橢偏高斯光束經(jīng)過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣

陶 智，彭楚楚，鄧羅根

(北京理工大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100081)

1 引 言

高斯光束入射非線性介質(zhì)后，由于介質(zhì)的三階非線性效應(yīng)會(huì)引起入射光相位分布發(fā)生變化，在遠(yuǎn)場(chǎng)產(chǎn)生明暗相間的衍射圓環(huán)，該現(xiàn)象被稱(chēng)為空間自相位調(diào)制現(xiàn)象?？臻g自相位調(diào)制現(xiàn)象由于其在材料非線性折射率的測(cè)量[1-2]、非線性光限幅器的設(shè)計(jì)[3]以及中空激光束的產(chǎn)生[4]等方面有著極大的應(yīng)用價(jià)值而受到廣泛關(guān)注。最早由Callen等人[5]在實(shí)驗(yàn)中觀察到。此后，人們相繼在液晶[6-8]、原子蒸汽[9]、聚合物[10]以及納米復(fù)合材料[11]等非線性材料系統(tǒng)中觀測(cè)到類(lèi)似的現(xiàn)象，區(qū)別僅在于衍射環(huán)的數(shù)目不同、圖樣中心的斑點(diǎn)在一些實(shí)驗(yàn)中是亮斑，而在另一些實(shí)驗(yàn)中是暗斑。為了解釋這種環(huán)狀圖樣的形成機(jī)理，早在1981年Durbin等人[12]從空間自相位調(diào)制角度很好地解釋了實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的環(huán)狀衍射圖樣，并給出了衍射環(huán)數(shù)和最大附加相移間的定量關(guān)系。1997年，Harrison研究小組[13]在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)高斯光束經(jīng)過(guò)一個(gè)薄的吸收型自散焦介質(zhì)時(shí)，會(huì)在遠(yuǎn)場(chǎng)形成中心恒為暗斑的衍射圖樣。次年，他們研究小組[14]利用耦合場(chǎng)物質(zhì)方程對(duì)上述現(xiàn)象給出了理論分析，并得出結(jié)論，遠(yuǎn)場(chǎng)暗斑的穩(wěn)定存在是波前曲率和空間自相位調(diào)制共同作用的結(jié)果。2005年，Deng等人[15]系統(tǒng)研究了自聚焦、自散焦介質(zhì)對(duì)發(fā)散、會(huì)聚高斯光束的作用，總結(jié)了不同遠(yuǎn)場(chǎng)環(huán)狀圖樣出現(xiàn)的條件，他們認(rèn)為當(dāng)波前曲率和附加相移的乘積的符號(hào)為正時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)中心是亮斑的環(huán)狀衍射條紋，而當(dāng)波前曲率和附加相移的乘積的符號(hào)為負(fù)時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的中心是暗斑。此后，人們?cè)谘芯抗ぷ髦邪l(fā)現(xiàn)，樣品的位置[16]、介質(zhì)的非局域性[17]、入射光場(chǎng)的頻率、能量等因素[18]均會(huì)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的形成產(chǎn)生影響。值得一提的是，盡管之前人們對(duì)空間自相位調(diào)制現(xiàn)象的研究取得了一系列成果，但是他們沒(méi)有考慮當(dāng)入射非線性介質(zhì)的光是偏振光時(shí)，非線性介質(zhì)對(duì)不同偏振光響應(yīng)的差別。事實(shí)上，早在上世紀(jì)60年代初，Maker等人[19]在研究液晶折射率隨強(qiáng)度變化的工作中就已指出，對(duì)于同一各向同性非線性介質(zhì)，橢圓偏振光的左旋圓偏振分量和右旋圓偏振分量引起的非線性折射率不同。Boyd[20]也曾在書(shū)中明確給出線偏振光、圓偏振光以及橢圓偏振光在非線性介質(zhì)中的非線性折射率的表達(dá)式。

本文以衍射理論為基礎(chǔ)，建立了偏振態(tài)為橢圓偏振的高斯光束(橢偏高斯光束)經(jīng)過(guò)非線性介質(zhì)后遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布的理論模型。采用數(shù)值方法，研究了橢偏高斯光束入射非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖及衍射圖樣。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，入射光場(chǎng)的橢偏率是影響遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布的重要因素，并且非線性機(jī)制不同，橢偏率對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布的影響也不同。

2 理 論

設(shè)橢偏高斯光束經(jīng)過(guò)一個(gè)薄的線性吸收型各向同性非線性介質(zhì)，那么，介質(zhì)入射面上光場(chǎng)的瓊斯矢量可以表示為

(1)

E(r,z1)=E+σ++E-σ-，

(2)

(3)

式中:γ為非線性介質(zhì)的線性吸收系數(shù)，Δφ+(r,z1+L)和Δφ-(r,z1+L)分別代表左旋圓偏振光及右旋圓偏振光在介質(zhì)出射面處對(duì)應(yīng)的附加相移[15]，可分別表示為

(4)

(5)

式中:Δn+和Δn-分別為左旋圓偏振光及右旋圓偏振光在非線性介質(zhì)內(nèi)對(duì)應(yīng)的非線性折射率。由參考文獻(xiàn)[19]可知，

(6)

(7)

(8)

當(dāng)e=0時(shí)，入射光為線偏振光；當(dāng)e=1時(shí)，入射光為左旋圓偏振光；當(dāng)e=-1時(shí)，入射光為右旋圓偏振光。此時(shí)，式(6)、(7)可統(tǒng)一表示為

(9)

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，式中B/A可代表引起非線性折射率的非線性機(jī)制，B/A=0代表電致伸縮或熱致非線性機(jī)制，B/A=1代表非共振電子非線性機(jī)制，B/A=6代表分子取向非線性機(jī)制。由朗伯(Lambert)定律可知,在介質(zhì)內(nèi)部，光強(qiáng)與z的關(guān)系可近似為

I(r,z)=I(r,z1)e-γ(z-z1)，

(11)

(12)

令

(13)

(14)

則式(12)可寫(xiě)為

(15)

其中：Δφ±(0,L)表示介質(zhì)位于z1位置時(shí)橢偏高斯光束在介質(zhì)出射面產(chǎn)生的峰值非線性相移。Δφ0表示在B/A=0或入射光為圓偏振光的情況下產(chǎn)生的相移，本文中，我們稱(chēng)它為“原相移”。利用基爾霍夫-夫瑯禾費(fèi)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射公式[22]，我們可以得到遠(yuǎn)場(chǎng)衍射后的場(chǎng)強(qiáng)為

(16)

式中：J0(krθ)是第一類(lèi)零階貝塞爾函數(shù)，D是樣品與觀察屏之間的距離。為積分方便，將E(r,z1+L)做正交分解，寫(xiě)為兩個(gè)線偏振分量Ex和Ey的疊加形式，

(17)

(18)

分別計(jì)算Ex和Ey在遠(yuǎn)場(chǎng)的光強(qiáng)分布Ix和Iy，設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)探測(cè)孔徑的半徑為ρ，考慮光強(qiáng)，則

(19)

相應(yīng)地，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射總光強(qiáng)I=Ix+Iy。

3 模擬結(jié)果及分析

以下我們將利用式(19)對(duì)橢偏高斯光束經(jīng)過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布及衍射圖樣進(jìn)行數(shù)值模擬。由理論部分可知，橢偏率e是影響橢偏高斯光束經(jīng)過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的一個(gè)重要因素，本文將著重探究其在遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣形成過(guò)程中的作用。模擬程序中所選固定參數(shù)為λ=532 nm，w(z1)=1 mm，Δφ0=4π，R(z1)=2 m。

圖1(a)、(c)、(e)是在電致伸縮非線性機(jī)制或熱致非線性機(jī)制(對(duì)應(yīng)于參數(shù)B/A=0)情況下，橢偏率e分別取0.4，0.6，0.8時(shí)橢偏高斯光束通過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖，橫坐標(biāo)表示遠(yuǎn)場(chǎng)衍射角，縱坐標(biāo)表示光強(qiáng)。圖1(b)、(d)、(f)是與圖1(a)、(c)、(e)相對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣。模擬結(jié)果顯示，在電致伸縮非線性機(jī)制下，遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)的x分量對(duì)總光強(qiáng)的貢獻(xiàn)隨著橢偏率e的增大而減小，y分量的貢獻(xiàn)隨橢偏率的增大而增大。二分量疊加后，遠(yuǎn)場(chǎng)總光強(qiáng)的分布不隨橢偏率的改變而改變?？偣鈴?qiáng)最亮環(huán)的光強(qiáng)約為0.97，中心暗斑的光強(qiáng)約為0.11。相應(yīng)地，不同橢偏率的橢偏高斯光束入射非線性介質(zhì)在遠(yuǎn)場(chǎng)形成的衍射圖幾乎樣完全相同，如圖1(b)、(d)、(f)所示。圖樣中心均為暗斑，暗斑外圍均有3個(gè)亮環(huán)，2個(gè)暗環(huán)，且最外側(cè)的亮環(huán)光強(qiáng)強(qiáng)度最大。該現(xiàn)象說(shuō)明，當(dāng)引起介質(zhì)非線性折射率的機(jī)制是電致伸縮非線性機(jī)制時(shí)，橢偏率對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射光強(qiáng)分布的影響可忽略不計(jì)。

(a) e=0.4時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(a) Far-field intensity distribution with e=0.4

(b) e=0.4時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(b) Far-field diffraction pattern with e=0.4

(c) e=0.6時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(c) Far-field intensity distribution with e=0.6

(d) e=0.6時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(d) Far-field diffraction pattern with e=0.6

(e) e=0.8時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(e) Far-field intensity distribution with e=0.8

(f) e=0.8時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(f) Far-field diffraction pattern with e=0.8圖1 B/A=0時(shí)，不同橢偏率下的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣。Fig.1 Far-field intensity distribution and far-field diffraction pattern with different ellipticity while B/A=0

圖2(a)、(c)、(e)是在非共振電子非線性機(jī)制(對(duì)應(yīng)于參數(shù)B/A=1)情況下，橢偏率e分別取0.4，0.6，0.8時(shí)橢偏高斯光束通過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖。從圖中可以看到，在非共振電子非線性機(jī)制下，隨著橢偏率的增大，x分量和y分量發(fā)生同步變化，表現(xiàn)為光場(chǎng)分布半徑變小，中心斑點(diǎn)半徑變小，中心斑點(diǎn)外圍最亮環(huán)的光強(qiáng)變強(qiáng)。總光強(qiáng)隨之發(fā)生相同的變化。e=0.4時(shí)，總光強(qiáng)的光場(chǎng)半徑約為e=0.8時(shí)的1.5倍。e=0.4時(shí)，總光強(qiáng)最亮環(huán)的光強(qiáng)最小，約為0.68。e=0.6時(shí)，最亮環(huán)光強(qiáng)約降為0.80。e=0.8時(shí)，總光強(qiáng)最亮環(huán)的光強(qiáng)最大，約為0.95。由此可知，當(dāng)引起介質(zhì)非線性折射率的機(jī)制是非共振電子非線性機(jī)制時(shí)，橢偏率的增大會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布半徑和中心斑點(diǎn)分布半徑變小，光能更多地分布在衍射外環(huán)。圖2(b)、(d)、(f)是與圖2(a)、(c)、(e)相對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣。

(a) e=0.4時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(a) Far-field intensity distribution with e=0.4

(b) e=0.4時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(b) Far-field diffraction pattern with e=0.4

(c) e=0.6時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(c) Far-field intensity distribution with e=0.6

(d) e=0.6時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(d) Far-field diffraction pattern with e=0.6

(e) e=0.8時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(e) Far-field intensity distribution with e=0.8

(f) e=0.8時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(f) Far-field diffraction pattern with e=0.8圖2 B/A=1時(shí)，不同橢偏率下的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣。Fig.2 Far-field intensity distribution and far-field diffraction patterns with different ellipticity while B/A=1

圖3是分子取向非線性機(jī)制(對(duì)應(yīng)于參數(shù)B/A=6)情況下，不同橢偏率的橢偏高斯光束通過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖及衍射圖樣。從圖中可以看到，當(dāng)e=0.4時(shí)，總光強(qiáng)的分布與二分量的光強(qiáng)分布一致，中央光斑均為亮斑，且中心光強(qiáng)最強(qiáng)，約為1.27。中心外圍有4個(gè)亮環(huán)，4個(gè)暗環(huán)。當(dāng)e=0.6時(shí)，x光強(qiáng)分量與y光強(qiáng)分量中心光強(qiáng)最強(qiáng)。相應(yīng)地，總光強(qiáng)的中心光強(qiáng)也最強(qiáng)，約為1.27。然而，此時(shí)，總光強(qiáng)中心斑點(diǎn)外圍的衍射亮環(huán)和暗環(huán)較e=0.4時(shí)均減少1個(gè)，并且光場(chǎng)分布半徑變小。當(dāng)e增大至0.8時(shí)，二分量的分布半徑繼續(xù)減小，衍射暗環(huán)數(shù)目減少，中心光強(qiáng)變?nèi)酰钔庋苌洵h(huán)的光強(qiáng)最強(qiáng)。此時(shí)，總光強(qiáng)的分布隨之發(fā)生同步變化。圖(b)、(d)、(f)為圖(a)、(c)、(e)各自對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣，從衍射圖樣可以明顯看到，當(dāng)B/A=6時(shí)，橢偏率的增大不僅會(huì)影響圖樣的分布尺寸和衍射環(huán)數(shù)目，還會(huì)影響圖樣中心斑點(diǎn)的亮暗。

(a) e=0.4時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(a) Far-field intensity distribution with e=0.4

(b) e=0.4時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(b) Far-field diffraction pattern with e=0.4

(c) e=0.6時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(c) Far-field intensity distribution with e=0.6

(d) e=0.6時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(d) Far-field diffraction pattern with e=0.6

(e) e=0.8時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖(e) The far-field intensity distribution with e=0.8

(f) e=0.8時(shí)的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣(f) Far-field diffraction pattern with e=0.8圖3 B/A=6時(shí)，不同橢偏率下的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布圖和遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣。Fig.3 Far-field intensity distribution and far-field diffraction patterns with different ellipticity while B/A=6

綜上可知，橢偏率的改變會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的直徑、衍射環(huán)數(shù)以及中心斑點(diǎn)的亮暗發(fā)生變化。在不同的非線性機(jī)制下，橢偏率的改變會(huì)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣產(chǎn)生不同的影響，影響程度的大小隨非線性機(jī)制對(duì)應(yīng)的B/A數(shù)值的增大而增大。在電致伸縮或熱致非線性機(jī)制下，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣幾乎不隨橢偏率的改變而改變，橢偏率的改變對(duì)圖樣產(chǎn)生的影響可忽略不計(jì)。在非共振電子響應(yīng)非線性機(jī)制和分子取向非線性機(jī)制下，橢偏率的增大會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣分布尺寸變小。相比之下，當(dāng)引起非介質(zhì)折射率變化的機(jī)制是分子取向非線性機(jī)制時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布對(duì)入射光場(chǎng)橢偏率改變的響應(yīng)更敏感，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的衍射環(huán)數(shù)和中心斑點(diǎn)的亮暗均會(huì)隨橢偏率的改變發(fā)生明顯變化。

4 結(jié) 論

綜上所述，我們可以得到以下結(jié)論：本文建立的計(jì)算遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)分布的理論模型不僅適用于橢偏高斯光束入射非線性介質(zhì)的情形，通過(guò)改變橢偏率e值的大小，還可以得到入射光偏振態(tài)為線偏振態(tài)、圓偏振態(tài)時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)的分布模型。處于不同非線性機(jī)制下的非線性材料對(duì)入射橢偏激光橢偏率變化的響應(yīng)不同。電致伸縮非線性機(jī)制下，橢偏率的變化對(duì)橢偏高斯光束經(jīng)過(guò)非線性介質(zhì)后的遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的影響可忽略不計(jì)；非共振電子響應(yīng)非線性機(jī)制下，隨著橢偏率的增大，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的半徑變小、中央光斑半徑變小、光場(chǎng)能量更多地分布在衍射外環(huán)；分子取向非線性機(jī)制下，隨著橢偏率的增大，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射圖樣的半徑變小、衍射環(huán)數(shù)變少、中心斑點(diǎn)由亮斑變?yōu)榘蛋?。根?jù)衍射圖樣隨不同非線性機(jī)制的不同演化特征，可以有效區(qū)分在強(qiáng)光與非線性介質(zhì)的相互作用中處于主導(dǎo)位置的非線性機(jī)制類(lèi)型。該結(jié)論對(duì)非線性機(jī)制類(lèi)型的判斷和光限幅器件的設(shè)計(jì)具有參考意義。