粘結(jié)單元在模擬FRP層合板低速沖擊響應(yīng)中的應(yīng)用*

蔣 振，文鶴鳴

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230026）

纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料（fibre reinforced plastic composites，F(xiàn)RP）具有比強(qiáng)度和比模量高、可設(shè)計(jì)性強(qiáng)、耐疲勞性好等特點(diǎn)，在諸多工程中得到了越來越廣泛的應(yīng)用[1]。但由于FRP本身對低速沖擊比較敏感，使得FRP層合板在受到外物撞擊后很容易出現(xiàn)內(nèi)部損傷。

目前對FRP層合板的數(shù)值模擬研究，重點(diǎn)在于對其本構(gòu)關(guān)系的研究。在宏觀尺度上，主要有2種本構(gòu)模型：（1）脆性失效模型（brittle failure model，BFK）[2-6]，即在未滿足失效準(zhǔn)則時(shí)材料的響應(yīng)是線彈性的，一旦滿足失效準(zhǔn)則，材料即刻完全失效，表現(xiàn)為其應(yīng)力、強(qiáng)度和模量立刻變?yōu)榱?；?）連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)模型（continuum damage model，CDM）[7-11]，即一旦滿足損傷準(zhǔn)則，材料并非立刻喪失承載能力，材料發(fā)生損傷，但隨著損傷的發(fā)展，材料的剛度慢慢減小直到完全失去承載能力。Xin等[12]提出了一個基于連續(xù)損傷介質(zhì)力學(xué)的三維模型，該模型借鑒了Hou等[2]提出的失效準(zhǔn)則并通過引入斷裂能的概念和利用應(yīng)力-位移關(guān)系來描述材料的本構(gòu)方程，從而在一定程度上減少了由于應(yīng)變集中而造成的網(wǎng)格依賴性。模型考慮了多種破壞形式，如面內(nèi)纖維的拉伸斷裂、壓縮破壞、基體開裂、層間剪切，厚度方向上的壓潰失效以及分層。在失效準(zhǔn)則中，還考慮了沿著厚度方向的剪應(yīng)力和正應(yīng)力對不同失效模式的影響，并認(rèn)為層間分層破壞不僅發(fā)生在層間正應(yīng)力為拉應(yīng)力的情況下，而且當(dāng)層間正應(yīng)力為壓應(yīng)力但剪切應(yīng)力足夠大的情況下也有可能發(fā)生。一旦滿足失效準(zhǔn)則，便認(rèn)為材料發(fā)生損傷。除此之外，該模型還通過引入動態(tài)增強(qiáng)因子在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮了FRP的應(yīng)變率效應(yīng)。

分層是FRP層合板在沖擊荷載作用下主要的損傷模式之一，預(yù)測FRP層合板的分層也是目前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。Olsson[13]提出了一個分析模型來預(yù)測復(fù)合材料在受到低速沖擊時(shí)的分層損傷的產(chǎn)生和發(fā)展。Espinosa等[14]提出了一個針對GFRP(glass fiber reinforced plastic)層合板三維各向異性的黏彈性模型，并結(jié)合黏性接觸理論，分析了GFRP在動態(tài)載荷下的分層情況。Aymerich等[15]用黏性面單元來研究復(fù)合材料的分層并取得了很好的結(jié)果。Johnson等[16]利用二維損傷模型和界面層單元研究了編織GFRP的動態(tài)響應(yīng)。Singh等[17]提出了一種三維的彈塑性本構(gòu)模型并結(jié)合基于界面間的黏性區(qū)域的相互作用來模擬CFRP(carbon fiber reinforced plastic)層合板在低速沖擊下的分層行為，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合得較好。

本文中建立有限元模型來預(yù)測FRP層合板在低速沖擊下的響應(yīng)和破壞。模型不再將整個層合板當(dāng)成連續(xù)均勻的各向異性材料，而是認(rèn)為層合板是由單層板通過黏結(jié)層粘結(jié)而成。單層板的本構(gòu)模型采用新近提出的漸進(jìn)損傷本構(gòu)關(guān)系[12]，粘結(jié)層的本構(gòu)模型采用了改進(jìn)的黏性區(qū)域理論。最后，將有限元模型預(yù)測的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果進(jìn)行比較和討論。

1 本構(gòu)模型

1.1 單層板連續(xù)介質(zhì)損傷模型

Xin等[12]提出了一個FRP層合板沖擊載荷作用下的連續(xù)介質(zhì)損傷模型，將單層板當(dāng)成連續(xù)均勻的各向異性材料，并不具體區(qū)分基體和纖維。該模型包含3個部分即：失效準(zhǔn)則、損傷演化、應(yīng)變率效應(yīng)。

當(dāng)以上任何一種失效模式滿足時(shí)，便認(rèn)為材料受到不可逆的損傷，直到材料完全失效。為了表征材料的損傷和失效，通過損傷變量來描述材料的剛度折減因子。需要注意的是，單層板的連續(xù)損傷模型用基于應(yīng)力-位移關(guān)系的斷裂能方法來計(jì)算損傷變量。通過引入動態(tài)增強(qiáng)因子概念，考慮了材料模量和強(qiáng)度的應(yīng)變率效應(yīng)。具體的單層板的連續(xù)介質(zhì)損傷模型的詳細(xì)介紹可以參考文獻(xiàn)[12]。

1.2 粘結(jié)層損傷模型

黏性區(qū)域方法（cohesive zone method, CZM）[18-19]把基于應(yīng)力的初始損傷判斷準(zhǔn)則和基于斷裂力學(xué)的損傷演化規(guī)律結(jié)合起來。然而，黏性區(qū)域方法和其后相關(guān)文獻(xiàn)[14, 17]都沒有考慮應(yīng)變率效應(yīng)。在下面的章節(jié)中，較為詳細(xì)地介紹一種考慮應(yīng)變率效應(yīng)的修正的黏性區(qū)域方法（modified cohesive zone method)。

黏性區(qū)域方法借鑒斷裂力學(xué)的概念，認(rèn)為分層的破壞有3種基本形式，即：張開型分層（Mode Ⅰ，open mode）、剪切型分層（Mode Ⅱ，shear mode）、撕裂型分層（Mode Ⅲ，tearing mode）。由于在實(shí)驗(yàn)中環(huán)氧樹脂撕裂斷裂韌度很難測量，因此在本文中將剪切型分層和撕裂型分層當(dāng)成相同形式，將都等效為剪切型分層，推導(dǎo)出相關(guān)的理論解。

1.2.1 牽引力位移準(zhǔn)則

如圖1所示，牽引力-位移(traction-separation)準(zhǔn)則包括3個部分，即：初始線性響應(yīng)階段、分層開始發(fā)生階段、分層擴(kuò)展階段。

圖1 牽引力-位移準(zhǔn)則示意圖Fig.1 Schematic diagram of traction-separation law

在線性階段，在不考慮耦合的情況下，可以把應(yīng)力-牽引準(zhǔn)則寫成如下的形式：

式中，tn、ts、tt分別代表牽引t在沿著法向和2個切向的分量即tn、ts、tt分別為法向和2個切向的應(yīng)力，δn、δs、δt是指在相應(yīng)方向上分離的距離，Kn、Ks、Kt則分別是在相應(yīng)方向上的剛度值。

隨著載荷的進(jìn)一步加載，一旦應(yīng)力場滿足以下二次應(yīng)力損傷準(zhǔn)則，則認(rèn)為初始的分層開始發(fā)生。二次應(yīng)力損傷準(zhǔn)則可以寫成：

式中分別為法向和2個切向的極限應(yīng)力。將Mode Ⅱ和Mode Ⅲ當(dāng)成都是剪切分層，則式（2）可以重新寫為：

式中其中＜ ＞ 是Macaulay括號，定義為：

等效位移δm可以寫成如下表達(dá)式：

式中當(dāng)開裂位移大于0時(shí)，可以定義參數(shù)β

將式（6）代入方程（5）中，得到：

進(jìn)一步假設(shè)3種模式的剛度相同，即K=Kn=Ks=Kt，將ti=Kiδi代 入式（3）中，通過相關(guān)推導(dǎo)，并考慮時(shí)的情況，可以得出在發(fā)生初始分層時(shí)對應(yīng)的等效位移：

式中是對應(yīng)牽引力極限值時(shí)的位移，其可以寫成

從式(8)可以清楚地看出，當(dāng)β=0時(shí)是單純的拉伸，即Mode Ⅰ模式；而當(dāng)β→∞時(shí)便是單純的剪切模式。

當(dāng)?shù)刃灰痞膍達(dá)到損傷發(fā)生的臨界位移時(shí)，便認(rèn)為損傷開始發(fā)生了。此時(shí)，隨著載荷的增加，便開始進(jìn)入損傷演化階段。B-K準(zhǔn)則[20]是應(yīng)變率釋放率的函數(shù)，認(rèn)為B-K準(zhǔn)則一旦滿足，便發(fā)生了完全的損傷，分層便發(fā)生。B-K準(zhǔn)則表達(dá)式如下：

式中：GI、GII、GIII分別是Mode Ⅰ、Mode Ⅱ和Mode Ⅲ的應(yīng)變能釋放率，Gshear=GI+GII是剪切模式的應(yīng)變能釋放率，GT=GI+Gshear是總的應(yīng)變能釋放率，GIC、GIIC分別是Mode Ⅰ、Mode Ⅱ的斷裂韌度，GC是總體的斷裂韌度，η是從混合模式彎曲實(shí)驗(yàn)中擬合得到的一個經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，本文中取1。

如圖1所示，可以把斷裂韌度GC寫成：

將等式（11）代入式（10），并且考慮時(shí)的情況，得出最后完全分層的失效位移表達(dá)式為：

從式(11)中可以清楚地看出，當(dāng)β=0時(shí)是單純的拉伸，即Mode Ⅰ模式；而當(dāng)β→∞時(shí)便是單純的剪切模式。

為了描述該損傷的不可逆性，引入一個狀態(tài)變量

式中：δm(T)是當(dāng)前分析步長的等效位移，δm(T-ΔT)是前一個分析步的等效位移。這樣，就可以把牽引力-位移準(zhǔn)則寫成統(tǒng)一的形式：

1.2.2 應(yīng)變率效應(yīng)

與單層板連續(xù)介質(zhì)損傷模型相類似，粘結(jié)層的應(yīng)變率效應(yīng)可表示為[12]：

式中：ψ為動態(tài)增強(qiáng)因子，A、B、C是描述FRP層合板應(yīng)變率效應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。動態(tài)的強(qiáng)度和模量等于靜態(tài)的強(qiáng)度和模量乘以動態(tài)增強(qiáng)因子，其表達(dá)式如下：

式中Ki是動態(tài)的強(qiáng)度和模量是靜態(tài)的強(qiáng)度和模量。

2 有限元模型

FRP層合板的有限元模型包括兩個部分，即單層板和粘結(jié)層，如圖2所示。在實(shí)際建模中，先利用Truegrid軟件生成單層板模型，然后再在ABAQUS/CAE中通過偏置方法在指定位置生成8節(jié)點(diǎn)零厚度的粘結(jié)層單元，粘結(jié)單元和實(shí)體單元是共節(jié)點(diǎn)的，相當(dāng)于在單層板之間插入粘結(jié)單元，如圖3所示。單層板用C3D8R單元來創(chuàng)建，而粘結(jié)層用COH3D8單元（cohesive單元）來創(chuàng)建。彈體和靶板間的接觸是通用接觸，其摩擦因數(shù)設(shè)為0.1。

圖2 FRP層合板組成示意圖Fig.2 Schematic diagram of FRP laminates

圖3 將粘結(jié)單元插入實(shí)體單元示意圖Fig.3 Illustration of cohesive elements inserted in solid elements

對于實(shí)體單元失效問題，認(rèn)為當(dāng)單元等效應(yīng)變達(dá)到極限等效應(yīng)變時(shí)單元便被刪除，具體細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)[12]。而對于粘結(jié)單元，通過在用戶子程序中定義一個狀態(tài)變量令其值等于粘結(jié)單元的損傷變量D的值，來控制單元的狀態(tài)。當(dāng)D=0時(shí)，表示單元未發(fā)生損傷，而當(dāng)D=1時(shí)，認(rèn)為單元完全破壞，單元將被刪除。粘結(jié)單元被刪除表示此處發(fā)生了分層破壞。

對于各種不同鋪層方向的單層板，在總體坐標(biāo)系下，對每層單層板來建立一個局部坐標(biāo)系，來確定單層板的主方向，用來表征單層板的不同鋪層方向。粘結(jié)單元和實(shí)體單元是共節(jié)點(diǎn)的，兩者面內(nèi)單元尺寸保持一致，在文獻(xiàn)[7]中詳細(xì)討論了網(wǎng)格收斂性，結(jié)果表明單元面內(nèi)尺寸為1 mm×1 mm時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果具有良好的精度，因此本文中撞擊區(qū)域的單元面內(nèi)尺寸都選為1 mm×1 mm。

從幾何上來看，2個單層板通過零厚度的粘結(jié)層連結(jié)在一起，但從計(jì)算的角度來說，由于要將應(yīng)變增量變成等效位移的增量，必須對粘結(jié)單元賦予一個厚度。在這里，計(jì)算厚度取單位長度，粘結(jié)單元的計(jì)算厚度的選取關(guān)系到粘結(jié)單元的剛度參數(shù)的單位的選取。在這里，粘結(jié)單元的計(jì)算厚度取1，則粘結(jié)單元的剛度的單位與模量的剛度一致。

將粘結(jié)層當(dāng)成一種與環(huán)氧樹脂相接近的材料，其相關(guān)材料性質(zhì)如斷裂韌度、模量等都可以通過設(shè)計(jì)相關(guān)實(shí)驗(yàn)測出，并認(rèn)為粘結(jié)層的應(yīng)變率效應(yīng)與單層板的應(yīng)變率效應(yīng)保持一致。表1給出了粘結(jié)層的相關(guān)材料參數(shù)。其中 是強(qiáng)度的應(yīng)變率參數(shù) 是模量的應(yīng)變率參數(shù)。Ai、Bi、CiAm、Bm、Cm

如圖4所示，建立了Aymerich等[15]的低速撞擊實(shí)驗(yàn)的有限元模型。根據(jù)實(shí)驗(yàn)中的描述，建立了尺寸為 65 mm×87.5 mm×2 mm 的 CFRP（carbon fiber reinforced plastic）層合板模型，并將落錘系統(tǒng)簡化為質(zhì)量為2.3 kg，直徑為12.5 mm的半球頭剛彈。模型中，在開口區(qū)域45 mm×67.5 mm處單元面內(nèi)尺寸約為1 mm×1 mm，在開口區(qū)域外單元尺寸約為2 mm×2 mm，中間用一個蝴蝶網(wǎng)格進(jìn)行過渡。在厚度方向上，層合板的實(shí)際鋪層方式為 [03903]s，如圖4所示，層合板從上到下依次是纖維取向?yàn)?0°單層板3層、90°單層板3層、 9 0°單層板3層、 0°單層板3層，下標(biāo)s代表對稱。其中0°方向沿著長邊的方向。在實(shí)際建模中，將相同鋪層方向的三層板當(dāng)作單層板處理，每層單層板厚度為0.5 mm，模型中的鋪層方式為[0/90/90/0]。在不同鋪層方向的單層板之間插入零厚度的粘結(jié)單元，因此共有2層粘結(jié)單元，如圖4所示。實(shí)驗(yàn)中，層合板是放在開口區(qū)域?yàn)?5 mm×67.5 mm的墊板上，并用夾具將4個角固定住。

圖4 低速沖擊下CFRP層合板的有限元模型Fig.4 Finite element model for CFRP laminates under low velocity impact

3 結(jié)果和討論

利用前面介紹的模型，來對落錘低速撞擊CFRP層合板的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，并于相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較。落錘分別以2.1 J（半球頭彈撞擊速度為1.35 m/s）和4.9 J（半球頭彈撞擊速度為2.06 m/s）的能量撞擊CFRP板。單層板的相關(guān)參數(shù)如表2所示。其中E是彈性模量，參數(shù)下標(biāo)1、2、3分別表示面內(nèi)縱向，面內(nèi)橫向和面外方向；G是剪切模量，參數(shù)下標(biāo)1、2、3分別表示面內(nèi)縱向，面內(nèi)橫向和面外方向；Xt、Yt、Zt分別表示1、2、3方向的拉伸強(qiáng)度；Xc、Yc、Zc分 別表示1、2、3方向的壓縮強(qiáng)度；S是剪切強(qiáng)度，參數(shù)下標(biāo)1、2、3分別表示面內(nèi)縱向，面內(nèi)橫向和面外方向；ν是泊松比，參數(shù)下標(biāo)1、2、3分別表示面內(nèi)縱向，面內(nèi)橫向和面外方向分別表示不同失效準(zhǔn)則對應(yīng)的斷裂位移。

表2 Graphite/epoxy單層板的參數(shù)值Table 2 Parameters for graphite/epoxy laminates

圖5給出2種不同低速落錘撞擊能量下的數(shù)值模擬得到的載荷-時(shí)間曲線與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果的比較。從圖5可以看出，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，數(shù)值模擬結(jié)果的峰值載荷和作用時(shí)間都吻合得很好。

圖6給出2種能量下的數(shù)值模擬得到的載荷-位移曲線與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果的比較。從圖6可以看出，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，數(shù)值模擬預(yù)測的中心最大位移和最終殘余位移都吻合得很好。

圖5 數(shù)值模擬得到的載荷-時(shí)間歷程與實(shí)驗(yàn)觀察[15]的比較Fig.5 Comparison of the numerically predicted load-time histories with the experimental observations[15]

圖6 數(shù)值模擬得到的載荷-位移曲線與實(shí)驗(yàn)觀察[15]的比較Fig.6 Comparison of the numerically predicted loaddisplacement cures with the experimental observations[15]

圖7給出了graphite/epoxy層合板在不同能量（2.1 J、4.9 J）打擊下底部[90/0]兩層單層板之間分層形貌的數(shù)值預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀察的比較。在圖7(a)和(b)中，左邊是數(shù)值模擬得到的結(jié)果，通過[90/0]中間的粘結(jié)單元的破壞來表征分層形貌；右邊是實(shí)驗(yàn)中通過X光技術(shù)掃描得到底部[90/0]間形貌，陰影部分表明發(fā)生了分層破壞。界面層的粘結(jié)單元的損傷通過損傷因子D來控制。當(dāng)損傷因子D=0時(shí)，說明粘結(jié)單元未有任何損傷，云圖中顏色為藍(lán)色；而當(dāng)損傷因子D=1時(shí)，說明粘結(jié)單元已經(jīng)完全失效，說明此處發(fā)生了分層破壞；云圖中為中間過渡的顏色表明粘結(jié)單元受到損傷卻還未完全失效。不難看出，本模型得到的分層的形貌和面積與實(shí)驗(yàn)觀察吻合得較好，在[90/0]層間分層的形貌是雙火焰形狀，分層的長邊都是沿著底層單層板纖維的鋪層方向。

圖7 數(shù)值模擬得到的分層形貌與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[15]的比較Fig.7 Comparison of the numerically predicted delamination areas with the experimental observations[15]

通過與實(shí)驗(yàn)的觀察比較，驗(yàn)證了本文模型的可靠性，本文的模型能較好地預(yù)測CFRP層合板在落錘低速撞擊下的動態(tài)響應(yīng)，并成功地預(yù)測了CFRP層合板在橫向沖擊載荷下的分層行為。本模型考慮了應(yīng)變率效應(yīng)，使得模型能夠處理動態(tài)載荷問題，相比不考慮應(yīng)變率效應(yīng)，對于不同能量沖擊層合板，本模型計(jì)算得到的分層損傷結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加吻合。另外，由于考慮了應(yīng)變率效應(yīng)，該模型不僅可用于低速撞擊問題而且還可用于中、高速撞擊問題。

4 結(jié)束語

本文建立了一個有限元模型來預(yù)測纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料（FRP）層合板在低速沖擊下的響應(yīng)和破壞。模型不再將整個層合板當(dāng)成連續(xù)均勻的各項(xiàng)異性材料，而是認(rèn)為層合板是由單層板通過粘結(jié)層粘結(jié)而成。提出考慮應(yīng)變率效應(yīng)的基于粘性區(qū)域方法的粘結(jié)層的損傷模型，并將提出的本構(gòu)方程和失效準(zhǔn)則通過子程序VUMAT嵌入到有限元軟件ABAQUS/EXPLICIT中；將FRP層合板當(dāng)成由單層板通過粘結(jié)層粘結(jié)而成，并建立了有限元模型；在低速撞擊時(shí)，有限元模型能夠很好地預(yù)測FRP層合板的載荷-時(shí)間歷程、載荷-位移曲線和分層效應(yīng)。