考慮參數(shù)不確定性的臺(tái)階式邊坡滑面強(qiáng)度參數(shù)反演分析

谷淡平，凌同華，黃阜

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考慮參數(shù)不確定性的臺(tái)階式邊坡滑面強(qiáng)度參數(shù)反演分析

谷淡平1, 2, 3，凌同華1, 3，黃阜1, 3

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114；2. 湖南工學(xué)院 建筑工程與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院，湖南 衡陽421002；3. 交通基礎(chǔ)設(shè)施安全風(fēng)險(xiǎn)管理行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長(zhǎng)沙理工大學(xué))，湖南 長(zhǎng)沙 410114)

基于極限分析方法和概率分析理論，提出考慮參數(shù)不確定性的臺(tái)階式邊坡滑面強(qiáng)度參數(shù)反演分析方法。首先，結(jié)合極限分析上限定理和強(qiáng)度折減法，推導(dǎo)得到臺(tái)階式邊坡安全系數(shù)的隱式求解公式。為有效提高計(jì)算效率，利用隨機(jī)響應(yīng)面法獲得安全系數(shù)顯式表達(dá)函數(shù)，并令安全系數(shù)等于1的條件下，得到強(qiáng)度參數(shù)和的反演關(guān)系式。在已知某一參數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過參數(shù)的反演關(guān)系，獲得待定參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征以及置信區(qū)間。結(jié)合工程實(shí)例，并與已有文獻(xiàn)的結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性。

參數(shù)反演；參數(shù)不確定性；極限分析上限法；隨機(jī)響應(yīng)面法；臺(tái)階式邊坡

在邊坡穩(wěn)定性分析中，通常需要根據(jù)土工試驗(yàn)確定巖土體的強(qiáng)度參數(shù)，并采用確定性的分析方法計(jì)算邊坡的安全系數(shù)[1]。在邊坡穩(wěn)定性分析研究中，Mohr-Coulomb準(zhǔn)則被廣泛采用，其強(qiáng)度參數(shù)包括黏聚力與內(nèi)摩擦角。實(shí)際工程中通常采用試驗(yàn)方法確定和。而對(duì)于一些自然條件下的巖土體，強(qiáng)度分布并不均勻，不同取樣地點(diǎn)也會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果存在差異，強(qiáng)度參數(shù)不確定性較大，對(duì)穩(wěn)定性分析計(jì)算結(jié)果將會(huì)造成比較明顯的影響[2]。為了解決巖土體的這種特性，強(qiáng)度參數(shù)反演分析作為對(duì)實(shí)際滑面進(jìn)行強(qiáng)度參數(shù)估算的有效方法，在實(shí)際工程中得到廣泛的應(yīng)用。反演分析通常根據(jù)滑動(dòng)面的形狀位置、孔隙水壓和安全系數(shù)等已知條件，并基于合理假設(shè)，反算出滑面的綜合抗剪強(qiáng)度參數(shù)[3?5]。參數(shù)反演分析能綜合考慮導(dǎo)致滑坡發(fā)生的外部因素，而這些外部因素在土工試驗(yàn)中是難以考慮到的。因此參數(shù)反演分析得到的巖土體強(qiáng)度參數(shù)可以作為已知滑面特征邊坡的綜合抗剪強(qiáng)度參數(shù)。近年來，許多學(xué)者基于極限平衡方法發(fā)展了對(duì)滑坡抗剪強(qiáng)度參數(shù)的反演分析法[6?7]。但是傳統(tǒng)的極限平衡方法在應(yīng)用于反演分析時(shí)未考慮力矩平衡條件，導(dǎo)致其在理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn)。區(qū)別于極限平衡法，極限分析上限法將邊坡滑移體簡(jiǎn)化為理想剛塑性體，根據(jù)相關(guān)流動(dòng)法則確定破壞機(jī)構(gòu)，并根據(jù)內(nèi)能耗損率等于外功率的虛功原理建立虛功率方程從而得到極限分析上限解，因此具有更為嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)[8]。利用極限分析上限法求解安全系數(shù)時(shí)，涉及到非線性隱函數(shù)計(jì)算問題，計(jì)算效率較低。為了解決這一問題，本文采用隨機(jī)響應(yīng)面法來獲得安全系數(shù)與輸入?yún)?shù)的近似關(guān)系。隨機(jī)響應(yīng)面法采用Hermite 多項(xiàng)式建立近似的顯式功能函數(shù)，能夠有效地模擬復(fù)雜且非線性的隱式功能函數(shù)。李典慶等[9]證明了該方法模擬非線性隱函數(shù)問題時(shí)的高精度性。此外，環(huán)境的不確定性、離散性以及復(fù)雜性始終存在于邊坡工程中，由此導(dǎo)致在邊坡穩(wěn)定分析中土體強(qiáng)度參數(shù)的取值同樣具有很強(qiáng)的不確定性。許多學(xué)者在邊坡穩(wěn)定性分析中考慮了這種不確定性，以獲得更能反映實(shí)際情況的穩(wěn)定性結(jié)果[10?11]。然而，在分析復(fù)雜邊坡問題時(shí)，尤其是涉及到上述非線性隱函數(shù)計(jì)算問題時(shí)，這些方法應(yīng)用起來較為困難。針對(duì)傳統(tǒng)分析方法的不足，本文基于極限分析方法推導(dǎo)臺(tái)階式邊坡安全系數(shù)計(jì)算方程，通過響應(yīng)面法獲得顯式的近似表達(dá)式，并得到強(qiáng)度參數(shù)之間的反演關(guān)系?？紤]輸入?yún)?shù)的隨機(jī)性，得到待反演參數(shù)的置信區(qū)間，使得分析結(jié)果能更好地反映實(shí)際情況并留有一定安全儲(chǔ)備，對(duì)實(shí)際邊坡工程具有指導(dǎo)意義。最后結(jié)合工程實(shí)例證明本文方法的有效性。

1 臺(tái)階式邊坡穩(wěn)定性分析

1.1 邊坡的極限分析上限解

根據(jù)相關(guān)流動(dòng)準(zhǔn)則，邊坡的滑動(dòng)面形狀應(yīng)為對(duì)數(shù)螺旋線[8]，所以本文采用的臺(tái)階式邊坡破壞機(jī)構(gòu)如圖1所示。設(shè)為0，其與水平線夾角為0，則滑面可由以下公式表示：

破壞模式中，塊體以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心沿著對(duì)數(shù)螺旋滑動(dòng)面發(fā)生滑動(dòng)破壞。邊坡的總高度為；一、二級(jí)臺(tái)階的坡角和高度分別為：1和1，2和(1?1)；臺(tái)階寬度為2，由幾何關(guān)系可得：

只考慮重力作用，在此破壞模式中，外力功率由塊體的重力功率表示，由疊加法可以得：

其中，是土體的重度；是旋轉(zhuǎn)體的角速度；1，2，3，4和5分別為：

破壞模式中，內(nèi)能耗散功率即為滑動(dòng)面上的內(nèi)能耗散功率，計(jì)算可得：

臨界高度c可以通過將外力功率等同于內(nèi)能耗散功率計(jì)算得到，即令式(4)等于式(10)，則可 得到：

其中，(0,θ,)表示如下：

對(duì)于圖1所示的破壞機(jī)構(gòu)，幾何約束條件應(yīng)滿足式(13)，根據(jù)約束條件用MATLAB編制優(yōu)化程序，使得式(11)中c達(dá)到最小值，此時(shí)相應(yīng)的0和θ確定的滑面即為臨界滑面。

1.2 求解安全系數(shù)

針對(duì)已知高度的邊坡，可以引入安全系數(shù)來評(píng)估邊坡的穩(wěn)定性。安全系數(shù)一般基于強(qiáng)度折減法得到[8]，折減后的巖土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)為：

將式(14)中折減后的強(qiáng)度參數(shù)代入到式(11)的右式中，并令臨界高度H等于邊坡已知高度，則得到安全系數(shù)s的表達(dá)式：

因式(15)中等式右邊同樣含有s，故式(15)是隱式方程。為了計(jì)算安全系數(shù)的最小值，可以根據(jù)約束條件式(13)進(jìn)行迭代計(jì)算，即可得到s的上 限解。

2 隨機(jī)響應(yīng)面法

在進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)面法分析時(shí)，首先根據(jù)等概率原則，建立輸入隨機(jī)變量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量之間的函數(shù)關(guān)系，即：

式中：?1(·)表示的累計(jì)概率分布函數(shù)的反函數(shù)；(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)概率分布函數(shù)。若輸入隨機(jī)變量屬于正態(tài)分布，那么它和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量之間有以下的映射關(guān)系：

式中：μ和σ分別為的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。將輸入隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量后，則可以把輸出響應(yīng)也表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的函數(shù)?；贖ermite隨機(jī)多項(xiàng)式展開，輸出響應(yīng)通常表示如下：

為了求解上述待定系數(shù)，首先需要確定試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Design of Experiments)。當(dāng)抽樣數(shù)量較低時(shí)，傳統(tǒng)抽樣方法容易出現(xiàn)概率較低的樣本，故本文采用一種效率較高的拉丁超立方抽樣方法。通過該方法可以得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量向量對(duì)應(yīng)的隨機(jī)向量，隨機(jī)向量包含所有的隨機(jī)變量取值：

3 反演分析方法

3.1 參數(shù)確定性反演方法

在確定性參數(shù)反演分析中，通常假設(shè)滑坡發(fā)生的瞬間，邊坡處于極限平衡狀態(tài)，邊坡安全系數(shù)為1。所以，所求的和的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)為s=1時(shí)的關(guān)系。然后，對(duì)和關(guān)于安全系數(shù)的敏感度進(jìn)行分析。當(dāng)參數(shù)和離散性均較為明顯的情況，對(duì)于敏感度較低的參數(shù)，可以通過試驗(yàn)來確定其數(shù)值，然后，通過參數(shù)反演，獲得敏感度較高的參數(shù)值。值得注意的是，巖石的內(nèi)摩擦角通常離散性較小，可采用優(yōu)定斜率法優(yōu)先確定。

圖2 φ不同時(shí)Fs?c關(guān)系曲線圖

為了說明這一方法，圖2給出了一個(gè)邊坡算例的F和的關(guān)系曲線圖。該邊坡重度為=20 kN/m3，一、二級(jí)臺(tái)階的坡角分別為1=30°，2=30°，邊坡總高度為15 m，1和2分別為0.4和0.2。在圖2中，若作直線s=1則可以得到其與各個(gè)曲線的交點(diǎn)，這些交點(diǎn)代表著邊坡處于極限平衡狀態(tài)時(shí)相應(yīng)的和的組合，如表1所示。因此根據(jù)此方法則可以得到圖3所示的不同坡腳組合下邊坡處于極限平衡狀態(tài)時(shí)和的關(guān)系曲線圖。借助于圖3，當(dāng)通過試驗(yàn)確定敏感度較低的參數(shù)的試驗(yàn)值后，則可以反演確定另一個(gè)參數(shù)的參考值。

(a) β2=30°時(shí)的c?φ關(guān)系曲線圖；(b) β1=30°時(shí)的c?φ關(guān)系曲線圖

表1 Fs=1時(shí)c和φ的組合

3.2 參數(shù)不確定性反演方法

在上述確定性反演分析方法中，可以發(fā)現(xiàn)由式(15)確定的s的計(jì)算公式是一個(gè)復(fù)雜的非線性隱函數(shù)，因此給確定性反演分析帶來計(jì)算效率上的困難。本文采用隨機(jī)響應(yīng)面法，對(duì)給定的邊坡模型，模擬其s和輸入變量和的近似關(guān)系，然后令s=1即可得到和的關(guān)系。針對(duì)上述邊坡算例，隨機(jī)響應(yīng)面模擬過程具體如下：

1) 將和視為輸入隨機(jī)變量，并根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果確定其均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)和分布類型等統(tǒng)計(jì)特征，本例中假設(shè)統(tǒng)計(jì)特征如表2所示，并確定和與相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的映射關(guān)系，如式(17)所示；

2) 采用拉丁超立方抽樣方法，先抽取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的樣本集，再采用等概率變換方法將其轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的輸入隨機(jī)變量的樣本集，得到的輸入隨機(jī)變量的樣本如表3所示；

表2 強(qiáng)度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征

上述確定性反演分析中，假設(shè)邊坡由試驗(yàn)得到的的均值為15°，變異系數(shù)為0.1，分布類型為正態(tài)分布。對(duì)進(jìn)行隨機(jī)超立方抽樣組成樣本，本文中抽樣次數(shù)取為300次，將樣本代入式(22)中則可得到對(duì)應(yīng)的黏聚力的反演值樣本?；诘玫降牡臉颖?，繪制頻率分布直方圖，并擬合得到其概率密度函數(shù)曲線，如圖4所示。不確定反演分析中，所得的樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為18.95 kPa和1.81 kPa；確定性反演分析中，為15°時(shí)，的反演結(jié)果為18.8 kPa?？梢姴淮_定性反演結(jié)果與確定性反演結(jié)果吻合。為了體現(xiàn)參數(shù)反演結(jié)果的不確定性和提高結(jié)果的可信度，本文采用置信區(qū)間來估計(jì)s=1時(shí)的均值。若置信水平取為95%，則可以得到置信區(qū)間為(18.75 kPa，19.15 kPa)。出于安全儲(chǔ)備的考慮，可將置信區(qū)間上限19.15 kPa作為的參考值。所以與確定性反演分析得到的結(jié)果18.8 kPa相比，不確定性反演結(jié)果更偏于安全。

表3 算例的抽樣樣本

圖4 c的頻率分布及概率密度曲線圖

4 工程算例

狼貓山水庫位于山東省濟(jì)南市，于1991?08?29發(fā)生大滑坡[12]。經(jīng)鉆探勘測(cè)發(fā)現(xiàn)，滑坡體是一完整的弧形滑體，深度約7 m。其中，具有代表性的0+140弧形滑坡斷面見圖5。如圖5所示，一、二級(jí)臺(tái)階的坡角分別為1≈29.1°，2≈21.8°，滑坡體總高度為20.4 m，1和2分別為0.618和0.368?；潞筱@探取樣，經(jīng)土體現(xiàn)場(chǎng)和室內(nèi)試驗(yàn)，測(cè)得土體的物理力學(xué)性質(zhì)如表4所示[13]。由于缺少黏聚力和內(nèi)摩擦角的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，本文采用蔣建平等根據(jù)試驗(yàn)得出的粉質(zhì)黏土關(guān)于黏聚力和內(nèi)摩擦角的變異系數(shù)[14]，分別為0.31和0.32，從而得到標(biāo)準(zhǔn)差分別為3.1 kPa和4°。

單位：m

首先基于極限分析方法導(dǎo)出的安全系數(shù)求解公式，然后采用隨機(jī)響應(yīng)面法，模擬s和輸入變量和的近似關(guān)系，并令s=1得到和的反演關(guān)系，最后考慮強(qiáng)度參數(shù)的不確定性，對(duì)該邊坡進(jìn)行強(qiáng)度參數(shù)反演分析。根據(jù)表5所示的抽樣樣本，隨機(jī)響應(yīng)面法模擬結(jié)果如下：

通過敏感性分析，可知2個(gè)強(qiáng)度參數(shù)中的敏感度較低，所以反演分析中可根據(jù)的試驗(yàn)值確定的參考值。狼貓山水庫土壩強(qiáng)度參數(shù)由試驗(yàn)得到的統(tǒng)計(jì)特征如表4所示。根據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征抽取樣本數(shù)量為300的樣本，然后由式(23)得到的樣本，其頻率直方圖如圖6所示。所得的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為11.6°和3.4°，置信水平為95%的置信區(qū)間為(11.22°，11.98°)，取區(qū)間上限11.98°為的參考值，與尹起亮等得出的反演值11.8°吻合[13]，證明了本文方法的有效性。為了進(jìn)一步說明本文方法的有效性，本文利用Geoslope軟件來分析反演強(qiáng)度參數(shù)11.98°和=10 kPa對(duì)狼貓山水庫土壩的影響，得到安全系數(shù)為s=1.006，并得到相應(yīng)的滑面，如圖7(a)所示。由圖6(b)可以看出，理論滑面與實(shí)際滑面大致吻合，驗(yàn)證了本文反演分析方法的正確性和有效性。

表4 土體物理力學(xué)參數(shù)[13]

表5 抽樣樣本

圖6 φ的頻率分布及概率密度曲線圖

單位：m

5 結(jié)論

1) 建立臺(tái)階式邊坡旋轉(zhuǎn)破壞模型，基于極限分析方法導(dǎo)出安全系數(shù)s求解公式。

2) 采用隨機(jī)響應(yīng)面法，模擬s和輸入變量黏聚力和內(nèi)摩擦角的近似關(guān)系，并令s=1得到和的反演關(guān)系。

3) 考慮強(qiáng)度參數(shù)的不確定性，對(duì)關(guān)于安全系數(shù)敏感度較低的強(qiáng)度參數(shù)可以通過試驗(yàn)確定其統(tǒng)計(jì)特征，再根據(jù)和的反演關(guān)系得到另一個(gè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，并引入置信區(qū)間，取置信區(qū)間上限為強(qiáng)度參數(shù)反演參考值。

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(編輯 涂鵬)

Back analysis of strength parameters for the slip surface of stepped slope considering parametric uncertainties

GU Danping1, 2, 3, LING Tonghua1, 3, HUANG Fu1, 3

(1. School of Civil Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China;2. College of Construction Engineering and Arts, Hunan Institute of Technology, Hengyang 421002, China;3. Industry Key Laboratory of Traffic Infrastructure Security Risk Management (CSUST), Changsha 410114, China)

Based on the limit analysis method and probability analysis theory, this paper proposes a method for back analysis of the strength parameters for the slip surface of the stepped slope considering the parameter uncertainty. Firstly, combined with the limit analysis upper bound theorem and the strength reduction method, the implicit solution formula of the stepped slope safety factor was derived. In order to effectively improve the computational efficiency, the random response surface method was used to obtain the explicit function of the safety factor, and the inversion relation of the intensity parametersandwas obtained under the condition that the safety factor is equal to 1. Further, on the basis of the known statistical rule of a certain parameter, the statistical characteristics of the undetermined parameter and the confidence interval were obtained through the inverse relationship of the parameters. Combined with engineering examples and compared with the results of existing literature, the effectiveness of the proposed method was verified.

parameter back analysis; parameter uncertainty; limit analysis upper bound method; stochastic response surface; stepped slope

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.05.010

TU452

A

1672 ? 7029(2019)05 ? 1186 ? 08

2018?07?20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51678071，51878074)；長(zhǎng)沙理工大學(xué)交通基礎(chǔ)設(shè)施安全風(fēng)險(xiǎn)管理行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(16BCX09)；長(zhǎng)沙理工大學(xué)研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CX2017BX03)；湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(18C0923)；湖南省大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性試驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目(H1619)

凌同華(1968?)，男，湖南雙峰人，教授，博士，從事巖土工程方面的教學(xué)與研究；E?mail：lingtonghua@163.com