兩類兩招破系數(shù)

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

在二項(xiàng)式定理的考查中以二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題為重點(diǎn)，根據(jù)所求系數(shù)可歸為兩類：單一型系數(shù)與多個(gè)型系數(shù).單一型系數(shù)涉及含某項(xiàng)的系數(shù)、系數(shù)最大項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)等類型；多個(gè)型系數(shù)涉及每項(xiàng)系數(shù)、奇(偶)項(xiàng)系數(shù)、變式系數(shù)的運(yùn)算等類型.一般而言，單一型系數(shù)用公式法可破解；多個(gè)型系數(shù)用賦值法可破解.

一、單一型系數(shù)問題

(1)含x3/2項(xiàng)的系數(shù)；

(2)最大的二項(xiàng)式系數(shù)為第幾項(xiàng)；

(3)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

反思：①區(qū)別：項(xiàng)、第幾項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等易混淆的概念，防止出錯；②掌握系數(shù)最大與二項(xiàng)式系數(shù)最大的求解方法，尤其是系數(shù)有正負(fù)時(shí)可用絕對值優(yōu)先處理；③掌握指數(shù)冪運(yùn)算是二項(xiàng)展開式計(jì)算準(zhǔn)確的關(guān)鍵.

例2已知x10+x2=a0+a1(x-1)+…+a10(x-1)10，求a8的值.

解將原式中的x→x+1，整理得：(x+1)10+(x+1)2=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.

反思通過換元，巧妙地將問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的二項(xiàng)式問題，換元可將問題進(jìn)行歸一，學(xué)會變通才能減少題海.

二、多個(gè)型系數(shù)問題

賦值法：根據(jù)所求系數(shù)的特征，合理進(jìn)行賦值實(shí)現(xiàn)問題的解答.

例3已知(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，求:

(1)a1+a2+…+a8的值；

(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|的值；

(3)a0+a2+a4+a6+a8的值.

解(1)根據(jù)條件，令x=1，得(1-2)8=a0+a1+a2+…+a8；令x=0，得a0=1.故a1+a2+…+a8=0.

(2)根據(jù)題意可知：a1,a3,…為負(fù)值，a0,a2,…為正值，可令x=-1，得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+…+a8=38.

反思通過所求系數(shù)的特征，常用x=±1,0等特殊值進(jìn)行賦值，避免運(yùn)用通項(xiàng)逐一求解的繁瑣，實(shí)現(xiàn)問題的簡捷化處理.

例4已知(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+…+a10(x+1)10，求:

(2)a1+2a2+…+10a10的值；

(3)a0-a2+a4-a6+a8-a10的值.

解(1)令x=-1得：a0=1；

(2)結(jié)合系數(shù)，將原式兩邊分別求導(dǎo)得：

5(x2+2x+2)4(2x+2)=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+10a10(x+1)9.

令x=0得：a1+2a2+…+10a10=160.

(3)根據(jù)條件，令x=-1+i(i為虛數(shù)單位)得：

0=a0+a1i+a2i2+a3i3+…+a10i10=a0-a2+a4-a6+a8-a10+(a1-a3+a5-a7+a9)i.結(jié)合復(fù)數(shù)相等，可得：a0-a2+a4-a6+a8-a10=0.

反思通過對系數(shù)的特征分析找出適當(dāng)?shù)奶幚矸椒?如求導(dǎo)、復(fù)數(shù))，探秘有效的賦值，為求解系數(shù)尋找一條完美捷徑，讓問題柳暗花明又一村.

二項(xiàng)展開式有關(guān)的系數(shù)問題，要抓住通項(xiàng)公式為重點(diǎn)與通法，巧妙運(yùn)用賦值，可簡捷有效地解決某些系數(shù)問題.