“退”“推”之間“玩”出智慧*
——六年級《玩數(shù)學(xué)棋》一課的教學(xué)與思考

【設(shè)計(jì)理念】

1.“玩”中碰壁，問題讓智慧生根。

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師雖然都致力于兒童思維能力的培養(yǎng)，可有時(shí)收效甚微。究其原因，兒童常常因?yàn)槊鎸Φ膯栴}是“偽問題”而興致不高，內(nèi)驅(qū)力大打折扣，致使其缺乏主動思考的意識與能力。那么，怎樣尋找“真問題”？怎樣讓兒童的內(nèi)心長出“真問題”呢？只有讓兒童有真實(shí)的在場感，他們才能真正把面臨的問題視作自己的問題，才能有積極的心向，主動尋找解決問題的策略?？档抡f：“教育即自由。”自由既是兒童的天性，也是需要我們?yōu)樗麄儎?chuàng)造的條件?！皭弁妗笔莾和奶煨?。那么，怎樣讓兒童以“玩”的精神參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓兒童自由地“玩”，創(chuàng)造性地“玩”，玩出智慧呢？在教學(xué)中，為兒童創(chuàng)造值得“玩”的場域很重要，因?yàn)閮和谀芡娑植荒荞{馭的矛盾中，各種問題就自然產(chǎn)生了，智慧就有了“抓地力”。

2.“玩”中探索，困難驅(qū)智慧生長。

問題越明晰，解決時(shí)的方向就越明確。面對各種問題，怎樣通過比對、抽象讓兒童直面本質(zhì)問題，并梳理出主線問題呢？于是，“接下來怎么思考呢？”就成了直接驅(qū)動兒童思考的主線索。教學(xué)中，教師往往更在意怎么幫學(xué)生解決眼下的問題，而深陷于尋找具體的步驟、方法或策略。事實(shí)上，“你是怎么想到的？”才是最重要、最值得思考的問題。所以，教學(xué)中更需要讓學(xué)生始終抱有客觀審慎的態(tài)度，學(xué)會反向思考——“我之所以不能前進(jìn)，困難在哪里？”，退到自己能確定、能解決的問題處，然后不斷擴(kuò)大思考范圍，挖掘思考深度，從而解決問題。

3.“玩”后自省，方法助智慧生成。

獲得問題解決的喜悅是教學(xué)追求的目標(biāo)之一，但不是終極目標(biāo)，沉淀下經(jīng)驗(yàn)、方法才可能生成智慧。所以，在教學(xué)中，要讓學(xué)生有靜下來再思考和慢下來再玩味的機(jī)會。如此，才能促進(jìn)他們完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升應(yīng)對未來的能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過玩數(shù)學(xué)棋積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)研究問題的策略，并在此過程中著力培養(yǎng)推理能力。

2.在交流分享中學(xué)會辯證地傾聽，并有理有據(jù)地表達(dá)自己的推理過程。

3.在活動中進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的親切感與趣味性。

【課堂實(shí)錄】

一、談話：引出玩棋游戲

師：同學(xué)們，今天我們一起來玩（板書：玩）。說一說，你會玩些什么？

生：會玩游戲、圍棋、撲克、籃球、圍棋……

師：同學(xué)們會玩的東西真多！如果你就只是玩玩，很容易就沒興趣了；如果邊玩邊思考，你就會玩出水平，甚至還能玩出智慧。今天，我們就一起來玩數(shù)學(xué)棋（板書：數(shù)學(xué)棋），看看能否玩出新的體會。

二、比賽：思考玩棋中的問題

1.比賽，好奇中引發(fā)問題。

（圖1）

（1）教師講解游戲規(guī)則：瞧！這就是棋盤（如圖1），左下角有一個紅旗（放上紅旗磁塊），表示終點(diǎn)。在棋盤右上角有一枚棋子（放好黑色磁塊），兩人輪流移動這枚棋子，每人每次只能向左、下或左下移動一格（板書：），誰先移入紅旗格誰就獲勝。

（2）指名一男一女兩個學(xué)生玩

師：你倆誰先走？

男生：女生優(yōu)先。

師：真有風(fēng)度！其余同學(xué)注意觀察，看他們是否符合規(guī)則。好，開始！

很快，比賽結(jié)束，男生輸了。

師：我宣布，這一輪，女生獲勝。（舉起女生的手，然后采訪男生）剛才你輸了，想不想再玩一次？（男生歡喜地點(diǎn)頭）

師：大家猜猜他這時(shí)在思考什么問題？

生1：先走，還是后走？

生2：朝哪個方向走呢？

師：同學(xué)們說的其實(shí)是同一個問題——怎樣才能贏呢？那么，有沒有必勝的策略呢？

2.嘗試，初步探明研究方向。

（1）同桌嘗試玩2次，思考初步的方案

師：同桌的桌上有這樣的材料袋，先將笑臉磁塊放到終點(diǎn)格，再找到起點(diǎn)格。同桌共玩2次。邊玩邊思考：怎樣才能必勝呢？

同桌玩，教師巡視，收集學(xué)生的想法。

（2）談話，讓學(xué)生明確研究方向

師：剛才，同學(xué)們玩得很高興，你們找到必勝的對策了嗎？（少數(shù)人舉手）

生1：我覺得后走的肯定贏，我兩次都后走的，兩次都贏了。

生2：反對，我也后走的，沒有贏。

生3：我先走的時(shí)候也贏過。

師：呀，看來這個問題挺復(fù)雜。想一想，它究竟復(fù)雜在哪里？

生1：方向很多，情況很多，很復(fù)雜。

生2：而且你不能控制對方，指定他怎么走，所以有很多不確定因素，太復(fù)雜了。

生3：棋盤這么大，步數(shù)又多，很復(fù)雜。

師：面對這么復(fù)雜的問題，應(yīng)該從哪里開始研究呢？（學(xué)生思考，但無所得）

師：你們真是下到最后一步才知道輸贏的嗎？

生1：我們到“田字格”里就知道了。

生2：我們到“九宮格”就知道了。

師：那我們就從最簡單的、能確定的那一步開始研究，好嗎？

師（出示2×2情況）：剛剛有人說到這種情況就可以確定了，誰能解釋解釋？

生：誰先到這三個虛線圈格中的任意一格（如圖2），對方都可以直接進(jìn)入紅旗格，所以這三格是必輸格。

（圖2）

師：我們給這三個必輸格做個記號“×”（如圖 3）。哎，我們要找必勝的方法，卻找到了必輸點(diǎn)，這對我們找必勝的方法有用嗎？

（圖3）

生：有用。可以借助它往外推。

師：那么，接下來，我們該怎么研究？

生：我們可以把棋盤擴(kuò)大，研究3×3情況。

同桌研究，相互交流；教師巡視，然后請一對同桌發(fā)言。

生1：誰先到圖中2個圓圈格（如圖4），誰必勝。因?yàn)榈搅藞A圈格對方只能向下（向左）走，這樣對方只能進(jìn)必輸格，對方必輸，我必贏。

（圖4）

生 2（補(bǔ)充）：B、C 有兩種可能，不能保證自己必勝。但A不管怎么走都可以搶到必勝格。所以A點(diǎn)也是必勝格?？傊?，誰先搶到這三個格，誰必勝。

師：我有個疑問，我先到A，萬一對方向左下方走呢？這種情況你們沒說哦。

生：哈哈，那對方就自投羅網(wǎng)了。進(jìn)了必輸格，必輸了呀。

（圖5）

師：好的，我們用記號“√”表示必勝格（如圖5）。誰先到必勝格，誰就有了必勝的方法。看來，只要我搶到必勝格，我肯定就贏了。

師：這么大的棋盤，我們目前只研究出這一小塊，接下來怎樣研究？有沒有更好的方法找到必勝的策略呢？

3.深究，推理標(biāo)記中明確對策。

（1）自主研究：先同桌研究，接著4人小組討論，推選代表準(zhǔn)備發(fā)言。

（2）匯報(bào)，交流

第一組匯報(bào)（邊說邊借助教師的棋盤演示）：我們接著研究了4×4情況，發(fā)現(xiàn)誰先到4×4外圍中任意一格，對方都能搶先到3×3外圍中的必勝格，所以4×4這一圈都是必輸格。那么5×5一圈中必有必勝格，因?yàn)槊咳酥荒茏咭徊?，所以必勝格是間隔開的，再根據(jù)方向就能確定必勝格了。以此類推，就能找到所有的必勝格了。

第二組匯報(bào)（邊說邊借助教師的棋盤演示）：我們發(fā)現(xiàn)1個必勝格周圍總有3個必輸格，再根據(jù)如果只從一個方向考慮必輸格后就是必勝格，能推得整個棋盤上所有的必勝格。

第三組匯報(bào)：我們是用九宮格來思考的，紅旗格其實(shí)就是一個必勝格，我們假定這個必勝格在這里，就相當(dāng)于把整個九宮格一起復(fù)制，移動到這里（如圖6），這樣就能用之前的方法確定這個九宮格里的必勝格，再用這樣的方法就能找到所有的必勝格。

（圖6）

師：誰聽懂了他們的研究成果，他們的研究方法與第一、二組有什么不同？

生：第一、二組都是借助必輸格來推想必勝格的，第三組是借助必勝格直接推的，也就是在3×3情況的基礎(chǔ)上直接用模塊覆蓋的方式推理出來的。

師：變換研究基點(diǎn)，可以直接推理得到結(jié)果，真的非常巧妙！數(shù)學(xué)研究就是這樣，要善于借用已經(jīng)研究出的成果來研究新的問題。

（3）觀察，發(fā)現(xiàn)

師：現(xiàn)在誰愿意和我玩數(shù)學(xué)棋？

生：我來下，但必須得讓我先走。

師：好的，看你小，就讓你先走。

師：為什么還沒下完棋，你們就判定他贏了？誰來解釋？

生：先走的人每一步都能搶到必勝格，所以他必勝。

師：請同桌再玩，體會體會贏的對策。

三、回顧：提煉玩棋中的收獲

師：此刻，讓我們靜下心來，回顧剛才尋找必勝對策的整個過程，你有什么特別想和別人分享的？誰能簡單地說一說？

生1：面對復(fù)雜的問題，一時(shí)不知道從哪里入手，可以從簡單的、能確定的地方開始研究。

生2：也可以在初步研究的基礎(chǔ)上，把這一步研究的成果打包、復(fù)制、粘貼來進(jìn)行研究，這樣更快捷。

師：是的，面對復(fù)雜的問題，最好的對策就是“退”，退到最簡單又能保持原問題本質(zhì)的地方開始研究，再以“退”為“進(jìn)”，不斷推測、推想、推理，把簡單問題的研究成果“推”廣到更復(fù)雜的情況，從而解決問題。

【教后反思】

從教22年，筆者由最初關(guān)注教學(xué)技藝的增長慢慢轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注兒童的成長，關(guān)注教兒童帶得走的數(shù)學(xué)，努力構(gòu)建邏輯與直覺、理性與感性、文化傳遞與創(chuàng)造兼?zhèn)涞恼n堂生態(tài)，以期促進(jìn)兒童成為敏于反思質(zhì)疑、自省自糾、善于“悟”的人。上述教學(xué)中，筆者努力構(gòu)建一個充滿自省意味的課堂，讓兒童在“退”“推”之間玩出智慧。

1.一“省”主要問題。

課始，男女生代表在擂臺賽中比拼，“純玩”中似乎全憑運(yùn)氣，學(xué)霸在這里也不管用了。輸了的學(xué)生自然想再玩一次，教師并沒有立刻讓他們玩，而是利用一句“猜猜他在思考什么”引發(fā)學(xué)生思考。在“先走”還是“后走”的辯論中，在不同方案的預(yù)設(shè)中，引導(dǎo)學(xué)生第一次反省：有沒有必勝的策略呢？并帶領(lǐng)學(xué)生抓住這個主線問題開啟了探究之旅。

2.二“省”研究路徑。

真正的探究充滿未知——方向未知、路線未知、成功與否未知。怎樣讓兒童有興趣并有信心探索，即使束手無策也要努力思考，堅(jiān)信也許答案就在下一個轉(zhuǎn)角呢？（1）“想一想，它究竟復(fù)雜在哪里？”學(xué)生有時(shí)會囿于困難中受傷的情緒，而并未理性思考究竟難在哪里。教師此時(shí)的點(diǎn)撥就顯得尤為重要。在明確困難的過程中，學(xué)生悟的方向太多，就可以分類思考；棋盤太大，就可以縮小思考范圍；步數(shù)太多，不能控制對方怎樣走棋，就從能確定的地方入手。這樣的自省活動有助于學(xué)生理清思考的方向與路徑。（2）“你們真是下到最后一步才知道輸贏的嗎？”解決問題難，并不是難在怎樣解決這個問題，而是難在“你是怎么想到的”。教師一語驚醒夢中人，讓學(xué)生明白：復(fù)雜的問題可以從簡單的、能確定的部分做起。

3.三“省”優(yōu)化策略。

在思考問題的過程中，學(xué)生有時(shí)會陷入細(xì)小環(huán)節(jié)而忽略主線問題。當(dāng)學(xué)生為研究清楚了2×2情況而歡呼時(shí)，教師引導(dǎo)他們內(nèi)?。何覀円冶貏俚姆椒ǎ瑓s找到了必輸點(diǎn)，這對我們找必勝的方法有用嗎？事實(shí)上，在曲折的研究過程中，學(xué)生需要時(shí)時(shí)問自己“這對我的研究有價(jià)值嗎？”“接下去怎樣研究？”“怎樣逼近我要尋找的答案？”在學(xué)生研究完2×2、3×3情況后，教師沒有讓學(xué)生按慣性走下去，而是以“這么大的棋盤，我們目前只研究出這一小塊，接下來怎樣研究呢？有沒有更好的方法找到必勝的策略呢？”這個問題來引導(dǎo)學(xué)生不斷突破思考閾限。學(xué)生或借助必輸格來推必勝格，或借助必勝格環(huán)繞3個必輸格來平鋪推理，或通過簡化方向一類一類地思考來推理，或直接將九宮格復(fù)制粘貼研究。在“復(fù)制粘貼法”出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生連連發(fā)出贊嘆聲、鼓掌聲，甚至有學(xué)生由衷地說：善于利用已有的成果真重要！

4.四“省”經(jīng)驗(yàn)方法。

就在學(xué)生終于探得解決問題的策略，沉浸在成功的喜悅中，感受到原來秘訣如此簡單時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從高漲的、熱鬧的氣息中抽離出來，靜思探索過程，用簡單的語言分享收獲。讓學(xué)生悟得：面對復(fù)雜的問題，可以退到最簡單而又不失其本質(zhì)的地方，從能確定的簡單之處入手尋找方法，再以探得的成果為基礎(chǔ)，不斷推想、推測、推理，從而化復(fù)雜為簡單，最終成功地解決問題。

總之，在“玩”的過程中，學(xué)生一次次跌倒思考，又一次次起身前行，在“退”“推”之間，玩出了智慧。