jié)果十分吻合，證明了上述方法的可行性。

從圖4可以看出拉拔過程中錨桿受力的變化情況：隨著錨桿頂部拉拔荷載的增加，錨桿接觸面的剪切摩阻力經(jīng)歷了增長、達(dá)到峰值并軟化的過程，當(dāng)張拉荷載相對(duì)較小即錨固界面處于彈性黏結(jié)狀態(tài)時(shí)，剪應(yīng)力的最大值在張拉端，并大致按冪函數(shù)或雙曲函數(shù)分布，這與許多關(guān)于錨桿傳力機(jī)理的彈性理論研究結(jié)果相一致[8,30]；隨著張拉荷載的增大，錨桿張拉端剪應(yīng)力超過錨固界面的極限剪切強(qiáng)度，剪應(yīng)力最大值逐漸移向遠(yuǎn)端，以漸近方式發(fā)生滑移并改變剪應(yīng)力的分布形式，呈現(xiàn)單峰曲線的形態(tài)。

從圖4也可以看出，當(dāng)上拔荷載達(dá)到>200 kN的某一個(gè)數(shù)值時(shí)，隨著荷載的增加，錨桿頂部區(qū)域的剪切應(yīng)力出現(xiàn)峰后衰減。由于錨桿軸力增量與界面剪切應(yīng)力具有平衡關(guān)系，即dP(x)+Cτ(u)dx=0，τ(u)減小，在剪切應(yīng)力的峰后區(qū)域，錨桿軸力也同步出現(xiàn)了軟化，如圖3所示，同時(shí)隨著拉拔荷載增加，軟化深度由錨桿頂端區(qū)域向遠(yuǎn)端擴(kuò)散。

5.2 某山區(qū)巖石基礎(chǔ)現(xiàn)場(chǎng)拉拔反演與分析

劉波等[29]在一山區(qū)進(jìn)行巖石基礎(chǔ)錨固拉拔現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，錨固鋼筋直徑為42 mm，鋼筋的彈性模量為2.0×105MPa，錨固長度為3 000 mm。鋼筋周圍灌漿采用單軸抗壓強(qiáng)度27.10 MPa的細(xì)石混凝土，變形模量為2.6×104MPa，鉆孔直徑為150 mm。在鋼筋上開槽，并間隔150 mm布設(shè)應(yīng)變片。在上拔過程中記錄錨桿頂部位移和錨桿軸力的變化。采用同上的方法，反演得到的模型參數(shù)見表2，反演分析得到的錨桿拉拔曲線與不同張拉荷載下錨固體軸力分布如圖5和圖6所示。

表2 模型反演參數(shù)Table 2 Inversion parameters of model

圖5 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)錨桿荷載-位移曲線計(jì)算值與實(shí)測(cè)值Fig.5 Calculated and field test values of load-displacement curve of anchor

圖6 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)錨桿各處軸力計(jì)算值與實(shí)測(cè)值Fig.6 Calculated and field test values of bolt’s axial force

從圖5和圖6可以看出，不同張拉位移對(duì)應(yīng)的錨桿頂部荷載計(jì)算值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差很小，錨桿軸力反演參數(shù)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)也十分吻合，再次證明了本文反演再分析方法的合理性。

并根據(jù)上述過程得到的反演參數(shù)，繪制本文中5.1節(jié)案例1和5.2節(jié)案例2的2種錨桿界面剪切滑移模型的本構(gòu)關(guān)系曲線，如圖7所示。

圖7 錨桿界面剪切滑移本構(gòu)模型曲線Fig.7 Shear-slip constitutive models of anchor interface

圖8 錨桿界面剪切滑移曲線Fig.8 Shear-slip curve of anchor interface

陳昌富等[31]為真實(shí)反映錨桿受拉時(shí)錨固體與巖土體界面的特性，較準(zhǔn)確地獲得包含界面剪切殘余段的剪應(yīng)力-位移全過程曲線，研發(fā)了一種錨-土界面摩阻性能測(cè)試儀器，獲得的錨-土界面剪應(yīng)力-滑移曲線如圖8所示。同圖7相比，文獻(xiàn)[31]的試驗(yàn)曲線與本文反演求解的模型曲線都具有初始彈性、非彈性、峰值后軟化以及殘余剪切強(qiáng)度階段，在形態(tài)上具有很高的相似性，再一次驗(yàn)證了本文引入的2種錨桿界面本構(gòu)模型的合理性。

6 結(jié) 論

(1)本文引入2種反映殘余強(qiáng)度的錨固界面剪切滑移模型(統(tǒng)計(jì)損傷模型以及改進(jìn)Duncan-Chang模型)，并分析了2種模型各參數(shù)的物理意義。提出根據(jù)荷載-位移曲線，采用粒子群優(yōu)化算法反演模型參數(shù)，再應(yīng)用到錨桿張拉受力的正分析中，從而實(shí)現(xiàn)了錨桿荷載-位移關(guān)系以及側(cè)阻力分布的預(yù)測(cè)方法。

(2)通過實(shí)例分析，上述方法計(jì)算得到的錨桿荷載-位移曲線、錨桿軸力以及界面剪應(yīng)力分布與實(shí)測(cè)值較為接近，證明了本文引入的錨桿界面剪切滑移模型的合理性，模型參數(shù)反演方法的可操作性，以及由現(xiàn)場(chǎng)拉拔試驗(yàn)數(shù)據(jù)參數(shù)反演、再應(yīng)用到錨桿受力分析這種思路的可行性。

(3)隨著拉拔荷載的增加，錨桿頂部的剪切應(yīng)力增長至峰值點(diǎn)后衰減，剪切應(yīng)力分布曲線進(jìn)一步向錨固深度內(nèi)傳遞，錨桿軸力也同步經(jīng)歷軟化的過程。錨桿張拉是荷載逐漸傳遞的過程。

本文提出的根據(jù)錨桿張拉試驗(yàn)數(shù)據(jù)參數(shù)反演再應(yīng)用到界面受力正分析的方法，具有求解精度高、可操作性強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，可以為錨桿的設(shè)計(jì)和施工提供一定的參考。