畫室里的數(shù)學證明

林革

達·芬奇是意大利最著名的藝術大師。這位“歐洲文藝復興時期最完美的代表” 學識淵博、多才多藝，其代表作《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》享譽全世界。達·芬奇不僅在繪畫領域有著高超精湛的藝術造詣，在科學領域也展露出卓越的才能，被稱為“藝術家里的數(shù)學家”，其研究成果和發(fā)明創(chuàng)造曾得到科學大師愛因斯坦的高度贊賞，因此被譽為“人類歷史上絕無僅有的全才”。

有一天，達·芬奇來畫室檢查學生臨摹《蒙娜麗莎》的情況，令他驚訝的是，竟然有半數(shù)的學生并沒有潛心于作畫，而在琢磨探討“畢達哥拉斯定理”的證明。這個大家耳熟能詳?shù)亩ɡ?，在我國古代也曾被研究證明過，并稱為“勾股定理”：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2。有關這個定理的證明方法多種多樣，不拘一格，因此也一直吸引愛好者嘗試另辟蹊徑。

學養(yǎng)深厚的達·芬奇自然知曉“畢達哥拉斯定理”的出處和背景，加上他對數(shù)學的酷愛，所以他并沒有責備弟子，而是自己也饒有興致地加入其中。于是，師生融洽和諧、自由開放的研究氛圍很快就孕育出成功的“果實”。

達·芬奇的一位學生首先展示出自己的思路，具體分析如下：

圖1和圖2是兩個形狀、大小完全一樣的正方形，邊長為a+b，只是分割方法不同而已?？梢钥闯觯瑘D1的分割把正方形分成兩個較小的正方形和兩個完全一樣的長方形，較小的正方形邊長分別是a、b，即面積分別是a2和b2;兩個完全一樣的長方形面積都是ab，所以原正方形的面積S=a2+b2+2ab。圖2的分割，則是把正方形分成1個較小的正方形和4個完全一樣的直角三角形，較小的正方形邊長為c，即面積為c2;4個完全一樣的直角三角形的面積都是[12]ab，所以原正方形的面積S=c2+4×[12]ab=c2+2ab。

既然圖1和圖2的形狀、大小完全一樣，面積自然相等，則有a2+b2+2ab=c2+2ab，也就是a2+b2=c2。

就在弟子們議論紛紛之際，他們的導師達·芬奇已經愜意而輕松地揮著畫紙宣布，自己也已順利證明了“畢達哥拉斯定理”，大家頓時屏息靜氣，細聽究竟。

達·芬奇的證明也是畫圖轉化。具體方式是：先將邊長分別為a、b的2個正方形和邊長都是a、b、c的2個直角三角形拼合成圖3，且畫出整個圖形的對稱軸（圖中虛線）;接著，將拼合成的圖形整體從畫紙中移出。再將取出的圖形沿對稱軸剪開，保留圖形的左邊，并將右邊按照垂直方向翻轉一周后重新拼合成圖4;最后，將圖4中一些頂點相連成一個c為邊長的正方形和2個邊長為a、b的直角三角形（圖5），就完成了定理的證明。

這種“美術證法”的正確性，可以通過并不復雜的數(shù)學分析來說明：⑴考慮到圖3的對稱性，直角A和直角D都被均分，因此翻轉后的圖5中，角A和角D仍是直角，所以可判斷BF和CE是直角三角形的斜邊c，而BC和EF也是c;⑵在圖3中，∠ABO=90°，這個特征保持到圖5中，即∠ABF+∠FBO=90°，因為直角三角形ABF和CBO完全一樣，所以∠ABF=∠CBO，則∠CBO+∠FBO =∠CBF=90°，這表明BC⊥BF。由此可知，四邊形BCEF是邊長為c的正方形。

這樣一來，圖3中的圖形面積為S=a2+b2+[12]ab+[12]ab=a2+b2+ab，剪拼而成的圖5中圖形面積為S=c2+ab，顯然有a2+b2+ab=c2+ab，可得a2+b2=c2。

聽完達·芬奇的分析后，畫室里頓時爆發(fā)出熱烈的掌聲，恍然大悟的弟子們都被導師的奇思妙想深深折服，由衷欽佩。

通過對照比較可以發(fā)現(xiàn)，弟子的圖解似乎更為簡潔直觀、通俗易懂，表面上應該比他的導師更勝一籌，但所謂外行看熱鬧，內行看門道，達·芬奇的證明其實更能體現(xiàn)數(shù)學的特性與奧妙，內蘊暗伏的構造、割補、對稱、旋轉、轉化等數(shù)學思想，更加體現(xiàn)出藝術大師非同凡響的數(shù)學智慧，大家也可以從其“數(shù)形結合”的內涵中，感受到繪畫與數(shù)學碰撞出的奇妙火花。