交互作用不確定下的項(xiàng)目組合選擇魯棒決策

陶 莎, 盛昭瀚，朱建波

(1.南京大學(xué)工程管理學(xué)院, 江蘇 南京 210093；2.互聯(lián)網(wǎng)+與大數(shù)據(jù)時(shí)代的中澳重大工程管理合作創(chuàng)新聯(lián)盟)

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交互作用不確定下的項(xiàng)目組合選擇魯棒決策

陶 莎1,2, 盛昭瀚1,2，朱建波1,2

(1.南京大學(xué)工程管理學(xué)院, 江蘇 南京 210093；2.互聯(lián)網(wǎng)+與大數(shù)據(jù)時(shí)代的中澳重大工程管理合作創(chuàng)新聯(lián)盟)

項(xiàng)目間交互作用以及參數(shù)不確定性增加了項(xiàng)目組合選擇問題的復(fù)雜性和求解難度。研究帶有不確定項(xiàng)目收益交互和資源交互作用的項(xiàng)目組合選擇問題。建立魯棒性可調(diào)節(jié)的魯棒優(yōu)化模型，通過模型逐步推導(dǎo)，建立與之等價(jià)的線性混合整數(shù)規(guī)劃模型。例舉一個(gè)研發(fā)項(xiàng)目的算例，用CPLEX求解并對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。結(jié)果表明，該方法可以靈活地控制最優(yōu)解的魯棒性，適用于不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的決策者，為項(xiàng)目管理者提供決策支持。

項(xiàng)目組合選擇；項(xiàng)目交互作用；不確定性；魯棒優(yōu)化；可調(diào)節(jié)魯棒性

1 引言

項(xiàng)目組合選擇(Project Portfolio Selection)是項(xiàng)目管理和工程管理領(lǐng)域中最重要的決策問題之一。項(xiàng)目組合選擇是指在資源等約束條件下，從一個(gè)備選項(xiàng)目集合中挑選一個(gè)最合適的子集以實(shí)現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)目標(biāo)[1]。伴隨著項(xiàng)目交互作用、參數(shù)不確定性、多目標(biāo)等特征的加入，項(xiàng)目組合選擇更加復(fù)雜且難以解決，從而引起諸多學(xué)者的研究興趣[2-4]。

早在1991年，Roussel等建議項(xiàng)目管理應(yīng)考慮項(xiàng)目活動之間的相互影響關(guān)系，用整體和系統(tǒng)的觀點(diǎn)看待項(xiàng)目組合問題[5]。項(xiàng)目間的交互作用(Project Interaction/Project Interdependence)是指項(xiàng)目之間相互依賴或排斥關(guān)系、資源消耗的相互影響、項(xiàng)目收益的相互影響等關(guān)系[4-6]。項(xiàng)目交互作用增加了項(xiàng)目組合選擇問題的復(fù)雜度。Yu等[4]建立收益交互作用下的多屬性項(xiàng)目組合選擇的0/1整數(shù)規(guī)劃模型。楊穎等[6]考慮項(xiàng)目交互作用以及項(xiàng)目與企業(yè)戰(zhàn)略的匹配度，建立基于戰(zhàn)略一致性的項(xiàng)目組合選擇模型并設(shè)計(jì)模擬退火算法求解。

現(xiàn)實(shí)中的項(xiàng)目組合選擇問題通常面臨一些關(guān)鍵信息的不確定性，比如項(xiàng)目收益回報(bào)、資源可得性、資源消耗量等。針對帶有參數(shù)不確定性條件的組合選擇問題，許多學(xué)者用隨機(jī)變量或模糊變量刻畫不確定性參數(shù)，并利用隨機(jī)優(yōu)化理論、模糊理論、風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型等方法求解滿意解[2-3,7-10]。尤其，在現(xiàn)實(shí)的項(xiàng)目管理中，項(xiàng)目之間的相互影響涉及的要素眾多、關(guān)聯(lián)復(fù)雜，因此項(xiàng)目間的交互作用通常具有更嚴(yán)重的不確定性，難以估計(jì)其概率分布。魯棒優(yōu)化方法正是應(yīng)對的參數(shù)先驗(yàn)概率分布未知的決策問題，以克服傳統(tǒng)隨機(jī)優(yōu)化理論對假設(shè)和分布估計(jì)的依賴性[11]。魯棒優(yōu)化中的不確定性參數(shù)用離散的情景[12-13]或連續(xù)的區(qū)間[14-15]描述。魯棒優(yōu)化的目的是要找一個(gè)對不確定參數(shù)的變動不敏感(穩(wěn)健)的滿意解，稱為魯棒決策方案。魯棒決策方案能在不確定參數(shù)變動的情況下，仍保持較高的質(zhì)量，包括解的可行性和目標(biāo)水平。Hassanzadeh等[15]研究了目標(biāo)參數(shù)和約束參數(shù)不確定下的多目標(biāo)項(xiàng)目組合魯棒優(yōu)化模型。利用切比雪夫法處理多目標(biāo)，再將模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性模型求解?？紤]專家對項(xiàng)目的評價(jià)以及專家自身偏好的不確定性，F(xiàn)liedner和Liesi?[16]研究多屬性項(xiàng)目組合選擇問題，并設(shè)計(jì)了一種魯棒性可調(diào)節(jié)的決策支持方法。然而，目前鮮少有學(xué)者研究考慮項(xiàng)目交互作用不確定條件下的項(xiàng)目組合選擇的魯棒決策問題。

基于上述分析，本文創(chuàng)新性地考慮項(xiàng)目交互作用不確定且概率分布未知這一現(xiàn)實(shí)特征，研究項(xiàng)目交互作用不確定條件下的項(xiàng)目組合選擇問題。

2 項(xiàng)目組合選擇優(yōu)化模型

本文除了考慮資源約束之外，還考慮多項(xiàng)目間的收益交互影響、資源消耗交互影響兩種交互作用。首先，不考慮參數(shù)不確定性，建立項(xiàng)目交互作用下的項(xiàng)目組合選擇模型。

模型涉及的集合、參數(shù)和變量符號列表如下。

集合與索引變量P={1，…，|P|}備選項(xiàng)目集合，共有|P|個(gè)備選項(xiàng)目，i∈P；R={1，…，|R|}資源集合，共涉及|R|類資源，k∈R；V={1，…，|V|}收益交互影響集合，v∈B；U={1，…，|U|}資源交互影響集合，u∈U；Mv={1，…，|Mv|}產(chǎn)生收益交互作用v的項(xiàng)目集合，Mv?P；Nu={1，…，|Nu|}產(chǎn)生資源交互作用u的項(xiàng)目集合，Nu?P；已知參數(shù)bi項(xiàng)目i的基本收益，即不考慮項(xiàng)目之間收益交互影響的項(xiàng)目i的收益；ri，k項(xiàng)目i對第k類資源的基本需求，即不考慮項(xiàng)目之間資源交互影響時(shí)項(xiàng)目i對資源k的需求量；R-k資源k的總供給量；ev收益交互作用v引起的額外收益或損失。ev>0表示產(chǎn)生額外收益ev；反之，表示額外損失-ev；su，k資源交互作用u引起的對第k類資源的額外消耗或節(jié)省。su，k>0表示額外損耗數(shù)量su，k的資源k；反之，額外節(jié)省-su，k資源k；決策變量xi∈{0，1}項(xiàng)目組合方案是否包含項(xiàng)目i；yv∈{0，1}收益交互影響v是否生效；zu∈{0，1}資源交互影響u是否生效。

該問題可以建立為線性整數(shù)規(guī)劃模型[M1]。其中，目標(biāo)函數(shù)(1)表示項(xiàng)目組合的總收益最大化。總收益包含各個(gè)被選擇執(zhí)行的項(xiàng)目的基本收益總和∑i∈Pbi·xi，以及收益交互影響產(chǎn)生的額外收益/損失總和∑v∈Vev·yv。公式(2)表示資源約束，其中，∑u∈Usu,k·zu計(jì)算資源交互作用下的對資源k用量的額外節(jié)省/消耗，對第k類資源的基本消耗總量進(jìn)行修正。公式(3)至公式(4)判斷每個(gè)收益交互作用是否生效。對于任意v，當(dāng)且僅當(dāng)Mv集合中的項(xiàng)目全部被選擇時(shí)，收益交互作用v才生效。其中，|Mv|表示收益交互作用v涉及的項(xiàng)目數(shù)量。類似地，公式(5)至公式(6)判斷資源交互是否生效。公式(7)定義三類決策變量。由于該模型中的|Mv|,|Nu|可以大于等于2，因此，模型[M1]不局限于兩項(xiàng)目間的相互作用，是多項(xiàng)目收益和資源交互作用下的項(xiàng)目組合選擇問題的一般數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。

[M1] maxf=∑i∈Pbi·xi+∑v∈Vev·yv

(1)

(2)

(3)

yv≥∑i∈Mvxi-|Mv|+1,?v∈V

(4)

(5)

zu>∑i∈Nuxi-|Nu|+1,?u∈U

(6)

xi,yv,zu∈{0,1},?i∈P,v∈V,u∈U

(7)

3 魯棒優(yōu)化模型

現(xiàn)實(shí)中的項(xiàng)目交互作用通常受到諸多關(guān)聯(lián)復(fù)雜的因素影響，具有不確定性且難以估計(jì)其概率分布的特征?；谏鲜龃_定性優(yōu)化模型[M1]，當(dāng)項(xiàng)目交互作用不確定時(shí)，即參數(shù)ev和su,k不確定時(shí)，進(jìn)一步構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型。

由于參數(shù)的概率信息未知，決策者對于任何可能發(fā)生的情景都沒有概率上的把握。這里情景的含義是不確定參數(shù)集合{ev,su,k}的任意一個(gè)確定性的取值。由于，情景的好壞直接影響決策方案選擇。尤其，糟糕的情景容易引起決策方案失效，如目標(biāo)值沒有達(dá)到最優(yōu)，甚至決策方案不可行。因此，決策者做出的決策需要能在一定程度上應(yīng)對糟糕的情況，即決策方案應(yīng)具有一定的魯棒性。

(8)

(9)

定義Υ,Γk滿足約束條件(10)和(11)，分別控制目標(biāo)和任意資源k的交互參數(shù)的不確定性程度。顯然，Υ∈[0,1],Γk∈[0,1]。

∑vδv≤Υ·|V|

(10)

∑uσu,k≤Γk·|U|,?k

(11)

基于以上不確定性和不確定性的控制參數(shù)的定義，建立魯棒決策模型[M2]。在收益交互參數(shù)和目標(biāo)交互參數(shù)的不確定程度(相對于標(biāo)稱值)分別保持在Υ和Γk前提之下，模型[M2]求解應(yīng)對最壞情景的最優(yōu)決策方案，即魯棒決策方案，不妨記為x(Υ,Γk)。最壞情景是指使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到交互收益最小min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ]，且交互資源消耗量最多max[∑u∈Usu,k·zu|∑uσu,k≤Γk]的一組不確定參數(shù)的固定取值。

因此，當(dāng)Υ,Γk取值越大，模型考慮的最壞情景越糟糕，求得的最優(yōu)解的魯棒性也越大。因此，通過設(shè)置參數(shù)Υ和Γk，可以調(diào)節(jié)解的魯棒性。根據(jù)參數(shù)出現(xiàn)在模型[M2]中的位置(目標(biāo)函數(shù)或資源約束)，不妨稱Υ為目標(biāo)魯棒水平，稱Γk為資源約束k的魯棒水平。魯棒控制參數(shù)Υ,Γk的引入，實(shí)現(xiàn)了不同決策者可以根據(jù)自身風(fēng)險(xiǎn)偏好靈活地控制解的魯棒性，避免了傳統(tǒng)的worst-case法造成的過度悲觀和保守主義[11]。

然而，模型[M2]是非線性優(yōu)化模型，難以求解。下面，為了將模型[M2]線性化，對其中的子模型進(jìn)行推導(dǎo)。先將公式(12)中子優(yōu)化模型min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ·|V|]轉(zhuǎn)化為等價(jià)模型[M3]，具體證明見文獻(xiàn)[11]。

同理地，模型[M2]中，公式(13)的子優(yōu)化模型max[∑u∈Usu,k·zu|∑uσu,k≤Γk·|U|]可以轉(zhuǎn)化為模型[M4]。

[M2] maxf=∑i∈Pbi·xi+min[∑v∈Vev·yv|∑vδv≤Υ·|V|]

(12)

(13)

約束(3)-(7)，(10)-(11)

(14)

s.t.∑v∈Vζv≤Υ·|V|

(15)

0≤ζv≤1,?v∈V

(16)

(17)

s.t. ∑u∈Uλu≤Γk·|U|

(18)

0≤λu≤1,?u∈U

(19)

s.t. ∑v∈Vζv≤Υ·|V|

0≤ζv≤1,?v∈V

s.t.∑u∈Uλu≤Γk·|U|

0≤λu≤1,?u∈U

綜合上述的模型推導(dǎo)過程，有以下定理成立。

定理：魯棒優(yōu)化模型[M2]等價(jià)于線性混合整數(shù)規(guī)劃模型[M7]。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

ζv≥0,?v∈V

(26)

λu≥0,?u∈U

(27)ψk≥0,?k∈R (28) 表1 項(xiàng)目基本收益和成本

φ≥0

(31)

約束(3)-(7)

證明：建立模型[M4]的對偶模型[M8]。根據(jù)強(qiáng)對偶理論，[M4]和[M8]最優(yōu)解的目標(biāo)值相等。

[M8] max -Υ·|V|·φ-∑v∈Vζv

ζv≥0,?v∈V

φ≥0

同理，建立模型[M6]的對偶模型[M9]。

[M9] min Γk·|U|·ψk+∑u∈Uλu

λu≥0,?u∈U

ψk≥0

對于任意給定的魯棒水平Υ,Γk，容易求解線性混合整數(shù)規(guī)劃模型[M7]，得到滿足魯棒水平為Υ,Γk的最優(yōu)項(xiàng)目組合選擇方案。

4 算例分析

4.1 算例描述

以國內(nèi)某汽車企業(yè)投資研發(fā)項(xiàng)目為例。企業(yè)擬投資研發(fā)10個(gè)項(xiàng)目，經(jīng)過市場勘察和調(diào)研，預(yù)計(jì)每個(gè)項(xiàng)目的收益和成本如表1所示。僅考慮資金這一種資源，研發(fā)預(yù)算不得超過300萬。估計(jì)項(xiàng)目間的收益和成本交互作用如表2所示。項(xiàng)目收益和成本交互作用具有不確定性，表示為區(qū)間[a-ξ,a+ξ]的形式，并且，參數(shù)在取值區(qū)間上的概率分布未知。由于算例只考慮了資金這一種資源，不妨將上述模型中與k相關(guān)的變量或參數(shù)的下標(biāo)k省略。

根據(jù)表2，分別對收益和成本交互作用重新編號，定義集合V={1,…,5},U={1,…,4}，|V|=5,|U|=4。

所有計(jì)算實(shí)驗(yàn)在CPU主頻2.20GHz、內(nèi)存8GB、64位操作系統(tǒng)配置的個(gè)人計(jì)算機(jī)上運(yùn)行實(shí)現(xiàn)。優(yōu)化模型均在軟件MATLABR2013a上編譯，調(diào)用CPLEX規(guī)劃求解器求解。

表2 項(xiàng)目交互作用信息表

4.2 結(jié)果分析

不妨設(shè)置魯棒水平為Υ=Γ=0.5，用CPLEX求解模型[M9]，耗時(shí)1.4426秒，得到的最優(yōu)決策方案為x=(1,1,1,0,0,0,0,1,0,0)，即選擇項(xiàng)目1，2，3，8構(gòu)成的項(xiàng)目組合，總的收益目標(biāo)值為3500。

為了研究不同魯棒水平Υ和Γ對最優(yōu)解的影響。分別設(shè)置目標(biāo)魯棒水平Υ和約束魯棒水平Γ的取值從0.00到1.00，以0.01為間隔，共計(jì)10201個(gè)不同魯棒水平的組合。計(jì)算每個(gè)魯棒水平組合下的魯棒最優(yōu)解，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得到如圖1所示的目標(biāo)值隨著兩種魯棒水平變化的情況。

從三維曲面圖1可以看出，最優(yōu)目標(biāo)值分別隨著魯棒水平Υ和Γ的增加呈遞減的趨勢?？紤]兩個(gè)極端情況，當(dāng)魯棒水平為Υ=Γ=1，參數(shù)的不確定程度最大，求解的魯棒最優(yōu)決策方案為x=(0,0,1,0,0,1,0,1,0,0)，即選擇項(xiàng)目3，6，8構(gòu)成的項(xiàng)目組合，總收益目標(biāo)值為3220。該決策方案是對應(yīng)最壞情景的最優(yōu)方案，即魯棒性最高的決策方案。當(dāng)Υ=Γ=0，最優(yōu)解為x=(1,1,1,0,0,0,0,1,1,0)，即選擇項(xiàng)目1，2，3，7，8構(gòu)成的項(xiàng)目組合，總收益目標(biāo)值為4360。該方案是不考慮參數(shù)不確定(參數(shù)等于標(biāo)稱值)的最優(yōu)方案，方案的魯棒性最低。

接著，對兩種魯棒水平進(jìn)行敏感性分析，分別固定Υ和Γ其中之一為0.5，令另一參數(shù)取值從0到1變化(以0.01為間隔)。則最優(yōu)目標(biāo)值隨著Υ和Γ分別變化的情況如圖2所示?？梢钥闯?，隨著Γ的增長，最優(yōu)目標(biāo)呈階梯式下降；而隨著Υ的增長，最優(yōu)目標(biāo)呈緩慢地逐漸下降?？傮w上看，最優(yōu)目標(biāo)值對資源魯棒水平Γ的變動而改變的幅度更大，敏感性更高。

下面，對10201次實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)方案進(jìn)行進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)在所有的魯棒水平組合下，最優(yōu)的項(xiàng)目組合方案共計(jì)10組，各最優(yōu)方案產(chǎn)生的頻率如表3所示。從表3可以判斷，決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好未知的情況下(任意的魯棒水平)，項(xiàng)目組合方案被選擇的概率。例如，項(xiàng)目組合方案{1, 2, 3, 8}在10201次實(shí)驗(yàn)中，作為最優(yōu)方案的次數(shù)最多，頻率最高，共計(jì)2659次，頻率為0.26。繼續(xù)考察單個(gè)項(xiàng)目的選擇情況，如圖3項(xiàng)目選擇頻率條形圖所示?？梢钥闯?，即使在項(xiàng)目交互作用不確定且決策者偏好不確定的情況下，項(xiàng)目3和項(xiàng)目8仍然具有較為穩(wěn)定的優(yōu)勢，分別以68%和74%的概率被選擇。而無論魯棒水平如何，最優(yōu)方案都沒有選擇項(xiàng)目10。

圖1 不同目標(biāo)和資源魯棒水平組合下的 最優(yōu)目標(biāo)值

圖2 魯棒水平的敏感性分析

圖3 項(xiàng)目選擇的頻率直方圖

綜上，決策者可以根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)偏好，通過調(diào)節(jié)魯棒水平參數(shù)Υ和Γ靈活地控制方案的魯棒性。并且，決策者可以統(tǒng)計(jì)和分析不同魯棒水平下的最優(yōu)項(xiàng)目組合以及單個(gè)項(xiàng)目被選擇的情況，為進(jìn)一步方案篩選和項(xiàng)目優(yōu)劣勢評價(jià)提供決策支持。

表3 最優(yōu)項(xiàng)目組合方案統(tǒng)計(jì)表

5 結(jié)語

項(xiàng)目組合選擇是項(xiàng)目管理領(lǐng)域最基本和最重要的決策問題之一。項(xiàng)目間交互作用和不確定性增加了項(xiàng)目組合選擇問題的復(fù)雜性。本文創(chuàng)新性地考慮了項(xiàng)目間收益交互和資源交互作用不確定性的特征，建立了魯棒性可調(diào)節(jié)的項(xiàng)目組合選擇魯棒優(yōu)化模型，利用相關(guān)的優(yōu)化理論，通過模型的逐步推導(dǎo)，建立對等的線性混合整數(shù)規(guī)劃模型。例舉一個(gè)研發(fā)項(xiàng)目組合案例，用CPLEX規(guī)劃求解器求解。通過設(shè)置不同的魯棒水平，進(jìn)行了大量的計(jì)算實(shí)驗(yàn)，并對結(jié)果進(jìn)行了多角度的分析。探索收益目標(biāo)和資源約束的魯棒水平對最優(yōu)解的影響，統(tǒng)計(jì)最優(yōu)方案以及單個(gè)項(xiàng)目被選擇的情況。結(jié)果表明，該魯棒優(yōu)化模型可以靈活控制最優(yōu)解的魯棒性，適用于不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的決策者，為項(xiàng)目管理者提供有效的決策支持。研究的下一階段將致力于結(jié)合考慮決策主體不確定性的項(xiàng)目組合選擇的魯棒決策問題，設(shè)計(jì)綜合考慮客觀和主觀不確定性的魯棒決策支持系統(tǒng)。

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Robust Decision-Making of Project Portfolio SelectionwithUncertain Project Interactions

TAO Sha1,2, SHENG Zhao-han1,2，ZHU Jian-bo1,2

(1.School of Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China；2.Sino-Australia Collaborative Innovation Alliance for Megaproject Management in the Era of Internet+ and Big Data)

Project portfolio selection (PPS) is one of the most important basic problems in the field of project management. PPS is to select a subset of projects from candidates subject to resource capacity and some other constraints to realize one or more goals. By integrating some features, such as project interactions, parameter uncertainty and multiple objectives.The PSS is more complex and difficult to be solved. In practice, project interaction is influenced by many factors among which the relationships are uncertain and complicated.Consequently, the project interaction is usually with severer uncertainty and its probability distribution is difficult to estimate. Therefore, in this paper, the PSS problem with uncertain project interaction is investigated. At first, without considering uncertainty, the programming model is formulated to maximize the total profits for the PSS with two types of project interactions including profit interaction and resource consumption interaction. Then, the uncertainty of project interactions is taken into consideration. The uncertainty is defined as an interval with nominal value and the half-interval width. Two controller parameters called objective robustness level and constraint robustness level are also defined,which vary in the interval [0, 1].The objective robustness level and constraint robustness level control the robustness of objective function and constraints against the level of conservatism respectively. Based on the definitions of uncertainty as well as robustness level, the general robust optimization model is formulated.To solve the model, its robust counter part as a linear mix integer programming is derived on the basis of optimization theory. A case of R&D project portfolio selection is illustrated and numerous experiments are conducted to investigate the relationship among two robustness levels and the objective. Experiments show that the method can adjust the robustness of solutions, and thus can provide project managers who have different risk preferences with decision support.

project portfolio selection; project interaction; uncertainty;robust optimization; adjustable robustness

2014-08-07；

2017-01-06

國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(71390520,71390521)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71571098,91646123,71671088,71501102，71471077)：南京大學(xué)優(yōu)秀博士研究生創(chuàng)新能力提升計(jì)劃資助項(xiàng)目(201601B034)；南京大學(xué)博士研究生創(chuàng)新創(chuàng)意研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016010)

盛昭瀚(1944-)，男(漢族)，江蘇人，南京大學(xué)工程管理學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)工程、社會科學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)等，E-mail:zhsheng@nju.edu.cn.

1003-207(2017)04-0190-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.04.023

C934

A