高中數(shù)學思維嚴密性例析

陳瑜

摘 要：嚴密性是高中數(shù)學的一個重要特點，也是學生良好思維品質(zhì)的一個重要方面.通過對有關(guān)絕對值三角不等式應(yīng)用的例題分析，闡述審題、方案思考以及解題計算中思維嚴密性的重要性.

關(guān)鍵詞：思維；嚴密性；絕對值；三角不等式

前言

高中數(shù)學具有抽象性、嚴密性和應(yīng)用的廣泛性等特點，而其中的嚴密性是良好思維品質(zhì)的一個重要方面，表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，審題時嚴格、準確，思考解題方案時考慮周全，計算準確無誤[ 1 ].

絕對值三角不等式是人教版選修4-5中的重要內(nèi)容之一，也是高考選考部分的內(nèi)容.它是求解含有多個絕對值符號的函數(shù)最值問題的重要解題工具[ 2 ].如果a，b都是實數(shù)，則a+b≤a+b，當且僅當ab≥0時，等號成立；把定理中的實數(shù)換成向量a，b，結(jié)論依舊成立，它的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊.學生對于其應(yīng)用，特別對等號的成立條件方面思維不嚴密，極易發(fā)生錯誤.因此絕對值的三角不等式的應(yīng)用，特別在求存在性和最值問題，以及證明一些不等式時，更應(yīng)該重視思維嚴密性.

1 審題嚴密性

在解決問題過程中第一步是審題，審題是否認真，是否嚴密，能否提取出有用且重要的信息對解題有著至關(guān)重要的作用，請看例題1.

【例題1】解不等式2x+1-x-2

這是一道含絕對值的不等式的求解問題。先回顧絕對值三角不等式等號成立的條件（見表1）.

表1 絕對值三角不等式成立條件

根據(jù)絕對值三角形不等式成立條件，原不等式可等價于2x+1

這道題目的計算、證明過程并不復(fù)雜，拿下這道題目，關(guān)鍵在于做到審題嚴密.通過審題，依據(jù)絕對值三角形不等式，可觀察出2x+1=（x-2）+（x+3），更重要的，需要審查出其與絕對值的三角不等式的不同處——沒有等號，這樣就可以想到用兩式異號來解決，否則用零點分區(qū)間來討論就相對復(fù)雜了.由此可以看出有時進行嚴密的審題就容易找到解題的突破口.

2 思路嚴密性

解題過程中思路的嚴密性很重要，如果解含絕對值的不等式時從去絕對值的方面來考慮，就要注意零點分區(qū)間的嚴密性，做到區(qū)間的不重不漏，如果選擇的是含絕對值的三角不等式來解題時要注意等號是否成立.就比如這道2017年全國課標三卷的第23題.

【例題2】已知函數(shù)f（x）=x+1-x-2.若不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.

初步思路：不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，等價于m≤f（x）-x2+x有解，m≤x+1-x-2-x2+x，令g（x）=x+1-x-2-x2+x.

錯誤思路一：

g（x）=x+1-x-2-x2+x≤x+1-（x-2）-x2+x=-x2+x+3=-（x-）2+.

因此當x=時，g（x）max=。此時忘記絕對值三角不等式取等號的條件需要（x+1）（x-2）≥0，且x+1>x-2即x≥2，而x=時明顯不在這個范圍內(nèi)，因此取不到這個最大值，解法錯誤.

錯誤思路二：

g（x）=x+1-x-2-x2+x≤x+1+2-x-x2+x=-x2+x+3=-（x-）2+.

因此當x=時，g（x）max=。此時，應(yīng)用了兩次絕對值的三角不等式，其等號成立要求滿足x≥2，而x=明顯不在這個范圍內(nèi)，因此也取不到這個最大值.

正確思路一：

由f（x）≥x2-x+m得m≤x+1-x-2-x2+x，而x+1-x-2-x2+x≤x+1+x-2-x2+x=-（x-）2+≤

且當0≤x≤2，取x=時，x+1-x-2-x2+x=，故m的取值范圍為（-∞，）.

正確思路二：

不等式f（x）≥x2-x+m的解集非空，等價于m≤f（x）-x2+x有解，即：m≤（f（x）-x2+x）max，令g（x）=f（x）-x2+x

=-x2+x-3，x<-1-x2+3x-1，-1≤x≤-x2+x+3，x>22

當-1≤x≤2時， g（x）=-（x- ）2+，g（x）max =

當x>2時， g（x）=-（x- ）2+，g（x）<1

綜上所述，g（x）的最大值為，故m的取值范圍為（-∞，）.

3 計算嚴密性

高中數(shù)學計算能力也是一個很重要的考查點，特別對于復(fù)雜的計算就要看嚴密性把握是否到位，嚴密性好的得分率自然就高。許多同學在一些計算過程中失分，如下例題3.

【例題3】已知函數(shù)f（x）=2x-a+x+1若f（x）的最小值為1，求a的值.

從求解方式來看，本題可用零點分區(qū)間討論求最值，也可以用絕對值的三角不等式來解決.這里應(yīng)用絕對值的三角不等式來求解.求解過程如下：

f（x）=2x-a+x+1=x-+x-+x+1≥0+1+，∵1+=1，∴ a=-4或0，當且僅當（x+1）（x-）≤0，同時x-=0時，f（x）取最小值.

此題常見計算失誤有兩種情況，其一，漏解，此題a有兩解，很多同學只求得其中一解；其二，此題取最值時等號是否成立沒有驗證.

結(jié)論

近幾年高考的選做題中的不等式也是很多學生選擇的對象，因此在求解含有多個絕對值符號的函數(shù)最值問題的時候要多關(guān)注等號成立的條件，多加考慮，注意嚴密性.切不可一刀切，否則看似已經(jīng)求出答案，實則大相徑庭，無法得分.數(shù)學的嚴密性訓練從細節(jié)的方面來說對于學生參加高考時的得分率有著至關(guān)重要的影響，從整體的方面來說是以后做人做事嚴謹態(tài)度的一個培養(yǎng)，所以在平時的教學中應(yīng)該重視，有意識地強化嚴密性思維的培養(yǎng).

參考文獻：

[1]于永剛.挖掘數(shù)學習題潛力，培養(yǎng)數(shù)學思維嚴密性[J].吉林教育，2012（32）.

[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學教學課程教材研究所開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學 選修4-5 A版 不等式選講[M].人民教育出版社，2007.