考慮執(zhí)行器性能退化的控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)方法

施權(quán) 胡昌華 司小勝 扈曉翔 張正新

受環(huán)境、工作載荷與自身材料、結(jié)構(gòu)性能老化等因素的影響,系統(tǒng)的性能會(huì)隨著使用發(fā)生不可避免的退化.系統(tǒng)的性能退化最終會(huì)導(dǎo)致失效,而失效的發(fā)生將帶來(lái)經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等多方面的損失,甚至造成重大的安全事故.如果能夠在系統(tǒng)完全失效之前進(jìn)行有效預(yù)測(cè),并及時(shí)地進(jìn)行維護(hù)和管理,就可以有效地降低運(yùn)行風(fēng)險(xiǎn)與成本,提高系統(tǒng)的安全性與可靠性[1?2].因此,預(yù)測(cè)與健康管理(Prognostics and health management,PHM)成為當(dāng)前可靠性領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問(wèn)題,基于退化現(xiàn)象的分析方法在解決系統(tǒng)剩余壽命(Remaining useful lifetime,RUL)預(yù)測(cè)問(wèn)題時(shí)取得了一系列的成果[3?5].然而,在剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí)考慮控制作用的影響、對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)的研究幾乎是空白.

隱含退化過(guò)程難以檢測(cè)是閉環(huán)控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)研究的一個(gè)難點(diǎn).得益于特殊的閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu),控制系統(tǒng)可以補(bǔ)償實(shí)際工作中產(chǎn)生的故障和擾動(dòng)[6],具有一定的容錯(cuò)能力.當(dāng)采用容錯(cuò)控制(Fault tolerant control,FTC)[7?8]策略時(shí),閉環(huán)控制系統(tǒng)對(duì)故障的容錯(cuò)能力將進(jìn)一步提升,即使內(nèi)部已經(jīng)發(fā)生比較嚴(yán)重的性能退化,系統(tǒng)輸出可能仍然在正常范圍之內(nèi).這使得內(nèi)部部件的性能退化呈現(xiàn)隱含退化的特點(diǎn),給傳統(tǒng)的壽命預(yù)測(cè)方法帶來(lái)一定困難[9].在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,針對(duì)隱含退化過(guò)程的剩余壽命預(yù)測(cè)研究通常采用基于隨機(jī)濾波的方法[10]、基于協(xié)變量風(fēng)險(xiǎn)模型的方法[11]和基于隱Markov或隱半Markov模型的方法[12?13],Si等[5]對(duì)此進(jìn)行了詳細(xì)的綜述.無(wú)論哪種方法,都需要獲得觀測(cè)值與退化狀態(tài)、失效率或壽命之間的關(guān)系模型,由于控制系統(tǒng)的解析模型已知,基于隨機(jī)濾波的方法不需要利用一定的歷史壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行模型辨識(shí),相比于其他方法更具優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[14]研究了考慮執(zhí)行器性能退化的控制系統(tǒng)故障檢測(cè)問(wèn)題,提出一種自適應(yīng)卡爾曼濾波算法在線估計(jì)出執(zhí)行器故障等級(jí).然而,這類(lèi)采用控制效能損失[14?18]程度對(duì)執(zhí)行器退化水平建模的方法沒(méi)有區(qū)分控制電路故障和執(zhí)行器硬件性能退化這種早期微小故障[19]的區(qū)別,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制方法可能會(huì)增大執(zhí)行器負(fù)載、加重退化程度.Langeron等[20]將這種執(zhí)行器故障模型[14?18]的不足總結(jié)為:與控制算法相獨(dú)立、與任何形式的物理退化過(guò)程相獨(dú)立、故障發(fā)生于確定的時(shí)間點(diǎn).Xu等[21?22]針對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)提出一種實(shí)時(shí)可靠性預(yù)測(cè)方法,選擇系統(tǒng)模型參數(shù)作為表征系統(tǒng)性能的隱含退化量并采用粒子濾波算法在線辨識(shí)隱含的隨機(jī)退化過(guò)程模型.然而,由于沒(méi)有考慮反饋控制的作用,因而也就沒(méi)有將退化過(guò)程模型與系統(tǒng)負(fù)載、控制算法聯(lián)系在一起.

除了上述難點(diǎn)之外,閾值大小的選擇也是一個(gè)難點(diǎn).由于退化過(guò)程隱含且不易觀測(cè),因此缺乏歷史失效時(shí)刻退化狀態(tài)或觀測(cè)值大小的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù),難以根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)直接給出閾值大小.文獻(xiàn)[23]對(duì)閾值不確定這一問(wèn)題進(jìn)行了詳盡的分析,文獻(xiàn)[24?26]也指出使用固定閾值是存在問(wèn)題的.這一問(wèn)題在閉環(huán)控制系統(tǒng)應(yīng)用中尤其突出.除了系統(tǒng)內(nèi)部一些部件發(fā)生性能退化會(huì)降低系統(tǒng)的控制品質(zhì)并可能導(dǎo)致系統(tǒng)故障[27],控制算法對(duì)當(dāng)前運(yùn)行環(huán)境下的隨機(jī)干擾等不良影響的魯棒性也是影響系統(tǒng)可靠性的重要因素.這兩個(gè)因素互相耦合,導(dǎo)致在不同的工作環(huán)境和工程需求下,控制系統(tǒng)的失效時(shí)刻難以通過(guò)一個(gè)固定的失效閾值來(lái)判定,而如果失效時(shí)刻本身不夠準(zhǔn)確,那么在此基礎(chǔ)上獲得的歷史壽命數(shù)據(jù)或剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果也是不準(zhǔn)確的.基于此,本文考慮了系統(tǒng)隱含退化過(guò)程的失效閾值并非固定值的情況,提出一種在線計(jì)算失效閾值的方法.

綜上分析,當(dāng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)需要同時(shí)滿(mǎn)足控制性能要求和可靠性要求,尤其是當(dāng)系統(tǒng)不具有執(zhí)行器冗余度時(shí),就需要在控制性能和可靠性之間進(jìn)行折中[28],然而現(xiàn)有模型無(wú)法準(zhǔn)確描述控制系統(tǒng)的可靠性.鑒于此,本文提出一種考慮執(zhí)行器性能退化的控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)方法,采用隨機(jī)過(guò)程對(duì)執(zhí)行器的退化水平進(jìn)行建模,并假設(shè)退化速率是一個(gè)與控制負(fù)載相關(guān)的變量.針對(duì)閉環(huán)反饋?zhàn)饔孟虏考尸F(xiàn)隱含退化的特點(diǎn),采用權(quán)值優(yōu)選粒子濾波算法對(duì)系統(tǒng)輸入輸出的采樣值進(jìn)行分析,進(jìn)而估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)和執(zhí)行器隱含退化量.同時(shí),在預(yù)測(cè)時(shí)刻采用蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)仿真以選擇合理的執(zhí)行器失效閾值,通過(guò)將執(zhí)行器的退化水平帶入退化模型中外推出系統(tǒng)剩余壽命分布,為后期健康管理活動(dòng)提供可信依據(jù).最后的仿真結(jié)果證明了本文所提方法的有效性.

1 問(wèn)題描述

考慮只有一個(gè)執(zhí)行器發(fā)生性能退化的單輸入單輸出閉環(huán)控制系統(tǒng)

式中,x(t)∈Rn為n維狀態(tài)向量,u(t)為控制輸入,y(t)為系統(tǒng)輸出,φ為執(zhí)行器的控制效能,是隱含的性能參數(shù),難以直接測(cè)得.w(t)和v(t)為合適維度、互相獨(dú)立的過(guò)程噪聲向量和觀測(cè)噪聲向量,服從高斯或非高斯分布.f為狀態(tài)向量x(t)和輸入u(t)的非線性函數(shù),h為狀態(tài)向量x(t)的線性或非線性函數(shù).輸出殘差定義為e(t)=yref(t)?y(t),表示系統(tǒng)期望輸出與實(shí)際輸出的偏差,yref(t)為參考輸出.

圖1展示了執(zhí)行器性能退化過(guò)程與閉環(huán)控制系統(tǒng)失效過(guò)程的關(guān)系,從圖1中可以看出,執(zhí)行器的控制效能連續(xù)緩慢下降,導(dǎo)致執(zhí)行器的實(shí)際輸出受到影響.圖1左上角輸出殘差e(t)的變化曲線,起初波動(dòng)的幅度較小,表示在閉環(huán)反饋的作用下,系統(tǒng)尚能補(bǔ)償部分外部干擾的影響,輸出殘差仍然保持在在性能指標(biāo)允許的范圍內(nèi),但此時(shí)系統(tǒng)的控制品質(zhì)已經(jīng)有所下降.隨著隱含退化量φ(t)變化曲線不斷下降,e(t)曲線突然持續(xù)上升直至超過(guò)殘差的允許上限,表示當(dāng)執(zhí)行器性能退化累積到一定程度時(shí),系統(tǒng)會(huì)在外部隨機(jī)干擾的影響下發(fā)生失效.本文選擇合適的模型參數(shù)φ(t)作為隱含退化量,相比于傳統(tǒng)性能變量有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢(shì):1)可以通過(guò)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)辨識(shí)出來(lái),不需要額外增加傳感設(shè)備去監(jiān)測(cè)性能變量;2)隱含退化量通過(guò)系統(tǒng)模型作用于系統(tǒng)輸出,其大小直接反映系統(tǒng)的實(shí)際工作狀態(tài)和性能水平,不需要再通過(guò)機(jī)理分析和大量實(shí)驗(yàn)去建立性能參數(shù)和系統(tǒng)可靠性之間的關(guān)系;3)其退化閾值可以通過(guò)系統(tǒng)解析模型和輸出性能指標(biāo)進(jìn)行確定,不同工作環(huán)境下只需要相應(yīng)地修改系統(tǒng)模型,即可求得當(dāng)前環(huán)境下的閾值,而傳統(tǒng)性能參數(shù)的閾值需要在固定的環(huán)境中對(duì)同類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn),或者通過(guò)大量工程經(jīng)驗(yàn)的積累給出,且在新的工作環(huán)境下基于固定閾值無(wú)法得到準(zhǔn)確的系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果;4)模型參數(shù)通過(guò)閉環(huán)反饋?zhàn)饔门c控制器耦合,選擇模型參數(shù)作為退化量,便于建立與控制算法、系統(tǒng)負(fù)載的關(guān)系.

圖1 考慮執(zhí)行器性能退化的閉環(huán)控制系統(tǒng)失效過(guò)程Fig.1 Failure process of closed-loop controlled system considering performance degradation of an actuator

由于本文僅考慮執(zhí)行器的退化過(guò)程,控制器的形式一經(jīng)確定便不再改變.選擇工業(yè)和過(guò)程控制領(lǐng)域常用的比例–積分–微分(Proportional integral differential,PID)控制算法作為閉環(huán)控制系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)依據(jù).定義u(t)為t時(shí)刻的控制器輸出,則PID控制算法具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式

式中,KP為比例系數(shù),TI為積分時(shí)間常數(shù),TD為微分時(shí)間常數(shù).關(guān)于這三個(gè)參數(shù)的選擇與整定問(wèn)題在許多參考書(shū)籍中都有所介紹,這里不再贅述.

控制信號(hào)u(t)被用來(lái)驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器產(chǎn)生響應(yīng)的輸出來(lái)維持系統(tǒng)平衡,執(zhí)行器的輸出是一個(gè)狀態(tài)量,設(shè)為xa,可以是電機(jī)輸出的力矩、閥門(mén)開(kāi)閉的大小等.t時(shí)刻執(zhí)行器的輸出定義如下

式中,g是一個(gè)由系統(tǒng)狀態(tài)方程決定的函數(shù).由式(3)可見(jiàn)執(zhí)行器的實(shí)際輸出由控制律u(t)和執(zhí)行器自身的控制效能φ共同決定.

文獻(xiàn)[29?30]將控制效能損失視作一類(lèi)執(zhí)行器故障,由于在連續(xù)負(fù)載下工作,執(zhí)行器的機(jī)械參數(shù)或電氣參數(shù)發(fā)生緩慢變化,進(jìn)而導(dǎo)致其輸出效能是一個(gè)漸變的、連續(xù)的退化過(guò)程.因此,采用連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程對(duì)執(zhí)行器的性能退化過(guò)程建模,是一個(gè)合理的選擇.常見(jiàn)的退化過(guò)程模型包括擴(kuò)散過(guò)程模型[31?32]、Gamma過(guò)程模型[33]以及隱Markov模型[13]等.不論采用哪種退化模型都是對(duì)系統(tǒng)真實(shí)性能退化過(guò)程的近似描述,其中的擴(kuò)散過(guò)程作為一種連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程,近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于機(jī)電系統(tǒng)的退化建模,適用于非單調(diào)、非線性的退化過(guò)程描述.因此,本文采用擴(kuò)散過(guò)程對(duì)執(zhí)行器的控制效能退化建模,并假設(shè)退化過(guò)程的參數(shù)已經(jīng)通過(guò)辨識(shí)得到.令φ(t)表示t時(shí)刻執(zhí)行器的退化量,則基于擴(kuò)散過(guò)程的執(zhí)行器退化過(guò)程{φ(t),t≥0}可以表示為

式中,φ(0)表示隱含退化量的初始值;σB為擴(kuò)散系數(shù);B(t)表示標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng),且B(t)～N(0,t);μ(τ,x)為漂移系數(shù),用來(lái)表征漂移速度,其中的x表示漂移速度受到系統(tǒng)負(fù)載和工作狀態(tài)的影響.

在進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)之前首先要對(duì)系統(tǒng)失效進(jìn)行定義.文獻(xiàn)[34?35]將系統(tǒng)失效定義為系統(tǒng)喪失一定功能以至于無(wú)法繼續(xù)完成預(yù)定任務(wù),認(rèn)為這種任務(wù)需求可以通過(guò)某種閾值來(lái)表示,而這個(gè)閾值可以是系統(tǒng)狀態(tài)、參數(shù)或是輸出的函數(shù).同時(shí),文獻(xiàn)[36]認(rèn)為通過(guò)將系統(tǒng)真實(shí)輸出與某種指標(biāo)比較得到殘差并對(duì)殘差進(jìn)行評(píng)價(jià)是得到故障檢測(cè)結(jié)果的常用手段.對(duì)于圖1所示閉環(huán)跟蹤系統(tǒng),預(yù)定任務(wù)就是使得系統(tǒng)輸出有效跟蹤預(yù)設(shè)的參考輸出并將輸出殘差控制在一定范圍之內(nèi),而當(dāng)執(zhí)行器性能退化到一定程度,系統(tǒng)從早期微小故障狀態(tài)向顯著故障[19]轉(zhuǎn)變的時(shí)刻即為失效時(shí)刻.基于上述分析,本文方法采用殘差上界emax作為判斷系統(tǒng)是否失效的性能指標(biāo),并將系統(tǒng)的使用壽命定義為輸出殘差{|e(t)|,t≥0}達(dá)到emax的首達(dá)時(shí)間

式中,inf為下確界算子,emax為殘差閾值,是一個(gè)固定值,根據(jù)工程中的實(shí)際要求給出,這里閾值的設(shè)置需要滿(mǎn)足一定的大小要求,避免輸出殘差在正常工作下產(chǎn)生波動(dòng)達(dá)到閾值而造成誤報(bào)和虛警的情況.|e(t)|實(shí)際上是殘差評(píng)價(jià)函數(shù)[36]針對(duì)單輸入單輸出跟蹤系統(tǒng)(1)的簡(jiǎn)化形式,當(dāng)系統(tǒng)為多輸入多輸出系統(tǒng)且具有其他性能指標(biāo)時(shí),只需將|e(t)|替換成其他合理的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)即可.

由圖1可知,從開(kāi)始時(shí)刻起很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的輸出殘差變化較小,不便于描述系統(tǒng)實(shí)時(shí)的健康水平,因此在預(yù)測(cè)時(shí)對(duì)隱含退化量建模并提出一種基于變失效閾值的剩余壽命預(yù)測(cè)方法.基于該方法的系統(tǒng)壽命預(yù)測(cè)結(jié)果依賴(lài)于運(yùn)行過(guò)程中對(duì)未來(lái)退化量的估計(jì)數(shù)據(jù),通常定義為未來(lái)退化量估計(jì)值到達(dá)失效閾值φmin的首達(dá)時(shí)間

這里出現(xiàn)了式(5)和式(6)兩種壽命定義,對(duì)此說(shuō)明如下:式(5)用作真實(shí)退化過(guò)程中系統(tǒng)是否失效的判斷依據(jù),而式(6)用作預(yù)測(cè)計(jì)算過(guò)程中系統(tǒng)是否失效的判斷依據(jù).從圖1中可以看出,由于性能參數(shù)的緩慢退化會(huì)導(dǎo)致控制器在某個(gè)時(shí)刻無(wú)法補(bǔ)償隨機(jī)干擾,系統(tǒng)發(fā)散.因此在失效時(shí)刻前后,系統(tǒng)輸出殘差變化非常劇烈.反過(guò)來(lái)說(shuō),一定程度的殘差上界不準(zhǔn)確并不會(huì)引起失效時(shí)刻產(chǎn)生太大偏差,這也是本文選取式(5)作為判斷系統(tǒng)是否失效或發(fā)生顯著故障依據(jù)的原因.這樣一來(lái),失效時(shí)刻相對(duì)比較固定,在不同大小的失效閾值下得到的預(yù)測(cè)結(jié)果才有了一個(gè)可信的參照,即真實(shí)失效時(shí)間(對(duì)應(yīng)于真實(shí)剩余壽命),本文基于變閾值預(yù)測(cè)方法與傳統(tǒng)基于固定閾值預(yù)測(cè)方法下的預(yù)測(cè)結(jié)果才有了可比性.

基于以上分析,本文主要研究以下2個(gè)問(wèn)題:

1)如何在已知控制系統(tǒng)執(zhí)行器退化模型的情況下確定合理的失效閾值,建立基于隱含退化量失效閾值的系統(tǒng)失效判斷準(zhǔn)則;

2)如何利用在線觀測(cè)輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)隱含狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)并實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的剩余壽命分布.

2 剩余壽命預(yù)測(cè)方法

提出一種考慮退化速率受負(fù)載影響的基于擴(kuò)散過(guò)程的非線性退化過(guò)程建模方法,在已知系統(tǒng)狀態(tài)模型和噪聲模型的情況下,在每一個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)刻t1,t2,···,tn實(shí)時(shí)計(jì)算系統(tǒng)的剩余壽命.該方法包含:1)在每一個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)刻利用MC仿真合理設(shè)置隱含退化量的失效閾值,建立基于隱含退化量變失效閾值的失效判斷準(zhǔn)則;2)基于權(quán)值優(yōu)選粒子濾波算法,根據(jù)在線監(jiān)測(cè)的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)估計(jì)出系統(tǒng)的隱含狀態(tài);3)在不同的預(yù)測(cè)時(shí)刻計(jì)算系統(tǒng)剩余壽命分布.

2.1 基于隱含退化量變失效閾值的失效判斷準(zhǔn)則

首先定義系統(tǒng)基于殘差準(zhǔn)則的失效區(qū)域?yàn)镕,F包含系統(tǒng)所有狀態(tài)變量.系統(tǒng)輸出偏差e首次進(jìn)入?yún)^(qū)域F即意味著系統(tǒng)在滿(mǎn)足一定使用性能的意義下發(fā)生失效.基于上述定義和式(5),假設(shè)系統(tǒng)首次進(jìn)入F的采樣時(shí)刻為test,則系統(tǒng)在時(shí)刻t的剩余壽命可以描述如下:

基于隱含退化量失效閾值的系統(tǒng)失效區(qū)域?yàn)棣?系統(tǒng)隱含退化量φ首次進(jìn)入?yún)^(qū)域Φ即意味著系統(tǒng)的可靠性大幅下降,進(jìn)入故障易發(fā)區(qū).基于上述定義和式(6),假設(shè)系統(tǒng)在MC仿真中首次進(jìn)入Φ的采樣時(shí)刻為,則系統(tǒng)在時(shí)刻t的剩余壽命可以描述如下:

式中,Np表示優(yōu)選粒子數(shù),μy1,···,yl(dz) 表示在時(shí)刻獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)y1,···,yl軌跡的重要性函數(shù);表示系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)基于隱含退化量失效閾值準(zhǔn)則未失效的概率.式(9)是本文基于隱含退化量失效閾值求解系統(tǒng)可靠度和剩余壽命概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF)的理論依據(jù).

在不同預(yù)測(cè)時(shí)刻進(jìn)行MC仿真,選取式(8)中首達(dá)定義下的參考時(shí)刻作為失效閾值φmin的對(duì)應(yīng)時(shí)刻,則φmin通過(guò)下式計(jì)算

式中,Ntraj表示仿真次數(shù).由于不同預(yù)測(cè)時(shí)刻的初值不同,MC仿真軌跡也不同,因此失效閾值不是一個(gè)固定值.下面通過(guò)圖3進(jìn)一步具體說(shuō)明在預(yù)測(cè)時(shí)采用變失效閾值的必要性.

真實(shí)的控制系統(tǒng)由于隨機(jī)干擾帶來(lái)的時(shí)變不確定性,可能會(huì)出現(xiàn)不同的退化軌跡,如圖2中退化軌跡1和退化軌跡2所示.由于預(yù)測(cè)時(shí)刻不同,MC仿真的初值不同,系統(tǒng)未來(lái)退化軌跡的預(yù)期也就不同.圖2中故障易發(fā)區(qū)就是在第2節(jié)問(wèn)題描述中闡述的系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到控制約束上界或魯棒性較差的區(qū)域.如果采用固定的失效閾值φmin,則在tn時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)2的預(yù)測(cè)結(jié)果為RUL2.可以看到,系統(tǒng)2已經(jīng)處在一個(gè)加速退化的階段,有較大的概率在運(yùn)行到test2之前就已經(jīng)失效,因此這樣預(yù)測(cè)得到的剩余壽命結(jié)果是不符合實(shí)際的.而采用變失效閾值可以根據(jù)在線監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)調(diào)整系統(tǒng)未來(lái)退化軌跡的預(yù)期,得到更加接近真實(shí)的預(yù)測(cè)結(jié)果.

圖2 變失效閾值和固定失效閾值的對(duì)比Fig.2 Comparison of variable failure threshold and fixed failure threshold

2.2 隱含退化量和系統(tǒng)狀態(tài)的聯(lián)合估計(jì)

為了方便對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行濾波估計(jì),首先對(duì)控制系統(tǒng)(1)、控制律(3)和退化量(5)進(jìn)行歐拉離散化處理

從式(11)可以看出,隱含退化量φk原來(lái)是系統(tǒng)的一個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù),現(xiàn)在系統(tǒng)經(jīng)過(guò)擴(kuò)維φk成為系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)量,對(duì)隱含退化量的估計(jì)問(wèn)題變成狀態(tài)變量與參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題.

本文參照文獻(xiàn)[37]將系統(tǒng)原狀態(tài)量x與隱含性能變量φ擴(kuò)展成為擴(kuò)維狀態(tài)向量z.考慮到退化過(guò)程是一個(gè)非線性擴(kuò)散過(guò)程,且退化速率與系統(tǒng)狀態(tài)量之間有耦合,因此本文采用基于遞歸貝葉斯估計(jì)理論的粒子濾波(Particle filter,PF)算法解決擴(kuò)維狀態(tài)變量的聯(lián)合估計(jì)問(wèn)題.粒子濾波對(duì)系統(tǒng)模型的要求較為寬松,適用于強(qiáng)非線性非高斯系統(tǒng),不過(guò)粒子權(quán)值退化和多樣性匱乏問(wèn)題是難以完全消除的一對(duì)矛盾[38].粒子濾波算法有許多種改進(jìn)和變形,本文采用在著名的序貫重要性重采樣(Sequential importance resampling,SIR)算法[39]基礎(chǔ)上改進(jìn)的基于權(quán)值優(yōu)選的粒子濾波器[40]以克服粒子貧化的問(wèn)題.

基于權(quán)值優(yōu)選的粒子濾波算法[40]的基本思想是:從眾多備選粒子中選出權(quán)值較大的粒子用來(lái)參與將來(lái)時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的迭代運(yùn)算,這樣剩下的大量粒子在不影響濾波精度的情況下可以保持粒子的多樣性.算法流程如下:

1)初始化

對(duì)?i=1,···,Ns,從初始分布 (一般采用均勻分布作為初始分布)π(x0)中抽取Ns個(gè)粒子構(gòu)成初始粒子群;

2)狀態(tài)更新

3)權(quán)值更新

根據(jù)k時(shí)刻的觀測(cè)值yk更新對(duì)應(yīng)的Ns個(gè)粒子的權(quán)值

式(14)展示了粒子濾波又被稱(chēng)為序貫MC方法中序貫的含義.

4)粒子選優(yōu)

對(duì)這Ns個(gè)粒子按照權(quán)值的大小進(jìn)行排序,選出前面的Np個(gè)粒子;

5)權(quán)值歸一化

對(duì)選出的Np個(gè)粒子進(jìn)行權(quán)值歸一化處理:

6)k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)

7)權(quán)值恢復(fù)

先將選出來(lái)的Np個(gè)粒子的權(quán)值恢復(fù)到歸一化之前:,再對(duì)所有Ns個(gè)粒子進(jìn)行權(quán)值歸一化:

8)重采樣

9)求得狀態(tài)量的概率分布

實(shí)時(shí)更新?tīng)顟B(tài)量zk的后驗(yàn)概率分布:

返回步驟2)進(jìn)行循環(huán)迭代.

圖3 預(yù)測(cè)建模原理圖Fig.3 Illustration of the prediction modelling principle

圖4 慣性平臺(tái)穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)Fig.4 Stabilization loop controlled system in inertial platform

圖3展示了基于粒子濾波的擴(kuò)維狀態(tài)估計(jì)和系統(tǒng)剩余壽命在線預(yù)測(cè)的過(guò)程.圖3中剩余壽命PDF是在tn時(shí)刻N(yùn)p個(gè)優(yōu)選粒子的基礎(chǔ)上進(jìn)行Ntraj次MC仿真的結(jié)果,具體方法見(jiàn)第3.3節(jié).

2.3 剩余壽命分布的求解

由于預(yù)測(cè)時(shí)刻進(jìn)行MC仿真的計(jì)算量較大,假設(shè)系統(tǒng)仿真步長(zhǎng)和粒子濾波采樣間隔為?ts=0.001s,那么可以每隔?test=2000?ts=2s進(jìn)行剩余壽命在線預(yù)測(cè).

假設(shè)初始時(shí)刻為t=0s,在系統(tǒng)進(jìn)入失效區(qū)域Φ之前,預(yù)測(cè)時(shí)刻是間隔為?test的等間隔采樣點(diǎn)t1,t2,···,tn.tn時(shí)刻系統(tǒng)剩余壽命的計(jì)算步驟如下:

1)確定初始狀態(tài)及仿真次數(shù)

通過(guò)式(15)計(jì)算得到tn時(shí)刻優(yōu)選粒子的擴(kuò)維狀態(tài)估計(jì)值,假設(shè)所有優(yōu)選粒子總共產(chǎn)生Ntraj條MC仿真軌跡,粒子權(quán)重越大,每個(gè)粒子分配到的仿真次數(shù)Ni也越大;

2)利用自舉法產(chǎn)生仿真軌跡并分配初始狀態(tài)

Forj=1,···,Ntraj

a)生成隨機(jī)數(shù):uj～U(0,1);

b)初始化累計(jì)概率wj=0;

c)Fori=1,···,, 當(dāng)wj≥uj時(shí),,退出循環(huán);

3)MC仿真

以zj為狀態(tài)初值,對(duì)第j條軌跡按照式(11)和式(12)進(jìn)行仿真,當(dāng)φ<φmin時(shí),保存此時(shí)的采樣時(shí)刻,最終所有軌跡的仿真結(jié)果即為系統(tǒng)剩余壽命的數(shù)值PDF.

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真采用慣性平臺(tái)穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)[41]對(duì)本文提出的剩余壽命預(yù)測(cè)方法進(jìn)行驗(yàn)證.如圖4所示,該控制系統(tǒng)的傳感器由平臺(tái)上的敏感元件組成,如陀螺儀、加速度計(jì)等;控制器由框架角傳感器和位置補(bǔ)償控制器共同組成;執(zhí)行器直接作用于產(chǎn)生系統(tǒng)輸出的被控對(duì)象,此處執(zhí)行器為力矩電機(jī).

系統(tǒng)模型如下[41]:

式中,Lm為電機(jī)電樞電感;Rm為電樞繞組;im為電機(jī)電樞電流;Ke為電機(jī)反電勢(shì)系數(shù);ωp為框架角速度;Um為電機(jī)控制電壓;Jm和JL分別為電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Km為電機(jī)的力矩系數(shù);θ為框架角.

由于執(zhí)行器在工作過(guò)程中存在控制效能損失的現(xiàn)象,系統(tǒng)模型中的模型參數(shù)也會(huì)隨之變化,而力矩系數(shù)中包含了電機(jī)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征和性能水平,因此假設(shè)隱含退化量為力矩系數(shù)Km,則退化過(guò)程可以描述如下:

式中,μ(τ;im)是受電機(jī)的負(fù)載即電樞電流影響的退化漂移系數(shù),是一個(gè)變量.這種將執(zhí)行器的工作應(yīng)力與其所受負(fù)載聯(lián)系起來(lái)的假設(shè)是符合實(shí)際的,而負(fù)載越大退化速率越快也符合客觀規(guī)律.文獻(xiàn)[20]采用控制量平方來(lái)量化執(zhí)行器的工作應(yīng)力,鑒于此,假設(shè)退化漂移系數(shù)具有如下形式:

式中,λ為退化速率系數(shù),由式(19)可知,單位時(shí)間的退化量與電樞電流的平方成正比,代入式(18)可得:

數(shù)字式穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)建立在采樣數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,利用采樣數(shù)據(jù)可以方便地對(duì)隱含退化量進(jìn)行粒子濾波估計(jì).因此,對(duì)穩(wěn)定回路采用數(shù)字PID控制,且對(duì)控制系統(tǒng)仿真和粒子濾波選擇相同的采樣周期.為了描述和編程方便,令x1=ia,x2=ωp,x3=θ,x4=Km,u=Um,y=x3,J=Jm+JL,對(duì)系統(tǒng)(17)進(jìn)行離散化,則整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的完整描述如下:

其中,仿真步長(zhǎng)取?t= ?ts=0.001s;Q3既是狀態(tài)量x3的過(guò)程噪聲,也是輸出量y的觀測(cè)噪聲,因此式(21)中不再考慮額外的測(cè)量誤差.過(guò)程噪聲Q1、Q2、Q3以及擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)B均為獨(dú)立高斯隨機(jī)變量且均值為0,方差分別為q1、q2、q3:Q1～N(0,q1),Q2～N(0,q2),Q3～N(0,q3).

表1 慣性平臺(tái)穩(wěn)定回路模型Table 1 Stabilization loop model in inertial platform

在初始時(shí)刻,首先按照表1對(duì)各個(gè)參數(shù)以及狀態(tài)變量進(jìn)行初始化設(shè)置.在到達(dá)預(yù)測(cè)時(shí)刻之前的每一個(gè)采樣時(shí)刻,同時(shí)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真和粒子濾波,x1、x2、x3、x4既是系統(tǒng)仿真軌跡中的狀態(tài)變量,也是粒子濾波過(guò)程中的估計(jì)量,對(duì)其按照式(23)～(26)分別進(jìn)行迭代運(yùn)算,同時(shí)按照第2.2節(jié)步驟2)至步驟9)進(jìn)行粒子濾波.此時(shí),每個(gè)狀態(tài)量的粒子分布即是該狀態(tài)量概率分布的數(shù)值逼近結(jié)果.當(dāng)?shù)竭_(dá)預(yù)測(cè)時(shí)刻時(shí),按照第2.3節(jié)步驟1)～步驟3)對(duì)所有優(yōu)選粒子進(jìn)行MC仿真并得到每條仿真軌跡的剩余壽命,即為系統(tǒng)剩余壽命的數(shù)值PDF.

實(shí)驗(yàn)中粒子規(guī)模取為Ns=500,優(yōu)選粒子數(shù)取為Np=40,MC仿真次數(shù)取為Ntraj=1000,當(dāng)輸出殘差|e|≥0.28 rad時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)基于輸出殘差準(zhǔn)則失效.

3.2 結(jié)果分析

圖5(a)～(f)展示的是系統(tǒng)的真實(shí)失效過(guò)程以及粒子濾波采樣結(jié)果.從圖5中可以看出,在閉環(huán)反饋的作用下,系統(tǒng)在40s之前一直保持穩(wěn)定工作,系統(tǒng)輸出能夠有效跟蹤參考信號(hào),然而力矩系數(shù)已經(jīng)發(fā)生退化.此時(shí),通過(guò)對(duì)隱含退化量設(shè)置合理的閾值來(lái)預(yù)測(cè)失效時(shí)刻,相比基于輸出信號(hào)分析的壽命預(yù)測(cè)方法更加有效.從圖5(c)中可以明顯地看出電樞電流(即狀態(tài)x1)受到三種過(guò)程噪聲的共同影響,粒子濾波值對(duì)含噪聲的真實(shí)電流值跟蹤效果良好.

最后一步是在間隔?test的各個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)刻t1,t2,···,tn,分別對(duì)系統(tǒng)的剩余壽命分布進(jìn)行預(yù)測(cè).為進(jìn)一步比較不同時(shí)刻預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性,本文選取Tprog=t10=10s和Tprog=t30=30s兩個(gè)時(shí)刻的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.首先得到首達(dá)失效時(shí)刻tφ=44.2s和tφ=45.5s時(shí)退化量的分布,并由式(10)計(jì)算得到的失效閾值,分別為φmin=0.1614和φmin=0.1379.

圖6表示在不同時(shí)刻系統(tǒng)剩余壽命分布的預(yù)測(cè)結(jié)果.由圖6可見(jiàn),距離系統(tǒng)失效時(shí)刻越近,剩余壽命分布就越集中,預(yù)測(cè)均值相對(duì)于系統(tǒng)真實(shí)剩余壽命的差距也越小,意味著預(yù)測(cè)的不確定性降低,精度提高.同時(shí),基于變閾值失效準(zhǔn)則的系統(tǒng)剩余閾值壽命與基于輸出殘差失效準(zhǔn)則的真實(shí)剩余壽命也越接近,這是因?yàn)椴捎玫淖冮撝捣椒ǔ浞掷昧嗽诰€數(shù)據(jù),對(duì)失效閾值起到了在線調(diào)整以逼近真實(shí)失效過(guò)程的作用.

圖5 慣性平臺(tái)穩(wěn)定回路控制系統(tǒng)仿真Fig.5 Simulation of stabilization loop controlled system for inertial platform

圖6 系統(tǒng)的剩余壽命分布Fig.6 Remaining reliability life distribution of the system

圖7是系統(tǒng)在不同預(yù)測(cè)時(shí)刻、不同失效閾值下的可靠度直方圖,可見(jiàn)預(yù)測(cè)時(shí)刻越接近失效時(shí)刻,基于變閾值的可靠度曲線越陡峭,這說(shuō)明系統(tǒng)由于控制效能損失導(dǎo)致控制冗余度下降,在t=30s比在t=10s更易受到隨機(jī)干擾的影響而發(fā)生失效.由圖可知,越往后可靠度斜率越大、退化過(guò)程不確定性越小,退化速率越快,這也與非線性退化過(guò)程的特點(diǎn)吻合.

圖7 不同預(yù)測(cè)時(shí)刻的可靠度Fig.7 Reliability calculated at different predicting moments

為進(jìn)一步定量比較不同時(shí)刻剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的精度,引入剩余壽命的均方誤差:

式中,Te為系統(tǒng)基于輸出殘差失效準(zhǔn)則的真實(shí)剩余壽命,TKm為系統(tǒng)基于預(yù)測(cè)時(shí)刻tk失效閾值準(zhǔn)則的剩余閾值壽命;為第i條仿真軌跡所得的剩余壽命預(yù)測(cè)值.MSEe用來(lái)表示基于隱含退化量失效閾值準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果在描述系統(tǒng)真實(shí)健康水平時(shí)的準(zhǔn)確性,MSEKm用來(lái)表示在基于隱含退化量失效閾值準(zhǔn)則的前提下,預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)剩余閾值壽命的偏差,表征預(yù)測(cè)精度.為方便對(duì)比基于變閾值方法與基于固定閾值方法在控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)應(yīng)用中的區(qū)別,選擇0.12205作為固定失效閾值,將4個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)刻的計(jì)算結(jié)果列于表2和表3.表中,真實(shí)剩余壽命是指在輸出殘差準(zhǔn)則下系統(tǒng)的真實(shí)剩余壽命,剩余閾值壽命是指在失效閾值準(zhǔn)則下系統(tǒng)的剩余壽命,是對(duì)系統(tǒng)真實(shí)剩余壽命的近似.

表2 基于固定閾值不同時(shí)刻預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of prediction results based on fixed threshold at different times

表3 基于變閾值不同時(shí)刻預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of prediction results based on variable threshold at different times

從表2中可以看出,基于固定閾值方法在不同時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度依賴(lài)于所選固定閾值的大小和準(zhǔn)確性,其中表征預(yù)測(cè)精度的指標(biāo)MSEKm不具有隨著時(shí)間推移而減小的特性,說(shuō)明在固定閾值的框架下,基于隱含退化量失效閾值的預(yù)測(cè)方法不能通過(guò)在線積累數(shù)據(jù)而對(duì)未來(lái)退化軌跡進(jìn)行有效修正,或者說(shuō)當(dāng)失效閾值這個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)本身不準(zhǔn)確時(shí),預(yù)期退化軌跡精度提高的利好被不準(zhǔn)確的判斷標(biāo)準(zhǔn)抵消了.而在表3中,MSEKm和MSEe都會(huì)隨著時(shí)間的推移而逐漸減小,說(shuō)明變閾值方法通過(guò)不斷獲取在線數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)未來(lái)的退化軌跡預(yù)期做出調(diào)整,有利于提高預(yù)測(cè)精度,這是基于固定閾值方法所不具備的優(yōu)勢(shì).同時(shí),表3中MSEe的大小總體上也小于表2,證明本文所提方法能夠更加準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的健康水平.至此,本文提出的剩余壽命預(yù)測(cè)方法的有效性和優(yōu)越性得到了驗(yàn)證.

4 總結(jié)與展望

本文針對(duì)考慮執(zhí)行器性能退化的閉環(huán)控制系統(tǒng),提出一種基于解析模型的控制系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)方法.首先,采用權(quán)值優(yōu)選粒子濾波算法,利用在線輸入輸出數(shù)據(jù)估計(jì)出執(zhí)行器的隱含退化量;然后,利用MC仿真設(shè)置合理的失效閾值,建立基于變失效閾值的系統(tǒng)失效判斷準(zhǔn)則;最后,將隱含退化量的估計(jì)值代入退化模型中外推出剩余壽命分布.仿真實(shí)驗(yàn)表明,本文提出的方法能夠解決閉環(huán)控制系統(tǒng)的可靠性評(píng)估問(wèn)題,為系統(tǒng)失效前的健康管理活動(dòng)提供可信依據(jù),提高了系統(tǒng)的安全性和可靠性.相比于傳統(tǒng)的單部件系統(tǒng)預(yù)測(cè)方法,本文方法考慮了控制作用的影響,具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值.

下一步可能的研究方向包括:1)實(shí)際工程中的控制系統(tǒng)往往是由多執(zhí)行器、多傳感器、多控制器共同組成的,這些部件都有可能發(fā)生性能退化而導(dǎo)致系統(tǒng)失效,可以針對(duì)多部件隱含退化過(guò)程展開(kāi)研究;2)可以根據(jù)剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的維修、管理,或是改進(jìn)控制器的設(shè)計(jì)以延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命,使該方法進(jìn)一步應(yīng)用到實(shí)際工程中.