一類大轉(zhuǎn)角兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型分析與運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計

宋軼民，周?培，齊?楊，霍欣明

?

一類大轉(zhuǎn)角兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型分析與運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計

宋軼民1，周?培1，齊?楊2，霍欣明1

(1. 天津大學(xué)機構(gòu)理論與裝備設(shè)計教育部重點實驗室，天津 300354； 2. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222)

面向航空航天和仿生設(shè)計等領(lǐng)域?qū)Υ筠D(zhuǎn)角兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用需求，圍繞一類新型兩自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)——2-RRRR&2-RSR機構(gòu)的構(gòu)型分析與運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計問題展開研究．首先，以投影關(guān)系為基礎(chǔ)分析2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)在給定工作空間內(nèi)實現(xiàn)兩自由度轉(zhuǎn)動運動所需滿足的幾何條件，并針對兩種投影情況分析機構(gòu)的參數(shù)特解．其次，基于閉環(huán)矢量法求解2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解，推導(dǎo)機構(gòu)驅(qū)動角度與動平臺姿態(tài)角之間的映射關(guān)系，繼而利用RRRR支鏈與RSR支鏈的運動特點，獲得機構(gòu)動平臺姿態(tài)角的正解模型．以此為基礎(chǔ)，借助螺旋理論建立2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)的速度映射模型，構(gòu)建機構(gòu)的廣義雅可比矩陣，并通過軟件仿真驗證機構(gòu)位置正、逆解及速度映射模型的有效性．再次，根據(jù)2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)的運動特性，以奇異性、鉸鏈許用轉(zhuǎn)角范圍、連桿安全距離為約束條件，借助極限邊界搜索法求解機構(gòu)動平臺中心點的位置工作空間，進(jìn)而對應(yīng)位置工作空間等效獲得機構(gòu)的轉(zhuǎn)角工作空間．最后，借助螺旋理論中運動與力的互易積的物理含義定義可描述2-RRRR&2-RSR機構(gòu)瞬時功率傳遞特性的無量綱運動學(xué)性能評價指標(biāo)，并結(jié)合工程實際需求設(shè)定機構(gòu)的約束條件，實現(xiàn)機構(gòu)的尺度參數(shù)的運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計．研究成果可為大工作空間兩自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的樣機設(shè)計與控制策略制定奠定理論基礎(chǔ)．

轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)；構(gòu)型分析；運動學(xué)分析；工作空間；尺度綜合

兩自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)因結(jié)構(gòu)緊湊、精度高等優(yōu)點在工業(yè)、航空航天、醫(yī)療等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值，例如空間5R機構(gòu)、PantoScope機構(gòu)等兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)已成功應(yīng)用于攝像探測裝備、微創(chuàng)手術(shù)輔助裝置[1-3]等．近年來，航天測控、仿生學(xué)的發(fā)展對轉(zhuǎn)動機構(gòu)的工作空間提出了更高的要求[4-6]，設(shè)計具有大轉(zhuǎn)角、優(yōu)異運動性能的兩自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)成為研究的熱點問題．

Dunlop等[7]在3-RSR并聯(lián)機構(gòu)的基礎(chǔ)上添加了SS支鏈，提出了兩轉(zhuǎn)動Canterbury Tracker天線角跟蹤機構(gòu)，實現(xiàn)了大范圍目標(biāo)追蹤．受腕關(guān)節(jié)的啟發(fā)，Ross-Hime公司研發(fā)了Omni-wrist系列并聯(lián)機構(gòu)，該系列機構(gòu)可實現(xiàn)半球面無奇異兩轉(zhuǎn)動運動[8-9]．Omni-wrist系列機構(gòu)的優(yōu)異性能引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注．文獻(xiàn)[10-14]分別針對該類機構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)分析．研究表明，Canterbury Tracker、Omni-wrist系列機構(gòu)轉(zhuǎn)動軸線的方向與位置均隨機構(gòu)運動發(fā)生改變，且該類機構(gòu)可視為零扭轉(zhuǎn)機構(gòu)，即機構(gòu)運動的扭轉(zhuǎn)角為零[15]．相較于定軸兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)，零扭轉(zhuǎn)機構(gòu)具有實現(xiàn)更大工作空間的可能性．

筆者前期提出了一類新型兩自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)2-RRRR&2-RSR，該機構(gòu)具有零扭轉(zhuǎn)運動特點[16].與Canterbury Tracker和Omni-wrist機構(gòu)相比，2-RRRR&2-RSR機構(gòu)擺脫了中間支鏈的約束，具有實現(xiàn)更大工作空間的可能性．此外，機構(gòu)的4條支鏈呈圓周形狀對稱分布，可保證機構(gòu)在給定工作空間內(nèi)具有良好的運動學(xué)與靜力學(xué)對稱性．由于機構(gòu)靜平臺轉(zhuǎn)動副軸線通過靜平臺中心點，機構(gòu)的正、逆運動學(xué)求解與控制策略將更為簡便．

本文以2-RRRR&2-RSR機構(gòu)為研究對象開展構(gòu)型分析與優(yōu)化設(shè)計研究．首先，分析2-RRRR&2-RSR機構(gòu)在給定工作空間內(nèi)實現(xiàn)兩自由度轉(zhuǎn)動運動所需滿足的幾何條件．其次，采用閉環(huán)矢量法建立機構(gòu)的位置逆、正解模型，并借助螺旋理論推導(dǎo)機構(gòu)的廣義雅克比矩陣．之后，基于螺旋理論互易積的概念，定義可描述機構(gòu)瞬時功率傳遞特性的運動學(xué)性能評價指標(biāo)，并計及各種約束條件，構(gòu)造尺度綜合的目標(biāo)函數(shù)，以實現(xiàn)機構(gòu)運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計．

1?構(gòu)型分析

在機構(gòu)運動過程中，動坐標(biāo)系相對于固定坐標(biāo)系的姿態(tài)變換矩陣可表示為

(1)

(2)

圖1?2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)

零扭轉(zhuǎn)兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)動平臺中心點的運動可描述為

(3)

首先，分析2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)在給定工作空間內(nèi)實現(xiàn)兩自由度轉(zhuǎn)動需滿足的幾何條件．如圖2(a)所示，在初始位形下，RRRR支鏈中轉(zhuǎn)動副1和轉(zhuǎn)動副4軸線平行，轉(zhuǎn)動副1和轉(zhuǎn)動副2軸線相交于靜平臺中心點，轉(zhuǎn)動副2和轉(zhuǎn)動副3軸線相交于點，轉(zhuǎn)動副3和轉(zhuǎn)動副4軸線相交于動平臺中心點．如圖2(b)所示，初始位形下，RSR支鏈中2個轉(zhuǎn)動副軸線平行，球副中心記為點．對于RRRR支鏈和RSR支鏈，點在支鏈?zhǔn)?、末轉(zhuǎn)動副軸線上的投影分別記為點和點．

由閉環(huán)矢量可知

(4)

根據(jù)轉(zhuǎn)動副的運動性質(zhì)，可知

(5)

由式(4)可知

(6)

(7)

將式(6)代入式(7)，可得

圖2?組成支鏈構(gòu)成

Fig.2?Construction of assembled limb

圖3?支鏈末端點投影情況

(8)

初始位形下，式(8)可簡化為

(9)

(10)

(11)

圖4?2-RRRR&2-RSR機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意

2?運動學(xué)分析

2.1?位置逆解

如圖5所示，選擇支鏈1與支鏈2的轉(zhuǎn)動副1作為驅(qū)動關(guān)節(jié)．基于閉環(huán)矢量法，可建立機構(gòu)的閉環(huán)矢量方程

(12)

圖5?機構(gòu)組成支鏈

Fig.5?Assembled limbs of mechanism

式(12)左右兩邊分別與其自身做內(nèi)積，得

化簡上式，可得

(13)

(14)

2.2?位置正解

(15)

由式(15)可得動平臺中心點的位置坐標(biāo)為

(16)

其中

以式(16)為基礎(chǔ)，可解得機構(gòu)動平臺姿態(tài)角

(17)

2.3?速度映射模型

(18)

對于支鏈1與支鏈3，有

對于支鏈2與支鏈4，有

(19) (20) (21)

其中

(22)

(23)

其中

將式(19)～(23)整理為

(24)

其中

(25)

2.4?算?例

借助MATLAB軟件，將動平臺的姿態(tài)角代入機構(gòu)位置逆解與速度映射模型，可得驅(qū)動副的角度與角速度變化情況，如圖6與圖7所示．將機構(gòu)位置逆解所得驅(qū)動角變化情況代入機構(gòu)位置正解模型，可得動平臺姿態(tài)角變化曲線，如圖8所示．由于位置正解模型所得動平臺姿態(tài)角與給定姿態(tài)角相同，可驗證機構(gòu)位置正、逆解模型的有效性．

圖6?驅(qū)動角度變化

圖7?驅(qū)動角速度的變化

圖8?姿態(tài)角的變化

3?工作空間分析

(26)

(1) 奇異性約束．

為了使機構(gòu)在可達(dá)工作空間全域不出現(xiàn)奇異位形，需要對雅可比矩陣的行列式進(jìn)行約束，即

(27)

(2) 轉(zhuǎn)角范圍約束．

(28)

(3) 連桿干涉約束．

機構(gòu)中的支鏈桿件具有一定的幾何尺寸，在運動過程中兩連桿可能發(fā)生干涉．為避免影響機構(gòu)性能，需設(shè)定連桿干涉約束條件為

(29)

圖9?動平臺中心點位置工作空間

圖10?角度工作空間

4?優(yōu)化設(shè)計

4.1?尺度參數(shù)

，(30)

4.2?評價指標(biāo)

借助螺旋理論運動/力互易積的物理含義，定義可描述2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)瞬時功率傳遞特性的無量綱運動學(xué)性能評價指標(biāo)

(31)

(32)

(33)

式中為機構(gòu)工作空間的體積．

為綜合考慮2-RRRR&2-RSR機構(gòu)在工作空間內(nèi)的運動學(xué)性能評價指標(biāo)均值與波動，可構(gòu)建機構(gòu)全域性能評價指標(biāo)為

(34)

4.3?約束條件

(35)

4.4?優(yōu)化設(shè)計

(36)

圖11?運動學(xué)性能評價指標(biāo)的分布情況

5?結(jié)?論

針對航空航天和仿生領(lǐng)域?qū)Υ筠D(zhuǎn)角兩轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用需求，本文以2-RRRR&2-RSR機構(gòu)為研究對象，開展了構(gòu)型分析與運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計．所得主要結(jié)論如下．

(1) 基于投影關(guān)系分析了2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)在給定工作空間內(nèi)實現(xiàn)兩自由度轉(zhuǎn)動所需滿足的幾何條件，獲得了機構(gòu)參數(shù)特解．

(2) 以閉環(huán)矢量法為基礎(chǔ)，開展了2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解分析，推導(dǎo)了機構(gòu)驅(qū)動角度與動平臺姿態(tài)角間的映射關(guān)系；利用RRRR支鏈與RSR支鏈的運動特點，建立了機構(gòu)動平臺姿態(tài)角的正解模型，并基于軟件仿真驗證了正、逆解模型的有效性．

(3) 借助螺旋理論建立了2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)的速度映射模型，構(gòu)建了機構(gòu)的廣義雅可比矩陣，結(jié)合機構(gòu)位置逆解，考慮工程實際經(jīng)驗，利用極限邊界搜索法求解了機構(gòu)工作空間．

(4) 定義了可描述并聯(lián)機構(gòu)瞬時功率傳遞特性的無量綱運動學(xué)性能評價指標(biāo)，構(gòu)造了尺度綜合的目標(biāo)函數(shù)，完成了2-RRRR&2-RSR并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計．

［1］ Gosselin C M，Caron F. Two Degree-of-Freedom Spherical Orienting Device：US 09/064553[P]. 1999-10-19.

［2］ Lum M J H，Rosen J，Sinanan M N，et al. Kinematic optimization of a spherical mechanism for a minimally invasive surgical robot[C]//IEEE International Conference on Robotics and Automation. New Orleans，USA，2004：829-834.

［3］ Baumann R，Maeder W，Glauser D，et al. The pantoscope：A spherical remote-center-of-motion parallel manipulator for force reflection[C]// IEEE International Conference on Robotics and Automation. Albuquerque，USA，1997：718723.

［4］ 劉海濤，熊?坤，賈昕胤，等. 3 自由度冗余驅(qū)動下肢康復(fù)并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)優(yōu)化設(shè)計[J]. 天津大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2018，51(4)：357-366.

Liu Haitao，Xiong Kun，Jia Xinyin，et al. Kinematic optimization of a redundantly actuated 3-DOF parallel mechanism for lower-limb rehabilitation[J]. Journal of Tianjin University：Science and Technology，2018，51(4)：357-366(in Chinese).

［5］ 趙?慶，王攀峰，黃?田. 考慮鏈間耦合的高速并聯(lián)機器人慣性參數(shù)預(yù)估方法[J]. 天津大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2017，50(8)：868-876.

Zhao Qing，Wang Panfeng，Huang Tian. An inertial parameter estimation method for high-speed parallel robots by considering inter-chain coupling[J]. Journal of Tianjin University：Science and Technology，2017，50(8)：868-876(in Chinese).

［6］ 謝勝龍，梅江平，劉海濤. 足底驅(qū)動型下肢康復(fù)機器人的運動學(xué)建模與軌跡跟蹤控制研究[J]. 天津大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2018，51(5)：443-452.

Xie Shenglong，Mei Jiangping，Liu Haitao. Kinematics modeling and simulation of trajectory tracking control of a foot-plate-based lower-limb rehabilitation robot[J]. Journal of Tianjin University：Science and Technology，2018，51(5)：443-452(in Chinese).

［7］ Dunlop G R，Jones T P. Position analysis of a two DOF parallel mechanism：The canterbury tracker[J]. Mechanism and Machine Theory，1999，34(4)：599-614.

［8］ Rosheim M E. New high-angulation omnidirectional sensor mount[C]//International Symposium on Optical Science & Technology. USA，2002，4281：163-174.

［9］ Sofka J，Nikulin V V，Skormin V A，et al. Laser communication between mobile platforms[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2009，45(1)：336-346.

［10］ Sofka J，Skormin V，Nikulin V，et al. Omni-wrist Ⅲ—A new generation of pointing devices，part Ⅰ：Laser beam steering devices—Mathematical modeling[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2006，42(2)：718-725.

［11］ Sofka J，Skormin V. Integrated approach to electro-mechanical design of a digitally controlled high precision actuator for aerospace applications[C]//IEEE International Conference on Control Applications. Munich，Germany，2006：261-265.

［12］ Wu Y Q，Li Z X，Shi J B. Geometric properties of zero-torsion parallel kinematics machines[C]//IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Taipei，China，2010：18-22.

［13］ Yu J J，Dong X，Xu P，et al. Mobility and singularity analysis of a class of two degrees of freedom rotational parallel mechanisms using a visual graphic approach[C]// ASME International Design Engineering Technical Conferences & Computers & Information in Engineering Conference. Chicago，USA，2012，4(4)：1027-1036.

［14］ Wu K，Yu J J，Zong G H，et al. Type synthesis of 2- DOF rotational parallel manipulators with an equal-diameter spherical pure rolling motion[C]//ASME 2013 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference，Portland. Oregon，USA，2013，6A：V06AT07A042.

［15］ Bonev I A. Geometric Analysis of Parallel Mechanisms[D]. Quebec：Department de Genie Mecanique，Universite Laval，2002.

［16］ Qi Y，Sun T，Song Y M. Type synthesis of parallel tracking mechanism with varied axes by modeling its finite motions algebraically[J]. ASME Transactions，Journal of Mechanisms and Robotics，2017，9(5)：054504.

［17］ 黃?真，趙永生，趙鐵石. 高等空間機構(gòu)學(xué)[M]. 北京：高等教育出社，2006.

Huang Zhen，Zhao Yongsheng，Zhao Tieshi. Advanced Spatial Mechanism[M]. Beijing：Higher Education Press，2006(in Chinese).

［18］ 趙延治，梁博文，曹亞超，等. 恒定雅可比3-PRRR移動并聯(lián)機構(gòu)及其傳遞性能研究[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2017，48(1)：333-338.

Zhao Yanzhi，Liang Bowen，Cao Yachao，et al. 3-PRRR translational parallel mechanism with constant Jacobian matrix and its transfer performance analysis[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2017，48(1)：333-338(in Chinese).

［19］ 楊繼東，萬彪剛，高俊東，等. Tripod并聯(lián)機器人運動學(xué)分析與樣機實驗[J]. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2016，47(10)：390-397.

Yang Jidong，Wan Biaogang，Gao Jundong，et al. Kinematic analysis and experiment of Tripod parallel robot[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2016，47(10)：390-397(in Chinese).

Topology Analysis and Kinematic Optimization of a 2-DoF Rotational Parallel Mechanism with Large Workspace

Song Yimin1，Zhou Pei1，Qi Yang2，Huo Xinming1

(1. Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300354，China；2. Tianjin Key Laboratory of High Sepeed Cutting and Precision Machining， Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China)

This work focuses on topology analysis and kinematic optimization of a new type of two degree-of-freedom(2-DoF)rotational parallel mechanism 2-RRRR&2-RSR to meet application requirements for 2-DoF rotational parallel mechanisms with large workspaces in the fields of aerospace and bionic design. First，geometric conditions necessary for the 2-RRRR&2-RSR parallel mechanism to realize 2-DoF rotations in a given workspace are analyzed on the basis of the projection relation of revolute joint axis，and specific parameter solutions of the mechanism for two projection cases are formulated. Second，the 2-RRRR&2-RSR parallel mechanism is subjected to inverse position analysis via closed-loop vector method，and mapping relation between actuated angles and attitude angles of the moving platform of the mechanism is derived. Then，forward solution of the attitude angles is obtained in accordance with motion characteristics of RRRR and RSR limbs. Accordingly，velocity mapping model of the 2-RRRR&2-RSR parallel mechanism is established based on screw theory，and generalized Jacobian matrix of the mechanism is constructed. The validity of the inverse/forward position mapping model and velocity mapping model of the mechanism is verified through software simulation. Third，in accordance with the kinematic characteristics of the 2-RRRR&2-RSR parallel mechanism，position workspace of the center point of the moving platform of the mechanism is solved using the limit boundary search method under constraints of singularity，allowable rotational angle range of hinges，and safe distance of connecting rods. The corresponding rotational workspace is obtained by transforming the aforementioned position workspace. Finally，dimensionless kinematic performance evaluation index of the 2-RRRR&2-RSR mechanism is defined as per the physical meaning of reciprocal product of motion and force screws in screw theory. Constraints of the mechanism are formed and optimal design of the scale parameters of the mechanism is completed. The results of this work can lay a theoretical foundation for prototype design and control strategy of rotational parallel mechanisms with large workspaces.

rotational parallel mechanisms；topology analysis；kinematics analysis；workspace；dimensional synthesis

the National Natural Science Foundation of China(No.51475321).

TH112.1

A

0493-2137(2019)09-0908-09

2018-10-23；

2018-11-30.

宋軼民（1971—），男，博士，教授.

宋軼民，ymsong@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51475321)

10.11784/tdxbz201810039

(責(zé)任編輯：金順愛)