平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算中特殊結(jié)構(gòu)的應(yīng)對(duì)

寧湘

[摘 要] 平面機(jī)構(gòu)的自由度是指平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)所具有的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的數(shù)目，其必定等于機(jī)構(gòu)原動(dòng)件數(shù)目，這是機(jī)構(gòu)存在的充要條件。而在計(jì)算平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)按公式計(jì)算出的自由度與機(jī)構(gòu)實(shí)際原動(dòng)件數(shù)不相符合的情況。就如何正確計(jì)算平面機(jī)構(gòu)自由度提出了應(yīng)對(duì)方法。

[關(guān) 鍵 詞] 平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)；自由度計(jì)算；復(fù)合鉸鏈；局部自由度；應(yīng)對(duì)策略

[中圖分類(lèi)號(hào)] B021.4 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2019）03-0192-02

組成機(jī)構(gòu)的所有構(gòu)件都在同一平面或相互平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)，稱(chēng)為平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，又簡(jiǎn)稱(chēng)為平面機(jī)構(gòu)。平面機(jī)構(gòu)自由度是指平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)具有的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的數(shù)目。平面機(jī)構(gòu)中給定的獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是由原動(dòng)件提供的，而每個(gè)原動(dòng)件又只能提供一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)。因此，平面機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目必定與機(jī)構(gòu)原動(dòng)件數(shù)目相等。計(jì)算平面機(jī)構(gòu)自由度的目的在于判定機(jī)構(gòu)是否正確，機(jī)構(gòu)是否具有確定的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若不能正確計(jì)算平面機(jī)構(gòu)自由度，就無(wú)法對(duì)平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)及受力情況等進(jìn)行正確分析和判斷。因此，平面機(jī)構(gòu)自由度的正確計(jì)算在平面機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)中占有十分重要的地位。但在機(jī)構(gòu)自由度的實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，常常存在計(jì)算出的自由度與機(jī)構(gòu)實(shí)際原動(dòng)件數(shù)不相符合的錯(cuò)誤情況。這主要是由于對(duì)機(jī)構(gòu)中一些特殊結(jié)構(gòu)所引入的約束數(shù)計(jì)算不正確導(dǎo)致的。

一、平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)自由度的一般計(jì)算

在平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中的任何一個(gè)處于自由狀態(tài)的構(gòu)件都具有三個(gè)自由度（即三個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)）。因此，當(dāng)平面機(jī)構(gòu)具有N個(gè)自由構(gòu)件時(shí)，該機(jī)構(gòu)應(yīng)該具有3N個(gè)自由度。若用低副或高副等運(yùn)動(dòng)副將這N個(gè)自由構(gòu)件聯(lián)接起來(lái)組成平面機(jī)構(gòu)，則自由構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)必然會(huì)受到約束，自由度必然減少。不同類(lèi)型的運(yùn)動(dòng)副所失去的自由度不同，所引入的約束也不同：每個(gè)低副聯(lián)接會(huì)使構(gòu)件失去兩個(gè)自由度，同時(shí)引入兩個(gè)約束，而每個(gè)高副聯(lián)接則會(huì)使構(gòu)件失去一個(gè)自由度，同時(shí)引入一個(gè)約束。

假設(shè)平面機(jī)構(gòu)中共有PH個(gè)高副和PL個(gè)低副，則該機(jī)構(gòu)共失去（2PL+PH）個(gè)自由度，同時(shí)共引入（2PL+PH）個(gè)約束。因此，平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的一般公式為：自由度F=3N-（2×PL+PH）。

二、問(wèn)題的提出

平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中原動(dòng)件的數(shù)目必須等于機(jī)構(gòu)自由度的數(shù)目，這是機(jī)構(gòu)能夠具有確定相對(duì)運(yùn)動(dòng)的重要條件。當(dāng)機(jī)構(gòu)不能滿足這一條件時(shí)，會(huì)使機(jī)構(gòu)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)不確定或薄弱環(huán)節(jié)發(fā)生破壞等現(xiàn)象。

如圖1所示各平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，各機(jī)構(gòu)的原動(dòng)件的數(shù)目均為1，機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目也應(yīng)該為1。然而，按平面機(jī)構(gòu)自由度的一般計(jì)算公式分別對(duì)這三個(gè)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行計(jì)算如下：

圖1a所示機(jī)構(gòu)：N=5，PH=0，PL=6，自由度F=3×5-（2×6+0）=3，與原動(dòng)件數(shù)目為1不符。

圖1b所示機(jī)構(gòu)：N=3，PH=1，PL=3，自由度F=3×3-（2×3+1）=2，與原動(dòng)件數(shù)目為1不符。

圖1c所示機(jī)構(gòu)：N=4，PH=0，PL=6，自由度F=3×4-（2×6+0）=0，與原動(dòng)件數(shù)目為1不符。

為什么會(huì)引起上述計(jì)算錯(cuò)誤呢？根本的原因在于忽略了機(jī)構(gòu)中的一些特殊結(jié)構(gòu)，如復(fù)合鉸鏈、局部自由度、消極約束等的存在。

三、面機(jī)構(gòu)中的特殊結(jié)構(gòu)及其應(yīng)對(duì)措施

（一）復(fù)合鉸鏈

復(fù)合鉸鏈?zhǔn)侵溉齻€(gè)或三個(gè)以上的構(gòu)件同時(shí)在一處用轉(zhuǎn)動(dòng)副聯(lián)接組構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)副，如圖2所示。

復(fù)合鉸鏈應(yīng)對(duì)策略：由m個(gè)構(gòu)件組成的復(fù)合鉸鏈應(yīng)具有（m-1）個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。

如圖2a所示，由構(gòu)件2、3和4在C處組成了一個(gè)復(fù)合鉸鏈，該復(fù)合鉸鏈包含由構(gòu)件2和4組成的轉(zhuǎn)動(dòng)副和由構(gòu)件3和4組成的轉(zhuǎn)動(dòng)副，如圖2b所示。所以，該機(jī)構(gòu)N=5，PH=0，PL=7，機(jī)構(gòu)自由度F=3×5-（2×7+0）=1，與機(jī)構(gòu)原動(dòng)件數(shù)為1相符。

（二）局部自由度

局部自由度是指在平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中所存在的與整個(gè)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的自由度。

在平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中，有時(shí)為了減少高副接觸處構(gòu)件間的摩損，常會(huì)考慮采用具有局部自由度的結(jié)構(gòu)，以使高副接觸處的滑動(dòng)摩擦變成滾動(dòng)摩擦。如圖3a所示滾子移動(dòng)從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)，為了減少盤(pán)形凸輪1與從動(dòng)件3之間的磨損，在凸輪1與從動(dòng)件3之間裝了一個(gè)滾子2。但滾子2只繞其自身軸線回轉(zhuǎn)，其并不影響凸輪和從動(dòng)件等構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)。所以，滾子2繞自身中心軸線的回轉(zhuǎn)就是一個(gè)局部自由度。

局部自由度應(yīng)對(duì)策略：將機(jī)構(gòu)中的局部自由度除去不計(jì)。

如圖3a所示，在計(jì)算自由度時(shí)，除去滾子繞自身中心軸線回轉(zhuǎn)的局部自由度，將滾子2與從動(dòng)件3連為一體，則圖3a就演化成圖3b的形式。此時(shí)，機(jī)構(gòu)自由構(gòu)件數(shù)N=2，高副數(shù)PH=1，低副數(shù)PL=2，凸輪機(jī)構(gòu)的自由度為F=3×2-（2×3+1）=1，這與實(shí)際相符。

（三）消極約束（虛約束）

消極約束是指在機(jī)構(gòu)中與其他運(yùn)動(dòng)副的作用重復(fù)，但又對(duì)平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有約束作用的約束，也稱(chēng)為虛約束。從運(yùn)動(dòng)的角度看，消極約束就是重復(fù)的、不必要的、多余的約束。

消極約束應(yīng)對(duì)策略：將產(chǎn)生消極約束的構(gòu)件和運(yùn)動(dòng)副除去不計(jì)。

消極約束常發(fā)生于下列情況：

1.兩構(gòu)件組成若干重合或平行導(dǎo)路的移動(dòng)副時(shí)，實(shí)際只有一個(gè)移動(dòng)副起作用，而其余都是消極約束。

如圖4所示盤(pán)形凸輪移動(dòng)從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)，從動(dòng)件5和機(jī)架之間分別在E處和F處各自組成一個(gè)移動(dòng)副，都是只能允許從動(dòng)件5沿Y軸方向移動(dòng)。在計(jì)算自由度時(shí)，從動(dòng)件5和機(jī)架只能按一個(gè)移動(dòng)副計(jì)算。

2.兩構(gòu)件組成若干軸線一致的轉(zhuǎn)動(dòng)副時(shí)，只有一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副起作用，而其余都是消極約束。

如圖5所示，齒輪軸1被兩個(gè)滑動(dòng)軸承2（機(jī)架）支承，軸與兩個(gè)軸承組成了兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，都是只能允許齒輪軸1繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。在計(jì)算自由度時(shí)，齒輪軸1和軸承只能按一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副計(jì)算。

3.兩構(gòu)件各連接點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡相互重合時(shí)，將產(chǎn)生消極約束。

如圖6a所示平行雙曲柄機(jī)構(gòu)中，原動(dòng)件曲柄1與從動(dòng)件曲柄3等長(zhǎng)且平行，連桿2與機(jī)架4等長(zhǎng)且平行，連桿2始終保持平動(dòng)。該機(jī)構(gòu)自由構(gòu)件數(shù)N=3，高副數(shù)PH=0，低副數(shù)PL=4，自由度F=3×3-（2×4+0）=1。連桿2上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡均為圓心在機(jī)架AD線上，半徑等于曲柄長(zhǎng)度的圓弧。因此，可以用一附加構(gòu)件5分別于動(dòng)點(diǎn)E和定點(diǎn)F兩處鉸接，從而構(gòu)成平面五桿機(jī)構(gòu)，如圖6b所示。機(jī)構(gòu)中動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡與原機(jī)構(gòu)在E點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)軌跡完全重合，因而不會(huì)影響機(jī)構(gòu)原有運(yùn)動(dòng)。但若忽視這種情況，而是按一般公式計(jì)算自由度，則機(jī)構(gòu)自由度F=3×4-（2×6+0）=0，這意味著機(jī)構(gòu)不能運(yùn)動(dòng)，顯然與實(shí)際情況不相符。這是由于附加構(gòu)件5的引入，在增加了三個(gè)自由度的同時(shí)，引入了兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，從而增加了四個(gè)約束，比原來(lái)多引入了一個(gè)約束。該多引入的約束仍是使點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓心在點(diǎn)F的圓弧。很明顯，從運(yùn)動(dòng)角度看這個(gè)約束是重復(fù)的、毫無(wú)必要的，應(yīng)為消極約束。因此，在計(jì)算該機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)，應(yīng)除去附加構(gòu)件5以及因其所引入的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副。

4.平面機(jī)構(gòu)中對(duì)傳遞運(yùn)動(dòng)不起獨(dú)立作用的對(duì)稱(chēng)部分，將產(chǎn)生消極約束。

如圖7所示的行星輪系中，從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)分析，在對(duì)稱(chēng)布置的多個(gè)小齒輪中，只需一個(gè)小齒輪就可以了，其他的小齒輪均是消極約束。該機(jī)構(gòu)自由構(gòu)件數(shù)N=3，高副數(shù)PH=2，低副數(shù)PL=3（其中，齒輪1、3與機(jī)架組成復(fù)合鉸鏈，含兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副），機(jī)構(gòu)自由度F=3×3-（2×3+2）=1，符合實(shí)際情況。

在實(shí)際中，消極約束隨處可見(jiàn)，雖然它對(duì)平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不起作用，但卻對(duì)提高機(jī)構(gòu)剛性、改善機(jī)構(gòu)的受力狀況有利。只有排除機(jī)構(gòu)中的消極約束，才能計(jì)算出機(jī)構(gòu)的真實(shí)自由度。

四、結(jié)束語(yǔ)

在計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，只有正確分析機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，才能正確計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度，從而為正確分析和判斷機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)、受力等情況提供保證。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊可楨，程光蘊(yùn)，李仲生.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]劉俊堯.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2008.

[3]勞動(dòng)和社會(huì)保障部教材辦公室.機(jī)械基礎(chǔ)[M].5版.北京：中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社，2011.

編輯 尚思達(dá)