基于相對熵方法的長壽債券定價研究

宋平凡，譚常春，祁 毓

(1.合肥工業(yè)大學經(jīng)濟學院,安徽 合肥 230601;2.中南財經(jīng)政法大學財稅學院，湖北 武漢 430073)

1 引言

隨著生活水平的改善和醫(yī)療技術(shù)的進步，我國居民的人均壽命正在大幅提高。根據(jù)世界銀行的數(shù)據(jù)顯示，我國居民的人均出生預期壽命由1990年的69.3歲上升到了2016年的76.2歲。人均壽命大幅改善是社會進步的重要體現(xiàn)，但也給居民養(yǎng)老問題帶來了一定挑戰(zhàn)。尤其是計劃生育國策使我國的人口生育率降低，更加劇了人口老齡化問題。根據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2017年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，截至2017年末，我國60周歲以上的老齡人口占比為17.3%；65周歲以上的老齡人口占比為11.4%。如何應對人口老齡化，如何解決養(yǎng)老問題，正成為當前社會不得不正視的嚴峻現(xiàn)實。由于人口老齡化和居民壽命改善將使得養(yǎng)老金支出大幅增加，我國養(yǎng)老保障的“三支柱體系”均將面臨著隨之而來的財務沖擊。這種由于居民整體壽命改善而給養(yǎng)老基金或保險公司帶來的財務風險被稱為長壽風險。要想妥善處理居民養(yǎng)老所承受的資金壓力，就必須積極主動地尋找科學管理長壽風險的方法，這也與十九大報告提出的“實施健康中國戰(zhàn)略，積極應對人口老齡化”的觀點相契合。

然而長壽風險管理并非易事，由于保險經(jīng)營基本原理是運用大數(shù)定律分散風險，但保險公司和養(yǎng)老金機構(gòu)面臨的長壽風險是不可分散的系統(tǒng)性風險，因而長壽風險管理需借助其他渠道。目前被學界關(guān)注到的長壽風險管理方法主要有兩種，一種被稱為自然對沖[1-3]，該方法是利用壽險業(yè)務和年金業(yè)務現(xiàn)金流變化完全相反的特性，當人均壽命增加時，通過壽險業(yè)務的增值去對沖年金業(yè)務的長壽風險。另一種引起學者關(guān)注的方案則是通過在資本市場發(fā)行金融衍生品(后文對該類衍生品簡稱為長壽衍生品)來對長壽風險進行對沖。在實踐中長壽衍生品也有過先例，比較典型的是歐洲投資銀行(European Investment Bank)和法國巴黎銀行(BNP Paribas)聯(lián)合發(fā)行的長壽債券(后文簡稱EIB/BNP型長壽債券)。該債券的發(fā)行雖然最終并未獲得成功，但作為典型長壽債券實例，仍吸引了學者以之為對象展開研究。一些學者把EIB/BNP作為長壽衍生品的典型案例進行了分析[4-5]，但系統(tǒng)全面地介紹各類長壽衍生品以及長壽債券發(fā)行原理和特點的文獻至少可以追溯到Blake等[6-7]的研究。與一般金融衍生品的發(fā)行相似，長壽衍生品發(fā)行的核心問題是定價。在該問題的研究過程中，學者們進行了大量嘗試和探索，但各種定價方法也不可避免存在局限性。如Friedberg 和Webb[8]運用資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)和基于消費的資本資產(chǎn)定價模型(CCAPM)來對長壽衍生品進行定價，但他們本人也承認實際的風險市場價值要比使用該模型計算得到的結(jié)果高出許多；一些文獻提出了Sharpe比率法[9-10]，但該方法又被認為本質(zhì)上趨同于市場風險價格為常數(shù)情形下的風險中性測度定價方法[11]； Wang[12-13]提出的“Wang轉(zhuǎn)換”方法雖然在長壽衍生品定價領(lǐng)域得到一定應用，但也被質(zhì)疑“并不能提供統(tǒng)一的理論框架”[14-15]。對于各種定價方法的原理和局限，已有部分文獻進行了總結(jié)和比較[16-17]。一些研究也將經(jīng)典的風險中性測度理論引入到長壽衍生品定價領(lǐng)域[18-21]，但在非完全市場中，風險中性測度Q并不唯一。為了解決這個問題，Li[22]使用了Kullback-Leibler相對熵方法(Kullback-Leibler relative entropy, 后文簡稱KL相對熵, 有些場合也將相對熵稱作交叉熵，即cross entropy)。相對熵方法的引入從理論上解決了Q測度的選擇問題。這種方法在后續(xù)有關(guān)定價問題的研究中，也有了更多地應用[21,23]。因此總體來看，在風險中性測度框架下使用相對熵方法是優(yōu)越性相對較高的一種選擇。

對長壽風險衍生品定價而言，除了定價方法和定價理論的選擇，人群的死亡率進行建模和預測也比較重要。早期的死亡率模型以靜態(tài)的模型為主，例如Gompertz模型[24]，Heligman和Pollard[25]提出的HP模型，還有Carriere[26]提出的CR模型等,該類模型的缺點是只考慮年齡因素而不考慮時間因素，適用于配合生命表進行不同年齡死亡率的推算，但無法反映死亡率隨著不同年份的變化趨勢。Lee和Carter[27]提出了既考慮年齡因素也考慮時間因素的動態(tài)死亡率預測模型，即Lee-Carter模型，在此之后，死亡率建模時主要采用的都是動態(tài)化的模型，如Cairns等[28]提出的Cairns-Blake-Dowd兩因子模型(簡稱CBD兩因子模型)。Lee-Carter模型主要用于不同年份的不同年齡群組整體死亡率的建模(如10-14歲群組)，CBD模型則可用于模擬不同年份具體年齡的人群死亡率，且對高齡人口的預測效果要更好一些。近期的相關(guān)死亡率建模開始關(guān)注到不同人群死亡率的相依性，例如Yang和Wang[29]使用向量誤差修正模型研究了不同國家人群死亡率的長期均衡關(guān)系，還有一些研究使用了Copula方法去刻畫了不同人群死亡率相依性的研究[30-31]，但該類研究依賴于較長期的歷史死亡率數(shù)據(jù)建模，目前還不具備使用我國數(shù)據(jù)進行類似建模的條件。

總之，無論是定價方法還是死亡率預測模型的發(fā)展，都推動了長壽衍生品的研究，尤其是關(guān)于長壽債券的研究。作為關(guān)注度較高的長壽衍生品，長壽債券有可能成為實踐中有力的長壽風險管理工具。目前國內(nèi)的學者也開始重視我國的長壽債券定價問題[32-37]。與EIB/BNP這種連續(xù)型的長壽債券不同，國內(nèi)的研究大多構(gòu)造了類似期權(quán)原理的觸發(fā)式長壽債券，這種債券的作用原理與Swiss Re在2003年底發(fā)行的死亡率巨災債券原理相似， 但這種死亡率巨災債券的初衷并非用來對沖長壽風險，相反地，其用途主要是對沖極端災害事件(如地震、海嘯和大范圍疾病)帶來壽險業(yè)務的償付風險，但通過制定不同的標的指數(shù)和觸發(fā)閾值，亦可構(gòu)造出形式相似但用于管理長壽風險的債券。本文期望推動長壽衍生品定價研究的發(fā)展，并為我國長壽風險的有效管理做出貢獻。本文所做的工作主要有：首先以歷年分年齡的死亡率數(shù)據(jù)為基礎，使用更適合高齡人口死亡率建模的CBD兩因子模型對未來不同性別人群的死亡率進行模擬和預測；同時采用相對熵方法，并融合我國金融市場上所擁有的市場風險價值信息，對EIB/BNP型長壽債券進行定價。和之前的研究相比，本文可能的創(chuàng)新點有如下幾條：在研究內(nèi)容上，本文以風險中性測度理論為框架，基于我國死亡率數(shù)據(jù)對EIB/BNP型長壽債券進行定價，同時，定價過程中也考慮了我國金融市場的風險價值信息，使長壽債券定價的結(jié)果與我國人口死亡率情況和金融市場狀況更契合；在研究方法上，本文拓展了相對熵方法在長壽衍生品定價領(lǐng)域的應用，在求解最優(yōu)風險中性測度時不僅使用了KL相對熵，還使用了Tsallis相對熵以及Rényi相對熵方法，保證了計算結(jié)果的穩(wěn)健性；在對實證工作的總結(jié)上，與以往文獻不同，本文并非僅僅列出定價結(jié)果，而是更注重從實證結(jié)果中挖掘出我國長壽風險所面臨的實際特點，以及在長壽風險管理工作中需要注意的問題，可為長壽風險管理提供有價值的參考建議。

2 EIB/BNP長壽債券簡介

限于篇幅，本文僅對EIB/BNP的債券定價發(fā)行和償付機制進行簡單介紹，該債券詳細的發(fā)行流程可見參考文獻[5]。歐洲投資銀行(EIB)和法國巴黎銀行(BNP)于2004年聯(lián)合發(fā)行了面值為5.4億英鎊，期限為25年的長壽債券，該債券主要面向養(yǎng)老基金以及年金機構(gòu)，具有浮動的息票支付，每年向投資者的息票支付為50,000,000×I(t) (單位：英鎊)，其中I(t)表示第t年的生存指數(shù)，該指數(shù)與特定人群的歷年死亡率掛鉤：

(1)

其中mx,t表示在第t年x歲的人群的死亡概率，t=0表示初始計息的前一年份。若在我國發(fā)行該類型債券，為方便討論，假定1×I(t)(單位：元)為息票支付，則該債券在0時刻的定價為

(2)

其中δ表示長壽風險的溢價，代表長壽風險的“市場價格”。需要指出的是，本文對長壽債券進行定價，實質(zhì)上就是計算不同期限長壽債券對應的風險溢價δ。Ft代表到時刻t為止的信息集，B(0,t)代表t時刻償付1元的零息債券以無風險利率(本文設定無風險利率為4%)貼現(xiàn)到0時刻的價格,表示在真實概率測度P下的數(shù)學期望。由于長壽債券與特定人群的死亡率掛鉤，因此我們首先要獲得目標人群未來死亡率的信息，本文以2017年64歲的男性和女性人群為目標人群，為了構(gòu)造債券定價所需的生存指數(shù)，需要對目標人群的死亡率進行預測。

3 CBD兩因子模型

由于相比Lee-Carter模型而言，CBD兩因子模型對高齡人口的預測效果更好，而EIB/BNP型長壽債券正是以高齡人群死亡率構(gòu)造生存指數(shù)的，因此本文采用了CBD兩因子模型建模，并對目標人群的未來死亡率進行模擬。

CBD兩因子模型的基本設定如下：在第t年時年齡為x的群體死亡率mt,x有如下性質(zhì)：

(3)

其中，二維列向量A(t)=(A1(t),A2(t))T服從二維的隨機游走過程

A(t+1)=A(t)+μ+C·Z(t+1)

(4)

其中，μ和C分別是漂移參數(shù)和擴散參數(shù)，μ=(μ1,μ2)T為一個二維的列向量，C為2×2的下三角矩陣，Z(t)=(Z1(t),Z2(t))T是一個兩維的標準正態(tài)分布隨機變量,V-1和μ分別服從Wishart分布和多元正態(tài)分布：

(5)

在這里，V=CCT,即C是V的Cholesky分解,同時還有

D(t)～A(t)-A(t-1)

(6)

通過(4)-(6)式得到模型相關(guān)參數(shù)信息并模擬生成未來的死亡率因子A(t)，再通過(3)式進行轉(zhuǎn)換即可得到目標人群未來死亡率路徑。

4 最小相對熵方法

相對熵是衡量從一個測度轉(zhuǎn)換到另一個測度所獲得的信息增量。從貝葉斯統(tǒng)計學的角度來看，如果新加入的信息使原來的概率發(fā)生變化，那么新的概率測度的選擇應當盡可能產(chǎn)生最小信息增量，這也被稱作最小差別信息準則(Minimum Discrimination Information)[38]。因而通過最小化相對熵我們能夠選擇與真實概率測度P信息量差距最小的風險中性測度Q。相對熵也有不同種類，如經(jīng)典的KL相對熵[39]，此外還有Tsallis相對熵[40]以及Rényi相對熵[41]。Li[22]使用KL相對熵研究長壽債券的定價問題，而 Tsallis相對熵和Rényi相對熵也被用于金融定價領(lǐng)域，例如柳向東和王星蕊[42]以及Dolan等[43]的研究。實際上， Tsallis相對熵和Rényi相對熵包含了更多的參數(shù)，使得模型具有一定的靈活性，同時Tsallis相對熵和Rényi相對熵是KL相對熵的推廣，因而我們將其用于對KL相對熵方法計算得到的結(jié)果進行穩(wěn)健性檢驗。接下來我們分別介紹如何使用三種相對熵來確定最優(yōu)的風險中性測度。

模型1：最小KL相對熵方法

KL相對熵的定義為

(7)

其度量了風險中性測度Q關(guān)于真實測度P的差異程度，EP(·)表示在測度P下的期望算子。假設市場中有m種資產(chǎn)，存在N個概率路徑。當概率路徑數(shù)等于市場中的資產(chǎn)數(shù)量，即N=m時，市場即被稱為完全市場， 此時存在唯一的風險中性測度；當概率路徑數(shù)大于市場中的資產(chǎn)數(shù)量，即N>m時，市場即被稱為非完全市場，此時風險中性測度不唯一。通過最小化KL相對熵方法來求最優(yōu)風險中性測度即解決如下優(yōu)化問題：

(8)

Vi表示資產(chǎn)i的市場價格，fi(wj)表示在第j個概率路徑下第i種資產(chǎn)的價值。

設定拉格朗日函數(shù)形式為：

(9)

則一階條件為：

(10)

模型2：最小Tsallis相對熵方法

Tsallis相對熵的定義為

(11)

使用最小化Tsallis相對熵方法來求最優(yōu)風險中性測度即解決如下優(yōu)化問題

(12)

約束條件和模型1相同。拉格朗日函數(shù)為

(13)

一階條件為

(14)

模型3：最小Rényi 相對熵方法

Rényi 相對熵的定義為

(15)

使用最小Rényi相對熵方法求最優(yōu)風險中性測度即解決如下優(yōu)化問題

(16)

在約束條件不變的情況下，拉格朗日函數(shù)變?yōu)?/p>

(17)

問題求解一階條件為

(18)

通過Matlab軟件進行編程，使用數(shù)值解法在模型1-3中分別求得了最優(yōu)的風險中性測度Q后，依據(jù)公式

(19)

可以計算不同期限T下長壽債券的風險市場價格，即可完成不同期限長壽債券的市場定價。

5 實證模擬

(1)死亡率建模結(jié)果

本文采用了1986年-2016年的男女不同性別人口分年齡死亡率數(shù)據(jù)，1986年—2005年的死亡率數(shù)據(jù)來源為《中國人口統(tǒng)計年鑒》，2006-2016年的死亡率數(shù)據(jù)來源為《中國人口和就業(yè)統(tǒng)計年鑒》，其中1991-1993年對應的年鑒中并未統(tǒng)計分年齡死亡率統(tǒng)計數(shù)據(jù)，故按年份采取平均插值法補齊這三年數(shù)據(jù)。由于早期死亡率數(shù)據(jù)統(tǒng)計僅統(tǒng)計到84歲，故我們選擇60-84歲的人群死亡率數(shù)據(jù)作為來估計CBD兩因子模型的參數(shù)，這一方面是由于長壽債券主要針對高齡人群管理長壽風險，選擇高齡人口建模得到的結(jié)果更準確，對未來死亡率的模擬也更可信,另一方面Cairns等[28]還指出CBD模型對高齡人口死亡率的擬合效果更好，在該論文中他們也選擇60歲以上人群的死亡率數(shù)據(jù)來估計模型的參數(shù)。

圖1 1986年-2016年死亡率因子A1(t)的趨勢

圖2 1986年-2016年死亡率因子A2(t)的趨勢

我們根據(jù)第3部分所列公式計算不同性別高齡人群的死亡率因子A1(t)和A2(t)以及CBD模型的相關(guān)參數(shù)。我們分別將A1(t)和A2(t)展示在圖1和圖2中。從圖中可以看出，對于男性人口的死亡率因子，無論因子A1(t)還是A2(t)均呈現(xiàn)緩慢下降趨勢，對于女性人口的死亡率因子，雖然A1(t)呈現(xiàn)更明顯的下降趨勢，但A2(t)反而呈現(xiàn)略微上升的趨勢。男性死亡率模型的相關(guān)參數(shù)估計結(jié)果為：

而女性死亡率模型的相關(guān)參數(shù)估計結(jié)果為

(2)風險價格信息

風險中性測度方法依賴于現(xiàn)有市場的完全性，現(xiàn)有市場的交易資產(chǎn)越多，能夠提供的關(guān)于風險的市場價格的信息越豐富，長壽債券的定價也會越合理。為此我們需要搜集我國市場上相關(guān)金融資產(chǎn)的信息。從發(fā)行主體來看，長壽債券和金融債類型最為接近。金融債是金融機構(gòu)所發(fā)行的債券，資信水平往往較高，該類債券的收益率相比無風險利率略高。我們從Resset金融數(shù)據(jù)庫中搜集了1998年-2018年發(fā)行的1650只金融債的期限和利率的數(shù)據(jù)，同時Resset數(shù)據(jù)庫還提供了1998-2018年的參考無風險利率。Resset數(shù)據(jù)庫的參考無風險利率數(shù)據(jù)在2002年8月6日之前是三個月銀行定存利率；2002年8月7日-2006年10月7日是三個月期央行票據(jù)利率，2006年10月8日之后的無風險利率是上海銀行間3個月同業(yè)拆借利率，此處使用參考無風險利率僅用于推算金融債的風險溢價，而在進行長壽債券定價所涉及到的無風險利率均如前文設定按常數(shù)4%計。根據(jù)債券的收益率以及無風險利率信息分別推算出了不同期限下的平均風險溢價，同時刪去少數(shù)異常的樣本(如債券期限非整數(shù)年以及風險溢價為負數(shù)等)；由于EIB/BNP債券的期限是25年，我們也剔除了期限超過25年的超長期限債券，防止期限過長影響計算結(jié)果的準確性。我們將最終獲得的6種不同期限金融債的平均風險溢價信息展示在表1中，并將這6種“期限-溢價”的組合分別以A-F表示。A-F這幾種“期限-溢價”組合即代表了當前市場所能提供的6種風險的市場價格信息。

(3)只考慮單個風險價格

假設僅包含單個風險市場價格信息，即僅有一種資產(chǎn)(m=1)，且以組合E的形式出現(xiàn),根據(jù)該組合的期限(10年)和風險溢價(δ=0.0069)代入到式(2)中計算出該資產(chǎn)的價格，并代入模型1- 3的約束條件中，即可分別計算出最優(yōu)風險中性測度Q，然后根據(jù)式(19)計算反推出不同期限的長壽債券的溢價信息。我們將結(jié)果展示在圖3-圖5。

表1 金融市場不同“期限-溢價”組合

圖3 KL相對熵計算的風險溢價(m=1)

首先可以看出，在僅由一種資產(chǎn)提供市場信息時，男女人群長壽風險溢價的整體趨勢差異不大，當債券期限逐漸大于資產(chǎn)E的期限時，男女人群長壽風險的市場價格基本趨同。這種趨勢在使用三種相對熵方法時表現(xiàn)一致；此外在使用Tsallis相對熵和Rényi相對熵時，我們還分別設置了不同模型參數(shù)α和q，但對最終結(jié)果影響很小。這表明了僅包含單個資產(chǎn)信息時，使用相對熵方法以及對不同性別人群的長壽風險進行定價，較難得到的有差異的風險市場價格信息。

圖4 Tsallis相對熵得到的風險溢價 (m=1)

圖5 Rényi相對熵得到的風險溢價 (m=1)

(4)考慮多個風險價格

接下來假設市場包含多個風險市場價格的信息，不妨假設要運用A-F這6種“期限-溢價”組合來為債券正確定價提供信息，即在模型1-3中，m=6。分別根據(jù)式(2)求出這6種資產(chǎn)的價值，并代入模型1-3的約束條件來求解模型，然后將所得到的結(jié)果呈現(xiàn)在圖6-圖8中。

圖6 KL相對熵計算的風險溢價(m=6)

從圖6中可以看出，融合多個風險溢價信息的情況下，無論從不同性別角度，還是從不同期限角度去分析，長壽債券所顯示的風險溢價都已有了顯著變化。無論是以男性人群還是以女性人群的生存指數(shù)為定價標的，風險溢價與債券期限的關(guān)系均呈N型，即風險溢價在較短期限范圍內(nèi)會呈現(xiàn)極大值和極小值，與僅包含單一資產(chǎn)信息情形差別較大。這也是由于新加入的資產(chǎn)信息的約束造成的。從不同性別來看，男性和女性長壽風險的市場價格信息是有差別的，女性長壽風險的市場價格要略高于男性，這種表現(xiàn)尤其在期限較長的債券中更為明顯。這表明，女性長壽風險面臨的不確定性更明顯，因而市場會要求更多的風險溢價，特別是當債券的發(fā)行期限逐漸增長時，女性長壽風險溢價與男性長壽風險溢價的差距更明顯。

在圖7和圖8所展示的分別使用Tsallis相對熵和Rényi相對熵定價的結(jié)果來看，基本上也體現(xiàn)了相似的性質(zhì)。所不同之處表現(xiàn)在，使用Tsallis相對熵和Rényi相對熵進行定價，不同性別的風險溢價體現(xiàn)的差異更加明顯，而當α和q的大小趨近于1的時候，Tsallis相對熵和Rényi相對熵的定價表現(xiàn)又接近于KL相對熵，證明了定價結(jié)論的穩(wěn)定性。

圖7 Tsallis相對熵得到的風險溢價(m=6)

圖8 Rényi相對熵得到的風險溢價(m=6)

同時，通過比較只考慮單個風險市場價格信息和考慮多個風險市場價格信息的情形，我們也發(fā)現(xiàn)，使用相對熵方法進行定價，其結(jié)果對于市場中所能提供的證券數(shù)目較為敏感，體現(xiàn)在m=1和m=6兩種情形下，債券風險溢價隨期限變化而差別巨大。這主要是由于隨著資產(chǎn)數(shù)目的增加，也為整個市場提供了更為豐富的信息，而新信息的加入又必然會影響到風險中性測度的選擇，從而最終影響到債券風險溢價的表現(xiàn)。這也體現(xiàn)了相對熵方法的可塑性，即隨著市場完全度的提高，市場能夠提供的風險價格信息越豐富，債券的定價也將越來越合理。由此可見，增強長壽風險管理能力，并不等價于一味地改進定價技術(shù)和模型，一個健全穩(wěn)定的金融市場反而更能從根本上為長壽風險管理提供巨大的支持。

6 結(jié)語

本文在使用CBD模型對我國男女人群死亡率進行模擬的基礎上，結(jié)合相對熵方法，對我國EIB/BNP型長壽債券進行了定價。定價的過程中，本文盡可能地搜集了金融市場的風險市場價格信息，使定價結(jié)果能夠更貼近我國的實際情況；在定價方法上，選擇不同的相對熵進行比較研究也保證了結(jié)論的穩(wěn)健性。同時本文以性別人群為研究對象進行了定價，結(jié)果發(fā)現(xiàn)女性的長壽風險不確定性更高。本文的研究也證明了應該如何使用長壽債券進行長壽風險管理。在擁有了高齡人口人年齡的歷史死亡率數(shù)據(jù)的觀測值之后，運用本文所展示的方法，可以解決長壽衍生品的定價難題。但本文的研究模型也依賴于對現(xiàn)有金融市場信息的獲取，準確而豐富的市場信息獲取將使得定價更為合理。因此，對于長壽風險的管理，除了要在技術(shù)和產(chǎn)品上進行創(chuàng)新之外，還需要促進金融市場健康持續(xù)的發(fā)展，發(fā)達的金融市場將提供更豐富的產(chǎn)品信息，為長壽風險的管理提供有力的支撐。