帶有馬爾可夫競爭因子的多產(chǎn)品報童模型

武 博，官雨嫻，陳 杰，陳志祥

(1.西南交通大學經(jīng)濟管理學院，四川 成都 610031；2.華南理工大學工商管理學院，廣東 廣州 510640；3.中山大學管理學院，廣東 廣州 510275)

1 引言

在自由競爭的市場背景下，顧客的需求數(shù)據(jù)所蘊含的信息量較大，給數(shù)據(jù)的采取、處理和分析帶來極大的難度，以致許多具有重要參考價值的信息的屬性未能深入地挖掘出來，比如：需求信息所帶有的競爭因子。同類產(chǎn)品間的競爭性是現(xiàn)代商品所具有的基本屬性之一，若決策者在需求數(shù)據(jù)的收集過程中忽略了競爭因子的存在，則其所得到的信息集不能真實反映所研究對象的屬性。顯然，在此情形下庫存系統(tǒng)的需求數(shù)據(jù)信息鏈是不具有完備性的，進而使得隨機庫存系統(tǒng)的決策機制建立在不完備的需求信息集之上，以致在決策過程中缺乏充分的理論依據(jù)。報童模型是隨機庫存系統(tǒng)的最重要模型之一，隨機需求的密度函數(shù)是該模型的理論基礎。因此，將“需求帶有競爭因子”的決策理念納入報童模型的理論框架，進而導出隨機庫存系統(tǒng)的決策機制，對提升供應鏈的運作與管理水平具有一定的理論和實際意義。

報童模型作為優(yōu)化庫存訂購決策的重要理論工具，近年來仍是理論研究的熱點之一。隨著學術界對供應鏈管理中的契約協(xié)調(diào)、共享經(jīng)濟、風險規(guī)避、行為決策科學、帶有約束條件的優(yōu)化決策和模型的求解方法等問題的普遍關注，極大地促進了報童模型基本理論的發(fā)展[1-6]。孫彩虹[7]在“做和型”隨機價格需求函數(shù)的條件下，提出了Worst-case型的魯棒聯(lián)合定價和訂貨策略的報童模型，同時在既定的條件下給出了聯(lián)合決策的閉環(huán)最優(yōu)解。禹海波[8]運用概率論中的隨機占優(yōu)和可變序考慮了需求不確定性對兩類報童問題的影響，一類是經(jīng)典的最小化成本報童問題，另一類是帶有二次訂貨策略的最大化利潤報童問題。于輝和馬云麟[9]考慮了供應鏈中零售商為供應商提供信用擔保，通過給定的保理回報率收取擔保費用，以實現(xiàn)收益最大化為目標建立了單周期報童模型，并運用數(shù)值分析了融資模式對供應鏈績效和效率的影響及保理回報率對訂貨決策的影響。馮艷剛和吳軍[10]在突發(fā)事件導致決策者風險厭惡的情形下研究了風險厭惡型的報童博弈模型，以條件風險價值作為風險度量的理論工具，構(gòu)建了以零售商期望收益最大化為目標的非合作博弈模型，證明了納什均衡的存在與唯一性。以上具有代表性的理論研究成果主要以契約協(xié)調(diào)、價格策略、預算和資金約束、需求不確定性、風險厭惡等經(jīng)典的決策理念為導向，進一步完善了隨機庫存系統(tǒng)的決策機制以及豐富了運作與管理的運籌學領域的理論和方法，有效地拓展了報童模型在實際問題中的應用性和實效性。

同類產(chǎn)品間的競爭性作為現(xiàn)代商品的基本屬性之一，部分學者已將市場競爭因素納入決策機制，對報童模型進行深入的拓展性研究，并取得豐富的研究成果。Huang Di等[11]考慮帶有缺貨懲罰和部分可替代的多產(chǎn)品競爭報童問題，并證明了競爭報童模型的納什均衡解的存在性，進而通過迭代法給出模型的近似解。Yang Shilei等[12]考慮兩個零售商在同一個供應商及市場環(huán)境下，以價格競爭的研究路徑拓展了報童模型的理論框架，該研究成果表明決策模型的最優(yōu)零售價格和訂購量關于競爭激烈程度分別為單調(diào)遞減及單調(diào)遞增的函數(shù)。Chakraborty等[13]在兩個廠商的競爭環(huán)境下考慮庫存系統(tǒng)的最優(yōu)定價和訂購問題，并結(jié)合斯坦伯格博弈理論構(gòu)建了帶有收益共享機制的報童模型。Aldaihani和Darwish[14]在競爭市場的環(huán)境下納入服務水平的決策理念，構(gòu)建了允許二次訂購的報童模型，并通過數(shù)值模擬和仿真方式論證了模型的可行性和有效性。Yang Jianqun等[15]在雙渠道供應鏈的條件下，將顧客的消費行為具有轉(zhuǎn)移性的特征融入報童模型的理論框架，構(gòu)建了帶有競爭因素的的易變質(zhì)商品庫存模型，并分別從分散決策和集中決策的視角分析了庫存系統(tǒng)的運作與管理的績效性。Shen Yuwei等[16]在競爭環(huán)境下建立了帶有風險厭惡的博弈報童模型，并在一定的條件下證明了該模型的納什均衡的存在性和唯一性，該研究成果表明庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購量關于初始財富和風險厭惡程度分別單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的函數(shù)。以上研究成果充分考慮了競爭因素對庫存系統(tǒng)的決策機制的影響，主要沿著價格策略、服務水平、產(chǎn)品質(zhì)量、需求轉(zhuǎn)移等方面的競爭評估指標，對報童模型的基礎理論進行拓展性研究，進而形成相應的運籌學理論工具包解決了不同競爭因素下的報童問題。

由單產(chǎn)品導出庫存系統(tǒng)的控制理論與方法，在實際應用的過程中面臨著一定的挑戰(zhàn)，其中之一就是無法解決多產(chǎn)品協(xié)同訂購問題。針對此問題，Hanasusanto等[17]在多產(chǎn)品需求間具有高度關聯(lián)性的條件下，構(gòu)建了帶有風險厭惡的多產(chǎn)品報童模型，并利用二次決策規(guī)劃方法解決了模型最優(yōu)解的最佳逼近問題。Zhou Yanju等[18]研究了帶有損失和預算約束的多產(chǎn)品報童模型，并提出了線性一致逼近法，以解決模型非線性最優(yōu)解的問題。Wang Dan和Qin Zhongfeng[19]認為在實際問題中，顧客的需求具有模糊性和隨機性，為此提出了帶有混合需求的多產(chǎn)品報童模型，并通過遺傳算法給出模型的最優(yōu)解。Abdel-Aal等[20-21]分別從多產(chǎn)品選擇、服務水平、風險厭惡等視角，提出了相應的多產(chǎn)品報童模型，該研究成果表明庫存系統(tǒng)的決策機制對多產(chǎn)品的選擇性、服務水平的高低及厭惡程度等因素具有高度的敏感性。周佳琪和張人千[22]考慮當產(chǎn)品間存在互補關聯(lián)的關系時，建立了帶缺貨懲罰的單周期多產(chǎn)品帶有交叉銷售和集中決策的報童模型，并給出一階博弈均衡條件以及均衡解的唯一性條件與上下界。陳杰等[23-24]考慮具有多元馬氏需求特征的多產(chǎn)品庫存報童模型的優(yōu)化問題，并通過需求狀態(tài)的截尾概率、雙面因子及需求間關聯(lián)性的強弱分析了該模型最優(yōu)解的性質(zhì)，相關結(jié)論表明最優(yōu)訂購策略及最優(yōu)期望利潤與截尾概率的關系為正相關，而與雙面因子的關系則正反兩面的關聯(lián)性。張永等[25]采用集成專家意見的在線序列預測算法研究了報童問題，并根據(jù)弱集成算法的競爭性理論提出了多產(chǎn)品多階段報童模型，同時在不同的需求類型的條件下，通過數(shù)值算例論證了在線訂購策略優(yōu)越性。隨著供應鏈的決策環(huán)境進一步復雜化，庫存系統(tǒng)的決策機制也融入了決策維度多元化的基本理念。在此背景下，將單產(chǎn)品的庫存系統(tǒng)決策理論和方法向多產(chǎn)品研究途徑拓展，已成為當今學術界對報童模型的理論深度完備化的研究必然趨勢之一。

需求作為供應鏈管理的理論體系的基礎，其自身帶有多元化信息的屬性，對整個決策機制的構(gòu)建具有重要的參考價值，但以上的庫存決策模型也往往忽視某個需求信息的屬性，以致其所得出的優(yōu)化決策與實際情況有所偏差。比如：上述的模型并不考慮產(chǎn)品需求間的競爭屬性對整個需求數(shù)據(jù)鏈中的拓撲結(jié)構(gòu)的影響，致使相關的決策未能夠充分體現(xiàn)出庫存系統(tǒng)的“噪聲”的統(tǒng)計規(guī)律性。鑒于競爭已成為市場經(jīng)濟活動的普遍現(xiàn)象，若決策模型忽視需求間的相互轉(zhuǎn)移性，單從需求間相互獨立性的片面視角來考慮競爭性多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化問題，顯然這樣的模型理論設計具有一定的局限性。為此，出于報童模型理論發(fā)展及其實踐應用的考慮，針對競爭環(huán)境下的報童問題，本文以馬爾可夫鏈為理論導向，將競爭因子納入報童模型的理論框架，研究構(gòu)建競爭性多產(chǎn)品庫存系統(tǒng)的決策機制。

1 模型的構(gòu)建

1.1 模型描述和符號說明

所謂競爭性多產(chǎn)品需求間的相互轉(zhuǎn)移，指的是在不同的時期內(nèi)顧客的需求從某個產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到另一個產(chǎn)品，其內(nèi)在的轉(zhuǎn)移規(guī)律性，本質(zhì)上就是相互之間的轉(zhuǎn)移概率。因此，在假設產(chǎn)品集為庫存系統(tǒng)的狀態(tài)的條件下，可利用馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣來描述需求間相互轉(zhuǎn)移的特征。本文主要以馬氏鏈為理論的導向，構(gòu)建庫存系統(tǒng)的需求模型以確定產(chǎn)品需求間的轉(zhuǎn)移概率，進而結(jié)合經(jīng)典報童模型提出新的競爭性多產(chǎn)品庫存決策模型。

為了方便問題的闡述，首先作出以下模型的符號說明及基本假設：

k=0,1,2,…,K表示庫存系統(tǒng)的周期，而n(n=1,…,N)表示第n種產(chǎn)品；

Xnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的隨機需求變量；

P=產(chǎn)品需求間相互轉(zhuǎn)移的概率矩陣；

Pnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的銷售價；

Cnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的進貨價格；

Vnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的回收價；

Qnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的訂購量。

這里假設顧客的需求轉(zhuǎn)移具有馬氏性，即影響顧客的需求從某個產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到另一個產(chǎn)品只跟目前所處的狀態(tài)有關，而與歷史所處的狀態(tài)無關。同時，假設未滿足的顧客需求視為失去的。

1.2 馬氏需求轉(zhuǎn)移模型

馬爾可夫模型作為描述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的最成熟理論之一，最初是由俄國著名的數(shù)學家Markov于1906年研究而得名的，其相關的理論已廣泛應用到信息技術、生物科學、金融工程和供應鏈管理等領域。為了建立馬氏需求轉(zhuǎn)移模型，首先介紹其相關的基本概念。

定義1 設S={i0,i1,…,im,…}為系統(tǒng)的狀態(tài)空間，T={0,1,…,k,…}為系統(tǒng)的周期參數(shù)集。若對于任意ik∈S及P(Z0=i0,Z1=i1,…,Zk=ik)>0，有：

P(Zk+1=ik+1|Z0=i0,Z1=i1,…,Zk=ik)=P(Zk+1=ik+1|Zk=ik)

(1)

則稱隨機序列{Zk,k≥0}為時間離散型的馬爾可夫鏈或馬氏模型。馬氏模型{Zk,k≥0}的轉(zhuǎn)移概率可以用來描述事物的內(nèi)在向前發(fā)展的態(tài)勢，即以概率的方式揭示事物內(nèi)在的運動規(guī)律。

記pij=P(Zk+1=j|Zk=i)為顧客于第k周期從產(chǎn)品i轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品j的概率(i,j∈S)，Xk=(X1k,X2k,…,XNk)T為各產(chǎn)品在第k周期的需求量。于是，結(jié)合馬氏模型，可得出各產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求，即：

(2)

1.3 馬氏需求轉(zhuǎn)移下競爭性多產(chǎn)品報童模型

在假設φ(x)為隨機需求變量X的密度函數(shù)條件下，經(jīng)典的報童模型為[27]

(3)

其中C(s)和C(o)分別為產(chǎn)品的單位缺貨成本和單位過剩成本，Q為產(chǎn)品的訂購量。本小節(jié)主要在經(jīng)典的報童模型的理論基礎上，結(jié)合上文提出的馬氏需求轉(zhuǎn)移模型，研究建立帶有馬氏競爭因子的多產(chǎn)品報童模型。

由于本文只考慮庫存系統(tǒng)在下個銷售周期的優(yōu)化控制問題，所以若{1,2,…,k}為系統(tǒng)的歷史周期，則系統(tǒng)的下個周期為T=k+1。為了求出第n產(chǎn)品的密度函數(shù)，以下先介紹多重卷積公式。

(4)

命題1 設X1k,X2k,…,XNk分別為各產(chǎn)品于第k周期連續(xù)型的隨機需求變量，顧客的需求于第k周期從產(chǎn)品i轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品j的概率為pij>0，其中i,j∈S，其聯(lián)合密度函數(shù)為f(x1k,x2k,…,xNk)，則第n產(chǎn)品于第k+1周期的密度函數(shù)為

(5)

因此，再由n重卷積公式，可得第n產(chǎn)品于第k+1周期的密度函數(shù)，即：

dyi-1dyi+1…dyN。

設EΩnk為第n產(chǎn)品于第k周期的期望成本函數(shù)，聯(lián)合式子(3)和(5)可得：

fXn(k+1)(xn(k+1))dxn(k+1)

(6)

其中

dy1…dyi-1dyi+1…dyN。

若記EΩk+1=V(Q1(k+1),Q2(k+1),…,QN(k+1))為各產(chǎn)品于第k周期的總期望成本函數(shù)，則

(7)

新的報童模型(6)是將競爭因子吸收到模型的理論框架而提出的，使得需求信息得到局部的完備化，充分考慮了由市場中的競爭性而產(chǎn)生產(chǎn)品需求間的關聯(lián)性對庫存系統(tǒng)總期望成本的影響。接下來研究該模型的最優(yōu)解及其性質(zhì)。

1.4 模型的最優(yōu)解

(8)

dy1…dyi-1dyi+1…dyN。

雖然本模型所得出的最優(yōu)訂購策略的表達式較經(jīng)典多產(chǎn)品報童模型的最優(yōu)解，在表述的形式上具有一致性(詳見文[27])，但新模型與經(jīng)典模型的理論基礎具有本質(zhì)上的區(qū)別。經(jīng)典的多產(chǎn)品報童模型不考慮競爭因子對庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購策略的影響，鑒于此理論的局限性，新模型把需求間具有相互轉(zhuǎn)移的特征性納入到理論的框架并建立了帶有馬氏競爭因子的報童模型，完善了相應的理論體系。命題2的結(jié)論表明了庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購策略與需求變量的分布函數(shù)有關，但由于產(chǎn)品的隨機需求變量受到來自于其他產(chǎn)品的需求轉(zhuǎn)移性的影響，因此其分布函數(shù)也隨之發(fā)生變化，故產(chǎn)品間的競爭因子pij對最優(yōu)訂購策略的結(jié)構(gòu)具有重要的影響。

2 模型的仿真與優(yōu)化分析

限于篇幅，本算例只考慮由3種產(chǎn)品形成競爭性關系的情形。設某競爭性多產(chǎn)品庫存系統(tǒng)共由A、B和C產(chǎn)品所構(gòu)成，其在第k周期(庫存系統(tǒng)的初始階段)的需求變量分別為X1k,X2k,X3k，而f(x1k,x2k,x3k)為其初始聯(lián)合密度函數(shù)。出于簡化模型計算過程的考慮，不妨假設(X1k,X2k,X3k)服從多維均勻分布，即(X1k,X2k,X3k)～U(SD)，其中積分區(qū)域D={(x1k,x2k,x3k)|0≤x1k≤30;0≤x2k≤30;0≤x3k≤30}為三維空間R3中的一個有界區(qū)域，其度量為體積。因此，SD=27000，故(X1k,X2k,X3k)的初始聯(lián)合密度函數(shù)為

f(x1k,x2k,x3k)

(9)

2.1 競爭環(huán)境下產(chǎn)品的密度函數(shù)及其分布函數(shù)

在競爭的環(huán)境下，設A產(chǎn)品在下周期的期望需求為X1(k+1)=aX1k+bX2k+cX3k，其中0

(10)

這里假設a≤b+c具有重要的經(jīng)濟管理意義，表明了產(chǎn)品間的競爭比較激烈。事實上，由馬氏需求轉(zhuǎn)移模型可知，競爭因子a=p11為A產(chǎn)品需求的自轉(zhuǎn)率(回頭率)，即顧客的需求于下個周期由A產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到A產(chǎn)品的概率；參數(shù)b=p21,c=p31稱為它轉(zhuǎn)入率，即顧客的需求于下個周期分別由B和C產(chǎn)品轉(zhuǎn)移到A產(chǎn)品的概率。因此，在開放的市場競爭環(huán)境下，當競爭因子a,b,c滿足a≤b+c時(自轉(zhuǎn)率小于或等于它轉(zhuǎn)入率之和)，說明了顧客的回頭率比爭取新顧客率要低。可見，在此情形下企業(yè)對顧客的保持能力以及顧客對企業(yè)的忠誠度較低，從而加劇了產(chǎn)品間的需求轉(zhuǎn)移率的變化，表現(xiàn)出產(chǎn)品間相互競爭的激烈程度。

fX1(k+1)(x)=

同理，可得A和B產(chǎn)品于第k+1周期的密度函數(shù)，其分別為

fX2(k+1)(x)=

fX3(k+1)(x)=

若在市場競爭的環(huán)境下，不考慮競爭因子的影響(即當i=j時,pij=1；否則pij=0)，由邊際分布的理論知識，易得三種產(chǎn)品在下個周期的密度函數(shù)為

(11)

于是，根據(jù)以上的密度函數(shù)，可得各產(chǎn)品的需求變量的分布函數(shù)曲線圖(見圖1)。

圖1 帶有和非帶有競爭因子下的分布函數(shù)

由圖1可知，在不考慮競爭因子的情況下，各產(chǎn)品的分布圖形是一樣的，同為由兩條直線段所構(gòu)成，但在需求帶有競爭因子下各產(chǎn)品的分布圖形各不相同，其形狀在競爭因子的影響下于[0,30]內(nèi)演變?yōu)榍€狀，其中B產(chǎn)品的分布函數(shù)受競爭因子的影響最大?？梢?，各產(chǎn)品的競爭因子直接影響著需求的分布函數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)。由于報童模型的最優(yōu)訂購策略與分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關，因此其之間的關聯(lián)性對系統(tǒng)最優(yōu)解的取值必然施加著重要的作用。顯然，若忽略其競爭因子對最優(yōu)訂購策略的影響，則在競爭的環(huán)境下所構(gòu)建的決策機制在理論上缺乏科學性和合理性，同時也不符合對實際問題的數(shù)學建模的基本要求。

2.2 最優(yōu)訂購策略對成本參數(shù)的敏感性分析

注：由于Matlab中“Data Cursor”項所創(chuàng)建的坐標點的內(nèi)生表示法為(X, Y)，因此以下圖圖中坐標點的X和Y分別表示參數(shù)C和最優(yōu)訂購策略Q。

圖2 單位過剩成本對最優(yōu)訂購策略的影響

圖3 單位缺貨成本對最優(yōu)訂購策略的影響

在需求帶有和非帶有競爭因子的條件下，由圖2和圖3中曲線的內(nèi)在運動規(guī)律可以得出以下的結(jié)論：

(2)根據(jù)各曲線的運動趨勢不難判斷出當參數(shù)C落在區(qū)間[0,10)時，相對在區(qū)間(10,30]而言其圖形較為陡峭，其曲率隨著C值的變小而增大；當C落在區(qū)間(10,30]時，其曲率隨著C值的增大而變小，曲線的形狀漸趨于平坦化。由此，可見當參數(shù)C取值于區(qū)間[0,10)時，相對在區(qū)間(10,30]而言對最優(yōu)訂購策略的影響較大。以上曲線Q的變化規(guī)律具有重要的管理意義：企業(yè)管理者可以利用最優(yōu)訂購策略內(nèi)在的運動特征來獲取商業(yè)談判的重要信息，并以此來制定雙方在利益博弈過程中的策略，通過其曲率大小來預判商業(yè)談判的艱難程度。

雙方若以C=10作為談判單位過剩成本的初始值(即-10≤ΔC≤20)，因為當ΔC<0時，最優(yōu)訂購策略的曲線的形狀比ΔC>0時的陡峭，意味著其在點ΔC+C處的曲率比落在區(qū)間(10,30]上的任意一點的曲率要大，這表明由ΔC<0引起曲線的變化幅度比由ΔC>0引起的大得多，從而可知當ΔC∈[-10,0)時所產(chǎn)生利益的邊際效應比ΔC∈(0,20]時的高。比如：以圖2中的需求非帶有競爭因子情形下各產(chǎn)品最優(yōu)訂購策略的曲線為例，令C1=0，C2=20，則由C=10到C1和C2的增量分別為ΔC1=-10及ΔC2=10。雖然兩個行動的變化幅度相等，但相應的最優(yōu)訂購策略的絕對增量卻分別為|ΔQ1|=23.077和|ΔQ2|=3.01，可見兩者的取值差異性比較大。因此，由上述所分析的ΔC與各方的利益關系可知，當行動ΔC屬于區(qū)間[-10,0)時，每個行動ΔC取值的細微變化，都會引起雙方使用“斤斤計較”的議價策略，不輕易做出相應的讓步，雙方的談判將進入僵局，很難談得攏；當行動ΔC屬于區(qū)間(0,20]時，由于曲線的曲率相對在其他區(qū)間而言較小，曲線的形狀漸趨于平坦化，故此時當ΔC的取值發(fā)生變化時，雙方利益的邊際效應相對較為平穩(wěn)，因此雙方在此區(qū)間上的談判進展情況會較為順利。

(3)記Q0為非帶有競爭因子的各產(chǎn)品最優(yōu)訂購策略，Q1,Q2和Q3分別為帶有競爭因子的A、B和C產(chǎn)品最優(yōu)訂購策略。由圖2可知當C∈[0,2.082]時，有Q0≥Qn(n=1,2,3)，這表明非帶有競爭因子的最優(yōu)訂購策略對單位過剩成本的敏感度比帶有競爭因子的高；當C∈[4.47,30]時，其相關的結(jié)論正好相反。同理，可以通過圖3中的曲線運動規(guī)律，并以分區(qū)間的方式來分析單位缺貨成本對最優(yōu)訂購策略的影響。由參數(shù)C在不同區(qū)間內(nèi)的取值所產(chǎn)生的Q0與Qn之間的關系，易得出一個更為重要的管理啟示，即決策者可以根據(jù)參數(shù)C的取值選擇不同的優(yōu)化庫存系統(tǒng)的策略--單位過剩成本、缺貨成本及競爭因子。事實上，因為當C∈[4.47,30]時，有Q0≤Qn，故決策者可以聯(lián)合三種策略來增加庫存的訂購量，其一是利用單位過剩成本和缺貨成本這兩種策略作為杠桿來調(diào)控庫存的服務水平；其二是利用競爭因子來優(yōu)化分布函數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)，以達到提高各產(chǎn)品的訂購量。然而，當參數(shù)C的取值達到一定的臨界值時，所選擇的策略也發(fā)生改變，比如：因為當C∈[0,2.082]時，有Q0≥Qn，所以聯(lián)合單位過剩成本、缺貨成本及競爭因子等策略作為提高庫存訂購量的手段，其效果不太理想，故選擇 “單位過剩成本和缺貨成本”的策略效果更好一些。

在上述虛擬的多產(chǎn)品競爭環(huán)境下(轉(zhuǎn)移概率矩陣為P)，對于任意C∈[0,30]有Q1>Q3>Q2，這說明在給定單位過剩成本和缺貨成本的條件下，競爭因子對庫存的服務水平起著正面的關鍵作用，能夠提高訂購量，即最優(yōu)訂購策略關于綜合競爭力為單調(diào)遞增函數(shù)。事實上，由轉(zhuǎn)移概率矩陣：

可得A、B和C產(chǎn)品的綜合競爭力分別為p1=p11+p21+p31=1.08，p2=p12+p22+p32=0.89及p3=p13+p23+p33=1.03，故有p1>p3>p2，說明了A產(chǎn)品比其他產(chǎn)品更具有競爭力。因此，在單位過剩成本和缺貨成本給定以及各產(chǎn)品初始需求變量(X1k,X2k,X3k)為同分布的條件下，顧客對A產(chǎn)品的需求量比其它產(chǎn)品的大，所以相應的訂購量也增多。

2.3 競爭因子對最優(yōu)期望利潤的影響及比較分析

通過以上小節(jié)的算例分析易知是否把競爭因子納入模型理論框架之中，對模型的最優(yōu)解具有較大的影響。那么在市場競爭的環(huán)境下，競爭因子到底能夠給庫存管理者帶來怎樣的決策信息？若忽略其存在性會給庫存決策者帶來什么樣的損失？這是本文要解決的核心問題之一。

為了分析馬氏競爭因子對模型的最優(yōu)期望利潤的影響，并解決上述提出的問題，接下來在模型(3)的基礎上，另加引入單位進貨價Cn(k+1)、銷售價Pn(k+1)及回收價Vn(k+1)等模型的參數(shù)。于是，可得產(chǎn)品n在下個周期的期望利潤為

(12)

由此，易得產(chǎn)品n的最優(yōu)訂購量為

(13)

故產(chǎn)品n的最優(yōu)期望利潤為

(14)

2.3.1 真-模型下最優(yōu)期望利潤的敏感性分析

表1 真-模型下競爭因子對最優(yōu)訂購策略及期望利潤的影響

在考慮模型帶有競爭因子(真模型)的情形下，由表1的數(shù)據(jù)實驗結(jié)果可得出以下的重要管理決策信息：11在競爭的環(huán)境下，無論顧客的回頭率(自轉(zhuǎn)率)及它的轉(zhuǎn)入率發(fā)生任何的隨機波動，只要產(chǎn)品的綜合競爭力保持不變，采取穩(wěn)健的訂購策略，相應的庫存系統(tǒng)銷售利潤就具有良好的魯棒性(見A產(chǎn)品數(shù)據(jù)實驗的結(jié)果)；22產(chǎn)品的最優(yōu)訂購策略和期望利潤關于綜合競爭因子為單調(diào)遞增的函數(shù)(見B產(chǎn)品和C產(chǎn)品數(shù)據(jù)實驗的結(jié)果)，決策者可將綜合競爭因子作為訂購策略的杠桿，構(gòu)建科學的決策機制以獲取優(yōu)化庫存系統(tǒng)的決策信息。

2.3.2 偽-模型的訂購策略下最優(yōu)期望利潤的敏感性分析

表2 偽-模型訂購策略下競爭因子對最優(yōu)期望利潤的影響

顯然，由表2的數(shù)據(jù)實驗的結(jié)果可知，在偽-模型下的最優(yōu)訂購策略，決策者在實際中獲得的利潤隨著綜合競爭力的變大而增大，但由于A產(chǎn)品的綜合競爭力保持不變，故其銷售利潤基本不受競爭因子的波動性的影響。然而，結(jié)合表1的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，當M(真-最優(yōu)訂購策略與偽-最優(yōu)訂購策略的距離)逐漸增大時，其在實際中所獲取的利潤也隨之變小，這說明決策者在競爭環(huán)境下，若按偽-模型的理論來制定訂購策略，則當M的取值增大時，其面臨的損失也進一步增大。那么庫存管理者在偽-最優(yōu)訂購策略下，其利潤的損失與競爭因子有著怎樣的關聯(lián)性?下邊的小節(jié)將以圖例的方式來刻畫這個問題，揭示它們之間的內(nèi)在規(guī)律性。

2.3.3 基于偽-模型的訂購決策造成的利潤損失分析

圖4 競爭環(huán)境下各產(chǎn)品的利潤損失曲線

3 結(jié)語

報童模型是庫存系統(tǒng)的基礎理論之一，是構(gòu)建科學決策機制的重要理論依據(jù)。本文主要根據(jù)產(chǎn)品間競爭關系的基本屬性，并以馬氏鏈為理論的導向，利用需求轉(zhuǎn)移矩陣提出了競爭因子和綜合競爭力等概念，刻畫了產(chǎn)品間競爭關系的本質(zhì)特征。在需求信息帶有競爭因子的環(huán)境下，結(jié)合概率論中的多重卷積公式和雅可比行列式，構(gòu)建了帶有馬氏競爭因子的多產(chǎn)品報童模型，并給出了模型的最優(yōu)解。通過新模型的數(shù)值算例的結(jié)果，可以得出以下重要的管理啟示：

1.競爭因子對需求的分布函數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)具有重要的影響，而分布函數(shù)的拓撲結(jié)構(gòu)則進一步影響了庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂購策略。當競爭因子的取值使得綜合競爭力增大時，最優(yōu)訂購量也隨著增大，否則反之。

2.競爭因子與最優(yōu)訂購量Q的圖形分布情況具有密切的關聯(lián)性，庫存管理者可以利用最優(yōu)訂購策略內(nèi)在的運動特征來獲取商業(yè)談判的重要信息，從而制定雙方在利益博弈過程中的策略。當曲線Q的曲率關于競爭因子為單調(diào)遞增時，意味著談判雙方將進入僵局；當競爭因子的取值使得Q的曲率變小時，雙方談判過程的艱難程度則正好相反。

3.帶有競爭因子的報童模型具有重要的決策價值，可為構(gòu)建庫存系統(tǒng)的決策機制提供了重要的理論依據(jù)。本文正面回答了在需求信息帶有競爭因子的環(huán)境下，若忽略競爭因子對庫存系統(tǒng)的影響會給庫存決策者帶來什么樣的損失以及在什么情況下這種損失會比較大等核心問題。

基于傳統(tǒng)報童模型所得出的最優(yōu)訂購策略只跟進價、銷售價、商品的殘值和缺貨成本等非隨機因素有關，從忽略了競爭因子對最優(yōu)解的影響。因此，在市場競爭的環(huán)境下，較于經(jīng)典的報童模型，帶有競爭因子的多產(chǎn)品報童模型的最優(yōu)解更具有一定的優(yōu)越性和客觀實際意義，同時也克服了經(jīng)典模型中的不足之處，進一步豐富了運籌學研究領域的決策理論。作為本模型的后續(xù)拓展性研究工作，可以從如下幾方面展開：其一、沿經(jīng)典主題方向拓展。在庫存系統(tǒng)的優(yōu)化與控制研究中，許多決策理念成為經(jīng)典的研究主題，如價格策略、缺貨、延期供貨、提前期、資金和預算約束等等因素，因此可以引入這些決策理念作為后續(xù)的研究工作。其二、突出時代需求方向拓展，如競爭和合作、協(xié)調(diào)契約、綠色供應鏈等。其三、沿決策維度的多元化方向拓展。隨著決策環(huán)境的進一步復雜化，將多元化決策理念納入模型的框架，已成為當今研究庫存決策問題的主流思想之一。因此，可以將多因素、多約束、多層多級等多元決策理念作為模型的拓展性研究的方向。