解讀函數(shù)“極值點(diǎn)”問題

梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上“極值點(diǎn)”問題是近年來高考的常見題型，思路靈活、多樣.學(xué)生理解、切入比較困難.總體而言題型大致分為四類：①至少有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)且僅當(dāng)；③有且只有；④無極值點(diǎn)，只要區(qū)分清楚題目類型，配以相應(yīng)的解決方案，問題就可以化難為簡，迎刃而解.下面各舉一例，從不同角度分析思路，希望給讀者帶來啟發(fā).

一、“至少有一個(gè)極值點(diǎn)”型

例1已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析從不同角度等價(jià)解析：函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)極值點(diǎn)?函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)?導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).主要從導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)突破.

思路一f′(x)=3x2-6ax+3,Δ=36(a2-1).

當(dāng)Δ=36(a2-1)≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點(diǎn).問題轉(zhuǎn)化為在Δ=36(a2-1)>0，即a<-1或a>1情形下，f′(x)=0在(2,3)有解，

二、“當(dāng)且僅當(dāng)”型

例2已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=±1是極值點(diǎn)，且極大值比極小值大4，(1)求a,b的取值；(2)求函數(shù)的極值.

解析當(dāng)且僅當(dāng)x=±1是極值點(diǎn)，說明函數(shù)只存在兩個(gè)極值點(diǎn)，再無其他極值點(diǎn)，即便還有，必為“假”極值點(diǎn).

因?yàn)閒′(x)=5x4+3ax2+b，f′(±1)=0，解得b=-3a-5，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1是極值點(diǎn)，所以f′(x)=(x+1)(x-1)(5x2+5+3a).令y=5x2+5+3a，則此函數(shù)必?zé)o極值點(diǎn)，或者為“假”極值點(diǎn).所以Δ=-20(5+3a)≤0，即a≥-5/3，其余略解.

三、“有且只有”型

解析函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)中有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，即f′(x)在區(qū)間(-1,1)中有且只有一個(gè)根，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理直接求解.

四、“無極值點(diǎn)”型

例4已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)在區(qū)間[-1,1]上無極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析從不同角度等價(jià)解析：函數(shù)在區(qū)間[-1,1]無極值點(diǎn)?函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)?f′(x)≥0或f′(x)≤0在區(qū)間上恒成立?導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上無解(即便有解，必為“假”極值點(diǎn))?區(qū)間[-1,1]是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間.因?yàn)閒′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a)，依題f′(x)=0在區(qū)間[-1,1]上無解，又f′(0)=-a2，所以f′(-1)<0且f′(1)<0，解得a>3.