淺談金融領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型

焦云飛

摘要：數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域具有重要的地位。利用數(shù)學(xué)模型對(duì)金融現(xiàn)象進(jìn)行定量分析，以便尋求金融學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而將這些規(guī)律用于指導(dǎo)金融實(shí)踐，是金融學(xué)研究的基本方法之一。本文對(duì)數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用進(jìn)行了概述，并詳細(xì)闡述了金融領(lǐng)域中的利息模型、銀行按揭模型、債券內(nèi)在價(jià)值評(píng)估模型和股票內(nèi)在價(jià)值評(píng)估模型。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;金融領(lǐng)域;應(yīng)用

隨著現(xiàn)代金融市場(chǎng)的秩序化發(fā)展，金融市場(chǎng)的有效運(yùn)行愈發(fā)依賴于數(shù)學(xué)，于是一門新的交叉學(xué)科——“金融數(shù)學(xué)”應(yīng)運(yùn)而生。金融數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于金融領(lǐng)域，利用數(shù)學(xué)工具研究金融，通過數(shù)學(xué)建模、理論分析、數(shù)值計(jì)算等，尋求金融學(xué)內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而用這些規(guī)律指導(dǎo)金融實(shí)踐。數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中的地位越來越重要，例如企業(yè)發(fā)展、投資決策、風(fēng)險(xiǎn)管理等都離不開數(shù)學(xué)知識(shí)，人們?cè)絹碓缴羁痰卣J(rèn)識(shí)到對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究已成為金融學(xué)研究中的關(guān)鍵技術(shù)。同時(shí)，數(shù)學(xué)模型的研究也在不斷推動(dòng)著金融實(shí)踐的發(fā)展。

一、概述

在金融領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學(xué)模型最早可以追溯到上個(gè)世紀(jì)初的LouisBachelier的理論體系，這個(gè)理論體系的建立標(biāo)志著可以對(duì)金融領(lǐng)域有著更深入的研究和分析。在這之后的50年里，知名經(jīng)濟(jì)學(xué)者M(jìn)acaulay在1938年提出了金融領(lǐng)域中的利率敏感分析模型。二十世紀(jì)六十年代，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz提出了具有代表性的期望方差模型，此模型一經(jīng)提出便吸引諸多數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行深入的研究，同時(shí)，隨著這個(gè)模型的不斷完善，也出現(xiàn)了一些可應(yīng)用于金融領(lǐng)域的新型數(shù)學(xué)模型。金融領(lǐng)域應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的另一個(gè)突出成就是經(jīng)濟(jì)學(xué)家Black和Scholes于1973年提出的股票和證券定價(jià)模型。在這之后的很長時(shí)間內(nèi)，經(jīng)濟(jì)學(xué)界和數(shù)學(xué)界又提出了一系列的數(shù)學(xué)模型，這些數(shù)學(xué)模型都促進(jìn)金融領(lǐng)域的發(fā)展。

二、金融領(lǐng)域中的典型數(shù)學(xué)模型

1、利息模型

利息是資金的時(shí)間價(jià)值的一種表現(xiàn)形式，是使用資金應(yīng)付出的代價(jià)。在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的條件下，利息模型是最普通的。生活中我們經(jīng)常說起利率、利息，眾所周知，利率是利息占本金的百分比，即

普通情況下，商業(yè)銀行存在兩種利率，即存款利率與貸款利率。存款利率高，對(duì)投資者（存款者）有利，但存款利率高也導(dǎo)致銀行負(fù)債成本高，這樣，銀行為了獲利必須以更高的貸款利率貸出。但對(duì)于企業(yè)（貸款者）來講，貸款利息太高可能導(dǎo)致貸不起錢，進(jìn)而導(dǎo)致銀行獲利機(jī)會(huì)減少。可以說，倘若銀行利率過高，對(duì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展并無益處。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度講，利率是宏觀控制信貸的一個(gè)重要手段，有時(shí)即使利率僅增減一個(gè)百分點(diǎn)，都會(huì)對(duì)市場(chǎng)運(yùn)行產(chǎn)生較大的影響。

利率的調(diào)控是國家對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)進(jìn)行調(diào)節(jié)的一個(gè)重要手段，國家給出的調(diào)控一般是給出基準(zhǔn)利率，而商業(yè)銀行根據(jù)自己的發(fā)展有時(shí)需要按照國家的要求，在基準(zhǔn)利率的基礎(chǔ)上進(jìn)行浮動(dòng)。

利息分單利和復(fù)利兩種。

（1）單利：所謂單利，是指只按照本金計(jì)算利息，而利息本身不再產(chǎn)生利息。若設(shè)本金為P，年利率為r，則n年后的利息為P·r·n，本金和利息的和F為：P+P·r·n=P（1+r·n）。這就是單利模型：Fn=P+P·r·n=P（1+r·n）。

（2）復(fù)利：所謂復(fù)利，是指本金所產(chǎn)生的利息，而利息本身也會(huì)帶來利息，所謂“利滾利”就是這樣?，F(xiàn)在各商業(yè)銀行為了吸引更多的閑散社會(huì)資金，設(shè)立很多的理財(cái)項(xiàng)目，它們就運(yùn)用了得利形式。有的是以一年為一個(gè)周期，有的是以半年為一個(gè)周期，還有的以一個(gè)季度為一個(gè)周期。現(xiàn)在以一個(gè)為一個(gè)周期說明，現(xiàn)設(shè)本金為P，年利率為r，則n年后的本金和利息的和F為：P（1+r）n。這就是復(fù)利模型：Fn=P（1+r）n。

2、銀行按揭模型

隨著經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的深入，在房地產(chǎn)項(xiàng)目中，銀行按揭經(jīng)常遇見，以下將針對(duì)銀行按揭來看看。

銀行按揭問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是：欲貸款P元，年利率為r，要求分n期等額償還，那么每期應(yīng)償還多少？

顯然，考慮到資金的時(shí)間價(jià)值，這里不能簡(jiǎn)單地作平均處理，應(yīng)該考慮償還數(shù)額的“折現(xiàn)”，也就是說，將來每期償還數(shù)額“相當(dāng)于”現(xiàn)在的價(jià)值。通常以一個(gè)月為一期，每月償還一次，而年利率為r，所以月利率為i=r/12。設(shè)每期償還A元，則n期還款額折現(xiàn)為現(xiàn)在價(jià)值的總和應(yīng)等于貸款總額P。由復(fù)利公式可知：

當(dāng)然，銀行為了按揭用戶查詢的方便，一般可以根據(jù)貸款的數(shù)額P和分期償還的期數(shù)n把每期應(yīng)償還的數(shù)額制成表格，供用戶查詢。

3、債券內(nèi)在價(jià)值評(píng)估模型

針對(duì)大型國有企業(yè)，為了能很快募集到大量的資金，解決企業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)的困難，一般來講，都采用發(fā)行債券的方式。而對(duì)購買債券方而言，其實(shí)也是有一定風(fēng)險(xiǎn)的，為了投資風(fēng)險(xiǎn)控制，利用數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行內(nèi)在價(jià)值的評(píng)估也是現(xiàn)在商業(yè)銀行采取的模式。發(fā)行債券是為了籌資，例如發(fā)行債券募集到的資金可以用于基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目建設(shè)、開發(fā)建造新的生產(chǎn)線等，但發(fā)行債券方需要承擔(dān)一定的利息。對(duì)于購買債券方而言，是為了獲得穩(wěn)定的利息收益，通常這個(gè)利息收益會(huì)比銀行存款利息要高。而債券的內(nèi)在價(jià)值就體現(xiàn)在各年的利息現(xiàn)值與本金的現(xiàn)值的總和。

關(guān)于債券內(nèi)在價(jià)值的評(píng)估，可根據(jù)支付利息方式的不同，分為下面兩種情況。

（1）每年計(jì)算并支付利息，到期歸還本金。

設(shè)PV為債券內(nèi)在價(jià)值，C為年利息收入，D為債券面值，n為債券的期限年數(shù)，rt為第t（1≤t≤n）年的貼現(xiàn)率，則

（2）到期一次歸還本金和利息。

這類債券的內(nèi)在價(jià)值為

例1 一公司將要發(fā)行一種面值為1000元的20年期債券，票面利率為11%/年，同類債券的貼現(xiàn)率統(tǒng)一為8%/年，則這類債券的內(nèi)在價(jià)值為

通常地，債券在發(fā)行前，債券面值、期限和利率都已確定，于是，債券的內(nèi)在價(jià)值就完全由貼現(xiàn)率決定。貼現(xiàn)率增大，債券的內(nèi)在價(jià)值就會(huì)下跌;反之，債券的內(nèi)在價(jià)值就會(huì)上升。

4、股票內(nèi)在價(jià)值評(píng)估模型

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我國的證券正在經(jīng)歷加速發(fā)展的態(tài)勢(shì)，與債券類似，越來越多的人開始持有股票，希望能從中獲利。股票的價(jià)值可分為內(nèi)在價(jià)值（理論價(jià)格）和市場(chǎng)價(jià)值。在理性市場(chǎng)中，市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)總是依賴內(nèi)在價(jià)值的波動(dòng)。股票的內(nèi)在價(jià)值可以看作是未來各期預(yù)期收益的現(xiàn)值的總和。

設(shè)W為股票內(nèi)在價(jià)值，Dt為第t（1≤t≤n）期每股預(yù)期股息收入，n為期數(shù)，r為貼現(xiàn)率，則

股票內(nèi)在價(jià)值的評(píng)估，根據(jù)股息變換情況的不同，可分為以下三種情況。

（1）零增長模型。

假定未來各期預(yù)期股息保持不變，即假設(shè)D1=D2=...Dn=D，則

顯然，當(dāng)投資者長期持有股票時(shí)，即n→∞時(shí)，有 ? ? ? ?。特別地，當(dāng)貼現(xiàn)率 為銀行利率時(shí)，上面的公式可理解為：

這表明，股票內(nèi)在價(jià)值近似地與股息成正比關(guān)系，與銀行利率成反比關(guān)系，通常的降息會(huì)促使股票上揚(yáng)。

（2）固定增長模型。

假定股息增長率為g，且g是一個(gè)常數(shù)。那么，若設(shè)第一年的股息為D，則第二年的股息為D（1+g），第三年的股息為D（1+g）2，以此類推，第n年的股息為D（1+g）n-1。于是，股票的內(nèi)在價(jià)值即為：

這說明，前景明朗、增長潛力較大的公司的股票價(jià)格與市場(chǎng)相較而言略高。

現(xiàn)實(shí)中，在證券市場(chǎng)中，股息長期不變或者總是以固定增長率增長都是不可能的。公司的發(fā)展往往是是具有階段性的，在起步階段往往發(fā)展較快，經(jīng)過一段時(shí)間調(diào)整后，就會(huì)進(jìn)入逐步穩(wěn)定的發(fā)展階段。針對(duì)這種情況，有學(xué)者提出三階段模型、H模型、P/E模型等，在此不再贅述。

三、結(jié)束語

觀察金融發(fā)展的漫長歷史，金融理論和實(shí)踐的發(fā)展是依賴數(shù)學(xué)的，對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究現(xiàn)也已成為金融領(lǐng)域研究的關(guān)鍵因素。目前，隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷推進(jìn)和金融領(lǐng)域的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在金融領(lǐng)域中的作用也愈發(fā)明顯。同時(shí)，數(shù)學(xué)模型也在不斷鼓勵(lì)著金融實(shí)踐的進(jìn)步。

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