類比推理法在高中數(shù)學中解題的應用

徐世麒

1 前言

類比推理亦稱“類推”。推理的一種形式，根據(jù)兩個對象在某些屬性上相同或相似，通過比較而推斷出它們在其他屬性上也相同的推理過程。所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。在以往所學中，我們學習了許多擁有相互對應關系的知識和方法，例如數(shù)與三角函數(shù)，直線系與曲線系，向量與數(shù)量，等比數(shù)列和等差數(shù)列等，都可以作為學習類比思想的理想切入點。在心理學上，類比指的是一種維持了被表征物的主要知覺特征的知識表征。而在我們的學習中，由于所學習的教材中并無關于類比推理法的具體介紹，便在此與各位分享類比理想的重要意義和優(yōu)越性，以及對其的具體研究技巧和學習方法。

2 數(shù)與三角函數(shù)

三角函數(shù)作為高中學習中的一大重點內(nèi)容，有著數(shù)不清的變式和技巧，而類比推理思想的一個條件便是要求兩個對象擁有某種相似性質(zhì)，顯然，三角函數(shù)是學習類比思想的理想材料。

例如：已知x?+y?=1，求 的最大值。

在這里，如果嘗試傳統(tǒng)的代數(shù)法，利用x去表示y進行計算的話，等式會變得非常繁雜，在應用上類比思想后會變得簡單許多，我們可以看到x?+y?=1的條件，將未知數(shù)類比與三角函數(shù)，有sinα+cosα=1，即令x=sinα，y= cosα，可以將所求式轉(zhuǎn)化為 ，化簡即cosα+sinα，由和角公式即可求出最大值為 。

不僅僅是運算方面的類比，三角函數(shù)的幾何性質(zhì)也可以用作類比所需的材料。通過將題目條件與其進行類比，可以在很多方面獲得快速解題的思路和方案。在下題中，在三角函數(shù)的幾何性質(zhì)得到類比后，極大程度上減少了題目的繁復程度，為解題創(chuàng)造了更廣闊的思考空間。

例如：已知 ， ，求 如果通過普通的三角函數(shù)進行直接計算的話，大量的方程會使解題變得異常復雜，和角公式和倍角公式的反復使用更是容易出現(xiàn)低級錯誤，從而對考場上的考生帶來極大的心理壓力，而通過類比三角函數(shù)幾何意義構筑單位圓則可以快速的對題意進行翻譯和分析。

作單位元和直線x+2y=1交于A，B兩點，過O向AB作OM⊥AB，設A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），則α-β=∠BOA， =∠MOB，因為tan∠MOB= =2，所以 .

類比思想便是如此，在日常學習中時常會看到類比的影子，但總是容易被忽略。根據(jù)上述的兩道問題我們可以看到，類比思想下的解題并不復雜，而發(fā)現(xiàn)可以類比的聯(lián)系則是類比思想最為精髓也是最為精妙的點。這便是我所與大家分享的——類比推理法在數(shù)學解題中的應用。

3 直線系與曲線系

直線與曲線是高中數(shù)學學習中十分重要的知識板塊，相信很多同學和我一樣，在面對橢圓等一系列問題的時候，會感到十分的頭疼，麻煩的地方無非是抽象的幾何圖像不方便想象，以及繁雜的運算會導致的種種問題。直線與曲線擁有著眾多的相似之處。在此我將會對直線系和曲線系進行一次簡要的講解，并通過類比的思想進行分析，從而提出更為有效的解題方法。

所謂直線，可以對所有直線產(chǎn)生這樣的理解，所有的直線都是一次方程，當我們設直線l1：Ax+By+C=0，直線l2：Dx+Ey+F=0，有另一個一次方程λ（Ax+By+C）+μ（Dx+Ey+F）=0。通過帶入λ和μ的具體數(shù)值，即可表示一條通過兩條已知直線焦點的新的直線。此外，當確定所求直線非已知的兩條直線時，設置一個參數(shù)即可（通常為μ）。

例如：已知直線l1：2x+y+3=0和直線l2：3x-y-2=0，求經(jīng)過l1，l2的交點且與直線l3：x-y=0平行的直線L方程。

由上方說明，我們可以設出L：（2x+y+3）+μ（3x-y-2）=0，聯(lián)系題目條件，得到（3μ+2）x+（1-μ）y+（3-2μ）=0，因為與y=x平行，所以有 =1，解出μ值代入L方程即可得到答案。

直線系的使用，在深入分析了直線的意義后進行分析，避免了過多的直線方程的聯(lián)立求解，省去了繁瑣的求交點再設方程的過程，而通過直接表示所需的答案來達到更快的求解。

由此我們可以提出這樣的疑問：二次函數(shù)是否能與直線系類比，對于由二次函數(shù)表示的曲線方程，是否也可以動過類似的方法進行更加精準快速的運算呢？

答案是肯定的，但在此之前我們先從另一個角度對曲線系進行重新說明：方程形式為ax?+by?+cxy+dx+ey+f=0的曲線，被叫做二次曲線，二次曲線包括：圓，橢圓，雙曲線，拋物線和被分解的二次曲線——兩條直線。分解二次曲線即可得到以下方程， =0，這樣的二次式的解集即可表示兩條直線，這樣一來，通過這兩條直線即可表示出我們需要的二次曲線。綜上所述，類比于直線系的理解，當我們設兩條二次曲線的方程為S1=0，S2=0，其中S1，S2為二次式時，則有λS1+ΜS2=0來表示經(jīng)過兩個曲線交點的二次曲線（如圖1表示）。與直線系相同，當所求二次曲線不是原曲線中的一條時，僅設一個參數(shù)μ即可。此外，若利用C=λ +μ ，我們可以進行更多簡便的運算。

通過這樣的方式我們可以快速證明蝴蝶定理：O為圓內(nèi)弦GH的中點，過O作弦AB和CD。設AD和BC各相交GH于點E和F，則OE=OF。

證明如下：以O為原點建系如圖示（如圖2），設AB：y=kx，CD：y=Kx，設O（0，a），圓半徑為R，所以圓方程為X2+（y-a）2=R?，由于AB，CD都為二次曲線且都交于該圓，所以由曲線系規(guī)律有AD BC：λ（y-kx）（y-Kx）+ μ[X2+（y-a）?-r?]=0，當y等于0的時候可得F，E的坐標中的x符合λ·KX2+μ（X2+a2-r2）=0，很巧妙地有X1+X2=0，從而可以得到OF=OE，如上得證。

如此對題目中的各個函數(shù)進行分析，將直線一次函數(shù)和曲線二次函數(shù)進行類比，就能將很多的隱藏信息發(fā)掘出來。對產(chǎn)生的一系列函數(shù)進行定性分析，我們可以獲得很多驚喜。例如通過類比此類思路，我們可以按下述的方法分析，發(fā)現(xiàn)這樣不易察覺的規(guī)律。

當一條二次曲線與一條直線相交的時候，設曲線C：

直線L：y=kx+g，通過直線方程可以將曲線方程中僅存在X2項：

，由曲線系的規(guī)律我們可以得到直線的兩交點A，B可由此方程表示，又因為x項都已配為二次項，所以一定有α （y-kx）（y-k2x）=0，結(jié)合規(guī)律反向類比即可表示為過O點的兩條直線方程，而k和k2也就是兩條連線的斜率。

綜合以上方法，可以推導出這樣的結(jié)論：

接下來，我們來看一看這兩條結(jié)論在解題中的應用。

例如：拋物線y?=2px，有過原點的兩條直線l1，l2交拋物線于A，B兩點，且OA⊥OB。求證：直線AB過定點。

以往的做法中，這樣的問題我們需要將直線方程和拋物線方程進行聯(lián)立，然后將會面臨更加復雜的分析和計算，這也是高中數(shù)學圓錐曲線問題中最容易出現(xiàn)錯誤的地方。

像這樣的規(guī)律還有很多，在此不一一列舉，但類比的思想足以透過這樣的思考過程而得到理解。在很多情況下，運用類比思想，我們對數(shù)學能有更加深入的理解，看待問題的方式也能有更加開闊的眼界，解起題來也就能有更多的思路方法，自然就更加得心應手。

4 結(jié)語

通過對日常學習生活中遇到的各類知識進行對比，從而產(chǎn)生聯(lián)想，將含義相似的部分進行靈活的對比，可以獲得更多的解題思路和規(guī)律，類比方法的使用也會在某些題目的解答中帶來極大的簡化。類比的過程并不枯燥，熟練使用更是能對數(shù)學產(chǎn)生更加濃厚的興趣，類比推理法在高中數(shù)學中解題的應用遠不僅此，望各位同學留心使用，必會有所收獲。

（作者單位：成都市第二十中學校）