數(shù)學教學的邊界在哪里？

摘要：理清數(shù)學教學邊界的價值在于：讓教師的教學、學生的學習、教學的評價有明確的標準、可操作的載體、可實施的內(nèi)容和具體的要求;數(shù)學教學邊界的確定要遵循數(shù)學知識的階段性與發(fā)展性、數(shù)學概念的嚴謹性與合理性、數(shù)學方法的程序性與靈活性、數(shù)學思維的靜態(tài)性與動態(tài)性、數(shù)學活動的過程性與結(jié)果性等“五個相結(jié)合”原則;數(shù)學教學要嚴格遵守“知識內(nèi)容”邊界，正確理解“數(shù)學概念”邊界，準確把握“學生認知”邊界。

關鍵詞：數(shù)學教學 邊界 價值 原則 方法

一線教師經(jīng)常會有一些教學困惑：某個內(nèi)容講不講？某個結(jié)論能不能在解題中直接運用？學生這樣解答扣不扣分？數(shù)學教學的過程與結(jié)果的分寸如何把握？解題中回歸本質(zhì)與模型套用的關系如何處理？凡此種種，皆指向一個核心問題：數(shù)學教學的邊界在哪里？

一、確定數(shù)學教學邊界的價值

對于數(shù)學教學的“邊界”問題，一線數(shù)學教師、課程與教材專家、教研與命題人員的關注點不盡相同。受現(xiàn)行評價體制的影響，不少一線數(shù)學教師關注學生的應試能力、考試的分數(shù)。反映到教學中，充滿功利色彩的“越界”和“缺位”現(xiàn)象比比皆是。課程與教材專家關注的是如何制定課程、教材與教學的邊界;教研與命題人員需要研究這個“邊界”，充當連接課程、教材與教師、教學的橋梁角色。一方面，通過課程研究與解讀、教材分析與培訓、教學診斷與指導、試題命制與評價，影響教師的教學行為和學生的學習行為，力求體現(xiàn)教材意圖，落實課程目標;另一方面，發(fā)現(xiàn)、收集并反饋教學問題、困惑和教師建議，為課程設計、教材修訂提供參考。

因此，有必要確定數(shù)學教學的邊界，在課程、教材與教學三者間找到契合點。數(shù)學教學的邊界是教學的“底線”，有了這個邊界，教師的教學、學生的學習、教學的評價就會有明確的標準、有可操作的載體、有可實施的內(nèi)容、有具體的要求，數(shù)學教學活動才能在邊界內(nèi)自由地、靈動地、創(chuàng)造性地開展。

二、數(shù)學的發(fā)展無邊界，教學有邊界

1.數(shù)學的發(fā)展沒有邊界。

數(shù)學知識呈螺旋式上升、波浪式前進的趨勢。如“1+1=2”，這是幼兒園小朋友也不會懷疑的結(jié)論，那么“1+1為什么等于2”，看似了然的問題如何解釋呢？學生能說清楚嗎？教學時可以先承認其正確性，至于原理不妨先放一放，到了《數(shù)論》的學習與研究時再給予理論的解釋;隨著數(shù)學的發(fā)展，數(shù)學各分支更加細化，但又相互交叉融合。比如三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是兩個不同的分支，但數(shù)學分析的出現(xiàn)，又讓二者在冪級數(shù)上得到了統(tǒng)一;復數(shù)、向量、三角函數(shù)等知識經(jīng)常在同一問題的解決上相遇。作為數(shù)學教師，應該用高觀點理解數(shù)學內(nèi)部知識間的聯(lián)系、數(shù)學與外部的聯(lián)系，理解數(shù)學發(fā)展的趨勢，對數(shù)學知識“從哪里來，會向哪里去、怎么去”了然于心，對教學內(nèi)容有前瞻性、本質(zhì)的認識。

2.數(shù)學的教學有邊界。

國家課程標準提出了課程理念，制定了課程目標，確定了課程內(nèi)容，給出了課程實施方案，明確了教學評價要求，教材是課程標準的具體化，這些應該成為數(shù)學教學的邊界?！斑吔缫馕吨环N自由，邊界內(nèi)的任何研究都是自由的、合規(guī)范的。同時，邊界也意味著一種制約，邊界的規(guī)范就是邊界的束縛，邊界內(nèi)的自由也就意味著邊界外的不自由?！币环矫?，對課程標準、教材內(nèi)容、學生認知的“邊界”有敬畏之心，一切數(shù)學教學活動都必須在這些“邊界”內(nèi)開展，不可越雷池半步;另一方面，要在“邊界”內(nèi)大膽探索與實踐，自由地開展數(shù)學教學活動。

數(shù)學教學邊界的確定要遵循“五結(jié)合”原則，即數(shù)學知識的階段性與發(fā)展性有機結(jié)合，數(shù)學概念的嚴謹性與合理性有機結(jié)合，數(shù)學方法的程序性與靈活性有機結(jié)合，數(shù)學思維的靜態(tài)性與動態(tài)性有機結(jié)合，數(shù)學活動的過程性與結(jié)果性有機結(jié)合。

三、數(shù)學教學的邊界在哪里？

數(shù)學教學的“邊界”是多角度、多維度的，本文僅從“知識內(nèi)容”“數(shù)學思維”“學生認知”等3個方面進行闡述。

1.嚴格遵守“知識內(nèi)容”邊界。

數(shù)學知識、數(shù)學結(jié)論猶如浩瀚的海洋。如果不加限制地延伸，就可能拓展出超出學生認知基礎和承受能力的知識內(nèi)容。因此，數(shù)學教學必須嚴格遵守“知識內(nèi)容”的邊界。

在一次教研活動中有位老師提問： “已知直線l1∶y=k1x+b1與l2∶y=k2x+b2，則l1⊥ l2k1·k2=

-1。這個命題在中考中能否直接用？”

筆者直言：初中階段肯定不能直接用。

該校校長（筆者的好友、教初中數(shù)學）和筆者針鋒相對：“我認為可以直接用，即使學生用了大學的知識，只要用得正確，都不能算錯，況且我們還鼓勵學生自學呢。”校長的振振有詞似乎很有道理。我反問：“如果允許初中學生用這個結(jié)論，那么教學會出現(xiàn)什么狀況呢？”現(xiàn)場頓時沉默了。

筆者知道，校長明知這個結(jié)論在初中數(shù)學解題中直接用是“越界”行為，只是有意用這樣一個極端的例子表明態(tài)度而已。類似的問題筆者幾乎每天都能碰到。由此筆者又想到了在另一個場合，一位老師與筆者的對話：“物高之比等于影長之比需要證相似嗎？”

筆者：“你的問題我很難回答，如果證明一定不錯。”

老師：“不證明可以嗎？證明有點繁瑣，還要重畫圖?！?/p>

筆者：“還是以教材要求為準吧?！?/p>

這是蘇科版初中數(shù)學教材九年級下冊《6.7 用相似三角形解決問題》中的結(jié)論。教材在介紹了“平行投影”概念后，通過在同一時刻分別測量三根木桿及在陽光下的影長，進而得出結(jié)論：“在平行光的照射下，在同一時刻，不同物體的物高與影長成比例”，但這個結(jié)論在教材中并沒有用黑體字。

老師們的意圖很明顯：如果一些結(jié)論可以直接用，那么在考試中，學生就可以走“捷徑”，既節(jié)約了時間，也省去好多事。

真的會“省事”嗎？我們不妨設想：如果類似結(jié)論允許直接用，會對教學產(chǎn)生什么影響？課堂上教師必然會補充大量的結(jié)論讓學生機械記憶，教師、學生只關注結(jié)論是什么，不會思考、探究結(jié)論的由來，如果學生失去了經(jīng)歷結(jié)論探究過程的體驗，那么學生的學習則毫無樂趣可言，學業(yè)負擔勢必加重，數(shù)學思維與探究能力勢必削弱。

這不禁讓筆者思考：數(shù)學教學的目的是什么？是記住一大堆結(jié)論，然后套用結(jié)論解題嗎？顯然不是！數(shù)學教學的目的是促進學生的生命成長和全面發(fā)展。具體地說，數(shù)學教學應該是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，“既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”。如果教學一味讓學生死記硬背大量數(shù)學結(jié)論，考試時讓學生套用現(xiàn)成結(jié)論，那學生數(shù)學學習還有什么快樂可言，還談什么學生思維發(fā)展，更不用說理性思維、創(chuàng)新能力和核心素養(yǎng)了。

客觀地說，當今的教育最不缺的是理念、思想和模式。新課程理念、教育目標和正確的教學方式教師都心知肚明，現(xiàn)在迫切需要解決的問題是如何讓正確的教學價值取向在數(shù)學教師心底扎根。除了在命題上強調(diào)問題的開放性、探究性、過程性和發(fā)展性，通過教學評價引導教學外，一定要旗幟鮮明地確定好數(shù)學教學的“知識內(nèi)容”的邊界：教學活動一定要在課程標準要求內(nèi)、在現(xiàn)行數(shù)學教材內(nèi)容中開展。凡教材中明確的定義、黑體字印刷的公理、定理、法則和公式才可以直接運用，一些所謂的模型、技巧必須回到教材知識內(nèi)容上來。

2.正確理解“數(shù)學概念”邊界。

將“數(shù)學概念”與“知識內(nèi)容”“學生認知”并列，從邏輯上看不太合理，但“數(shù)學概念”教學“越界”現(xiàn)象比較突出，因此作為特別的內(nèi)容專門闡述。

教材中的每一個數(shù)學概念在相應學段是明確的、規(guī)范的，有清晰的外延和內(nèi)涵。但數(shù)學概念又是動態(tài)的，會隨著數(shù)學自身的發(fā)展、隨著學生認知進步而加深，因此數(shù)學概念有時需要結(jié)合具體情境加以理解和運用。

【問題呈現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm， BC=8 cm。有一動點P從B點出發(fā)，沿射線BC方向移動，速度是2 cm/s，在P點出發(fā)2 s后，另一個動點Q從A點出發(fā)，沿射線AC方向移動，速度是1 cm/s。若設P出發(fā)后時間為t s。（1）用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ、PC的長度，并寫出相應的t的取值范圍。（問題（2）、（3）略）

圖1

有幾位教師糾結(jié)于該題中的第（1）問“t的取值范圍”是“t>0”還是“t≥0”或“t≥2”。這里BP=2t cm（t≥0），AQ=（t-2）cm，他們認為：若t=0，則BP=0，則“不存在線段CP”;若0≤t≤2，則AQ=0，也“不存在線段AQ”。

【問題剖析】這是對“線段的長度”概念脫離實際情境的片面理解。點P、Q的運動是從初始位置出發(fā)的連續(xù)過程，所以t的取值是從0開始的連續(xù)狀態(tài)，因而BP、AQ的長度也是從0開始的，其中t=0和t=2分別表示點P、Q的初始狀態(tài)。因此，第（1）問答案應該是：當0≤t≤2時，BP=2t cm，AQ=0;當t>2時，BP=2t cm，AQ=（t-2）cm。即t可以為0，也可以為2。

在研究數(shù)學概念時，既要把握好概念理解的邊界，掌握其外延與內(nèi)涵，又不能離開具體的問題情境孤立地理解。教學中要引導學生辯證地、聯(lián)系地思考問題。如圓的切線可以看成由圓的割線繞一個交點旋轉(zhuǎn)到另一個交點與這個交點重合的特殊位置，即直線與圓的兩交點間線段的長變?yōu)?，割線的極限位置就是圓的切線。又比如，絕對值表示數(shù)軸上一個點到原點的距離，但絕對值是可以為0的。再如：從嚴格的定義上說，平行四邊形與梯形都是“一組對邊平行”的四邊形，平行四邊形是“另一組對邊也平行”的四邊形，而梯形則是“另一組對邊不平行”的四邊形，二者之間的概念是不相容的;但從圖形變化的角度看，當梯形的另一組對邊運動至平行狀態(tài)時就得到平行四邊形。從這個意義上說，平行四邊形完全可以看作是特殊的梯形。這就是對數(shù)學概念一種動態(tài)的、連續(xù)性、辯證的理解。

數(shù)學教學既要尊重數(shù)學概念的規(guī)范性、階段性特點，又要動態(tài)地、發(fā)展地理解數(shù)學概念的邊界，不能讓數(shù)學概念束縛學生的思維。

3.準確把握“學生認知”邊界。

上海師范大學王榮生教授認為：“教什么遠比怎么教更重要?！睌?shù)學教什么、起點在哪里、經(jīng)過哪里、終點在哪里，這是教學設計和實施必須思考的問題。數(shù)學教師要及時準確地把握學生的“認知”邊界，才能精準施策，開展有效教學，避免出現(xiàn)偏離學生“數(shù)學認知”邊界的現(xiàn)象。然而，現(xiàn)實的數(shù)學課堂中，對“學生認知”理解的“缺位”或“越界”現(xiàn)象屢見不鮮。

【問題呈現(xiàn)】問題1.教者通過幾個現(xiàn)實情境，引入了“正數(shù)和負數(shù)”的概念;

問題2.“-1”的符號“-”怎么讀？

有學生讀作“負號”，有學生讀作“減號”，教師解釋：在運算時“-”是運算符號，讀作“減號”;像“-1”中的“-”號是性質(zhì)符號，讀作“負號”……

問題3.將數(shù)+7，-9，[13]，-4.5，998，0，-[910]填入相應的集合內(nèi)：

正數(shù)集合{? ? ? ?…};負數(shù)集合{? ? ? ?…};非負數(shù)集合{? ? ? ? ?…}。

教者繼而增加一個填空：“非負整數(shù)集合{? ? ? ?…}”，結(jié)果有學生在所給定的數(shù)中，除了“-9”外的所有數(shù)都填入了非負整數(shù)集合。

【問題剖析】問題1實際上說明教師沒有準確把握學情。那么，學生對“負數(shù)”的認知起點是什么呢？以人教版數(shù)學教材小學六年級下冊《負數(shù)》內(nèi)容為例，教材通過“氣溫的零上溫度和零下溫度”“儲蓄本上支出與存入”“走路的向西與向東”等現(xiàn)實情境引入了“正數(shù)”與“負數(shù)”的描述性概念、表示方法，學生知道了相反意義的量，并學會了數(shù)的簡單分類、大小比較和在直線（數(shù)軸）上表示。說明小學階段對“負數(shù)”已經(jīng)有了一定的認知，因此這節(jié)課中對負數(shù)引入方式反映了教者對“學生認知”理解的缺位。教學中，應該利用學生已有認知，從數(shù)學內(nèi)部問題出發(fā)展開教學活動。如：給出數(shù)+7，-9，[13]，-4.5，-20%，+8848，-6000，0，-[910]，讓學生說出這些是什么數(shù)，并賦予這些數(shù)實際意義……這是準確把握學生的認知邊界，通過學生熟悉的數(shù)學問題激活已有認知，使教學不斷深入的應有之舉。

問題2的“-1”中“-”號的讀法，就學生現(xiàn)有的理解與認知而言，讀作“負號”或“減號”都可以預見。但本節(jié)課中教師對讀作“負號”的解釋則顯得空洞、無力，什么是“性質(zhì)符號”、什么是“運算符號”，學生并沒有真正理解。教者必須認識到讓學生弄清二者區(qū)別的重要性，“-”號不僅是為了表示“負數(shù)”之用，也為后面參加有理數(shù)的“運算”之用。其實，教者只要給一個算式“-3+（+2）-（-5）”讓學生讀題，學生很快便能正確地讀出“負3加正2減負5”，對所謂的“性質(zhì)符號”與“運算符號”的意義不言自悟，無須教師太多的提醒和解釋。

問題3中，教者的意圖很明顯，“非負整數(shù)”是指“不是負數(shù)的整數(shù)”，即整數(shù)范圍內(nèi)的“0和正整數(shù)”，這也是許多人的習慣理解。然而，學生為什么得出了“不是負整數(shù)的數(shù)”——“在所給的數(shù)中除負整數(shù)以外的所有數(shù)”的錯誤判斷呢？細細分析，發(fā)生這種現(xiàn)象并不奇怪：由于學生是在填“非負數(shù)集合”的練習后填“非負整數(shù)集合”，而“非負數(shù)”是指“不是負數(shù)的數(shù)”（這里的數(shù)是學生目前認知的數(shù)，即有理數(shù)），受此影響，學生必然得出“非負整數(shù)”是指“不是負數(shù)的整數(shù)”的結(jié)論，這實際上是“非負數(shù)”問題的負遷移作用。

那么，“非負整數(shù)”到底指什么呢？有必要追根溯源。翻開義務教育數(shù)學課程標準、高中數(shù)學課程標準和中學數(shù)學教材，包括中高考試卷，均未發(fā)現(xiàn)“非負整數(shù)”這樣的名稱和概念。2010年出版的《數(shù)學大辭典》中這樣寫道：“整數(shù)可以分成正整數(shù)、零與負整數(shù)。正整數(shù)亦稱自然數(shù)?！爆F(xiàn)行教材把0看作自然數(shù)，《現(xiàn)代漢語詞典》對“自然數(shù)”的解釋是“零和大于零的整數(shù)”。因此，教者所說的“非負整數(shù)”——“0和正整數(shù)”實際上就是自然數(shù)。筆者將這個問題放到數(shù)學QQ群讓老師們討論。一位老師貼出“百度”的內(nèi)容：“自然數(shù)是指表示個體的數(shù)，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個接一個，組成一個無窮的集體，即指非負整數(shù)?！薄白匀粩?shù)集是全體非負整數(shù)組成的集合?！辈⑻岢隽俗约旱挠^點：“整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)這些詞都是對數(shù)的范圍做的限定，然后前面加上非負，也是在這個范圍中把負的去掉即可，沒有必要給出定義。”筆者認為：百度的內(nèi)容只能供參考，不可作為佐證。經(jīng)過多邊查證，終于在《數(shù)學辭海（第一卷）》發(fā)現(xiàn)了“非負整數(shù)”的解釋：“非負整數(shù)即‘自然數(shù)?！比欢?，從學生的認知上說，將“非負整數(shù)”理解為“不是負整數(shù)的數(shù)”也沒有什么不妥，他們默認的全集是他們所接觸過的有理數(shù)集，而教者之所以理解為“不是負數(shù)的整數(shù)”是源于自己默認的全集是整數(shù)。教者應該思考：課程標準、教材為什么不明確給出“非負整數(shù)”的定義？很明顯，“非負整數(shù)”概念完全超出了學生的“認知”邊界，也超出了課程標準及教材的“內(nèi)容”邊界，可見這是教者“慣性思維”的結(jié)果，反映了教學的隨意性。

維果茨基認為，學生的發(fā)展有兩種水平：一種是學生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)?！白罱l(fā)展區(qū)”其實就是學生的“認知”邊界。教師全面了解與準確把握學生的“數(shù)學認知”邊界是教學設計和課堂教學的前提。教師的作用就是在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，幫助學生搭建腳手架，讓學生通過探究、思考達到可能的數(shù)學發(fā)展水平?！澳_手架”有時就是一個關鍵的點撥，有時只是一個簡單的暗示。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）