新工科背景下《線性代數(shù)》教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)的研究和實(shí)踐*

沈?qū)W文，徐芝琦

（浙江傳媒學(xué)院 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

一、概述

“新工科”是指在新一輪科技和產(chǎn)業(yè)革命以及知識(shí)生產(chǎn)模式轉(zhuǎn)型的背景下，面向當(dāng)前新經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)實(shí)急需和未來(lái)發(fā)展，運(yùn)用新興技術(shù)建設(shè)和發(fā)展一批新興工科形態(tài)，或者改造和升級(jí)一批傳統(tǒng)工科和理科，構(gòu)筑具有跨界整合、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)、應(yīng)用實(shí)踐等特征的中國(guó)本土化的新型工科[1]。

教育部在有關(guān)文件中將新工科的主要研究?jī)?nèi)容歸納為“五個(gè)新”：即工程教育的新理念、學(xué)科專業(yè)的新結(jié)構(gòu)、人才培養(yǎng)的新模式、教育教學(xué)的新質(zhì)量、分類發(fā)展的新體系，這基本包含了新工科的內(nèi)涵[2]。而“復(fù)旦共識(shí)”“天大行動(dòng)”和“北京指南”等的提出，則代表著以新工科為主題的高等工程教育的開(kāi)展已經(jīng)得到了社會(huì)的高度重視。

教學(xué)改革是實(shí)現(xiàn)和發(fā)展新工科教育最重要的方式之一，作為專業(yè)教育中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課程，也應(yīng)該調(diào)整思路，為學(xué)科融合作出改變，加速向新工科教育的轉(zhuǎn)型。具有學(xué)科綜合優(yōu)勢(shì)的綜合性大學(xué)，應(yīng)加強(qiáng)工科與理科的交叉融合發(fā)展，面向未來(lái)新經(jīng)濟(jì)形態(tài)，加強(qiáng)傳統(tǒng)理科的應(yīng)用實(shí)踐性，推動(dòng)應(yīng)用理科向工科延伸的能力，促進(jìn)學(xué)科間的跨界融合發(fā)展[3-5]。

《線性代數(shù)》作為數(shù)學(xué)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，在各個(gè)工程領(lǐng)域，特別是在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)方向作為理論和算法的基礎(chǔ)，其重要性不斷得以體現(xiàn)。近幾年，迅速發(fā)展的人工智能，其基礎(chǔ)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算中，矩陣運(yùn)算又是最主要的部分，這將進(jìn)一步加強(qiáng)線性代數(shù)作為工科基礎(chǔ)課程的地位。

但傳統(tǒng)的《線性代數(shù)》教學(xué)教材內(nèi)容偏向于數(shù)學(xué)理論的教學(xué)，其教育理念偏向于通識(shí)教育理念，面向不同專業(yè)的學(xué)生，在課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)上幾乎一致，專業(yè)區(qū)分度低，結(jié)合學(xué)校特色、專業(yè)領(lǐng)域的內(nèi)容極為欠缺。例如，原先在我校工科專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)中，《線性代數(shù)》課程除了難度略有降低，授課方式和內(nèi)容在不同專業(yè)沒(méi)有什么差別，理論課程教學(xué)和專業(yè)融合難以體現(xiàn)，使得學(xué)生對(duì)于課程知識(shí)與所學(xué)專業(yè)之間難以建立較好的認(rèn)識(shí)。

我校動(dòng)畫(huà)、數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)，《線性代數(shù)》課程知識(shí)中的圖形變換、線性變換等知識(shí)與專業(yè)知識(shí)之間有著密不可分的聯(lián)系，但實(shí)際教學(xué)內(nèi)容中并未采用合適的案例建立知識(shí)聯(lián)系。加之《線性代數(shù)》課程本身具有高度的抽象性和邏輯推理論證，也加大了學(xué)生的課程學(xué)習(xí)難度，導(dǎo)致學(xué)生難以理解也無(wú)法建立和專業(yè)知識(shí)的聯(lián)系；同時(shí)，《線性代數(shù)》的課程教學(xué)課時(shí)少、容量大，對(duì)專業(yè)融合提出了更高的要求。因此，如何設(shè)計(jì)課程教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行線性代數(shù)課堂教學(xué)改革，并適應(yīng)新工科背景下的專業(yè)融合需求成為當(dāng)務(wù)之急。

在多年教學(xué)的基礎(chǔ)上，筆者在浙江傳媒學(xué)院數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)進(jìn)行了相關(guān)課程教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)，嘗試實(shí)踐新工科背景下基礎(chǔ)理論課程與專業(yè)內(nèi)容跨界整合，基于專業(yè)特色，進(jìn)行線性代數(shù)內(nèi)容的調(diào)整，并結(jié)合專業(yè)領(lǐng)域的案例講解，以期實(shí)現(xiàn)線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)知識(shí)的深度融合，通過(guò)實(shí)踐證明教學(xué)效果良好。

二、教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)與教學(xué)設(shè)計(jì)

新工科背景下，強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的前沿性、新穎性與實(shí)踐可推廣性[6]，而傳統(tǒng)的教學(xué)以通識(shí)教育為主，教師的教學(xué)內(nèi)容主要集中于教材中的基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生接受到的教學(xué)內(nèi)容來(lái)源比較單一，這些知識(shí)非常經(jīng)典，但是在拓寬學(xué)生的思維和應(yīng)用能力的培養(yǎng)方面略顯不足。因此作為工科專業(yè)的基礎(chǔ)理論課程，如何調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與工科專業(yè)融合也是必須要仔細(xì)思考的問(wèn)題。故從學(xué)校的定位、特色和學(xué)科優(yōu)勢(shì)，找準(zhǔn)在行業(yè)中的地位與作用，設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)體系、課程與實(shí)踐環(huán)節(jié)[7]，不失為一個(gè)解決之道。

在此理念下，筆者對(duì)《線性代數(shù)》課程內(nèi)容進(jìn)行了重構(gòu)，建立基礎(chǔ)理論知識(shí)和專業(yè)知識(shí)有機(jī)融合的課程內(nèi)容，精選本課程與其他專業(yè)課程在行業(yè)中的案例，實(shí)施了教學(xué)改革實(shí)踐，學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，也能啟發(fā)學(xué)生的應(yīng)用思維。

1.課程內(nèi)容和專業(yè)知識(shí)之間的融合重構(gòu)

國(guó)內(nèi)的《線性代數(shù)》教材內(nèi)容的結(jié)構(gòu)大多是以行列式為初始，在內(nèi)容的安排上，也涉及到了一些應(yīng)用的案例，但大多是求解線性方程組的知識(shí)，以“靜態(tài)”的求解案例居多，而與專業(yè)發(fā)展相關(guān)的“動(dòng)態(tài)”案例較少。筆者與專業(yè)教師進(jìn)行協(xié)作，重構(gòu)了《線性代數(shù)》的教學(xué)內(nèi)容。

在內(nèi)容上，我們定位于空間的本質(zhì)是容納運(yùn)動(dòng)，以向量及相關(guān)知識(shí)為起點(diǎn)，引入矩陣為運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)提供理論支撐，在線性空間中實(shí)現(xiàn)變換，既包括空間中圖形的點(diǎn)變換，也包括基坐標(biāo)的變換，同時(shí)引入矩陣的特征值的定義，為后續(xù)的機(jī)器學(xué)習(xí)等知識(shí)建立基礎(chǔ)。在知識(shí)不減少的前提下，對(duì)原有案例進(jìn)行了調(diào)整，所有的案例選擇和知識(shí)的講解都圍繞著動(dòng)畫(huà)專業(yè)展開(kāi)。在教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)上努力嘗試實(shí)現(xiàn)從以學(xué)科為中心到以專業(yè)為中心的轉(zhuǎn)變[8]，具體見(jiàn)圖1。

由圖1可知，在課時(shí)總量不變的情況下，重構(gòu)后的教學(xué)內(nèi)容在圍繞著動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)專業(yè)學(xué)生圖形運(yùn)動(dòng)為中心的基礎(chǔ)上，調(diào)整了知識(shí)的順序，把運(yùn)動(dòng)定義為向量終點(diǎn)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)到點(diǎn)的位置變化，進(jìn)而引入容納向量運(yùn)動(dòng)的空間——向量空間；在圖形變換中，從二維變換到三維變換，從點(diǎn)坐標(biāo)變換到基坐標(biāo)變換進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生對(duì)變換有了更深刻的認(rèn)識(shí)，也了解到圖形的變換用基坐標(biāo)的變換可以減少計(jì)算量，更突出了基坐標(biāo)在變換中所起的作用，同時(shí)讓學(xué)生從不同角度理解運(yùn)動(dòng)變換的矩陣實(shí)現(xiàn)效果。

這樣的方式彌補(bǔ)了調(diào)整前案例與專業(yè)之間脫節(jié)的缺陷，在新的教學(xué)案例中突出了運(yùn)動(dòng)和變換，這也是動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)和游戲開(kāi)發(fā)所必須具備的知識(shí)，為后續(xù)學(xué)生的專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)打下了較為扎實(shí)的基礎(chǔ)。

圖1 教學(xué)內(nèi)容重構(gòu)前后對(duì)比圖

2.進(jìn)行課程教學(xué)與專業(yè)知識(shí)融合的教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）傳統(tǒng)工科和新工科背景下課程教學(xué)設(shè)計(jì)的模式變化

侯赤等指出以創(chuàng)新能力培養(yǎng)為要素的新工科建設(shè)對(duì)課程群教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段和教學(xué)模式都提出了全新要求[9]。比較傳統(tǒng)工科和新工科背景下的課程教學(xué)理念，傳統(tǒng)工科建立在通識(shí)教育的理念下，而新工科建立在構(gòu)建符合專業(yè)特色的課程教學(xué)理念下，故在教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)方面：教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)方式、教學(xué)效果的應(yīng)用課程模式上也會(huì)相應(yīng)產(chǎn)生變化，具體見(jiàn)表1。

表1 比較傳統(tǒng)工科和新工科背景下課程教學(xué)設(shè)計(jì)的模式變化

（2）借助于現(xiàn)代信息技術(shù)，教學(xué)模式設(shè)計(jì)的變化

在新的教學(xué)模式實(shí)踐過(guò)程中，借助于現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，強(qiáng)調(diào)實(shí)現(xiàn)線上和線下教學(xué)融合，調(diào)研學(xué)生學(xué)情，設(shè)計(jì)混合式的課堂教學(xué)模式（見(jiàn)圖2），強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)去思考、主動(dòng)去實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力，實(shí)現(xiàn)組內(nèi)合作、組間互學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)的渠道不僅來(lái)自于教師，也來(lái)自于同伴，形成動(dòng)腦互辯的思維學(xué)習(xí)模式，有利于打破傳統(tǒng)接受知識(shí)的慣性思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

圖2 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)模式

在實(shí)施上，我們構(gòu)建了線上線下互通互融的教學(xué)過(guò)程。在課前，精選網(wǎng)絡(luò)課程視頻或者錄制符合學(xué)生課程內(nèi)容的微課，為課堂教學(xué)的預(yù)習(xí)提供準(zhǔn)備。在課中，引入翻轉(zhuǎn)課堂進(jìn)行混合式教學(xué)，強(qiáng)調(diào)從教師為中心的模式真正轉(zhuǎn)變到以學(xué)生為中心，以知識(shí)傳授為主轉(zhuǎn)變到以能力培養(yǎng)為主，以單一渠道獲取知識(shí)轉(zhuǎn)變到多渠道獲取，以單向輸入轉(zhuǎn)變到雙向反饋的模式。通過(guò)各種案例的講解、討論、練習(xí)和反饋，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中真正成為主動(dòng)的參與者。

三、具體專業(yè)融合教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐案例

重構(gòu)的體系需要整合新的實(shí)例來(lái)完成，我們利用另一門(mén)課Processing已經(jīng)開(kāi)設(shè)的條件，從Processing圖形直觀的動(dòng)態(tài)變換中引出教學(xué)案例，如圖3所示。在案例教學(xué)中，讓學(xué)生觀察圖形變換Processing動(dòng)畫(huà)的播放過(guò)程，能夠清楚地得到圖形變換可以通過(guò)圖形關(guān)鍵點(diǎn)的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而探究如何通過(guò)矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)圖形的變換。

圖3 Processing中的圖像變換

通過(guò)這樣的方式，引入了二維圖形變換中的縮放和旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其中縮放變換矩陣為：

旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

進(jìn)一步引入縮放旋轉(zhuǎn)組合矩陣即為上述兩個(gè)矩陣的乘積：

圖3-a為圖3-b的縮放矩陣乘法運(yùn)算的結(jié)果，圖3-c即為對(duì)圖3-a進(jìn)行上述組合矩陣的乘法運(yùn)算結(jié)果。從而引出動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)中的一些人物圖形的變換是由相應(yīng)的矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)的效果。

引入了二維情形點(diǎn)坐標(biāo)的線性變換，由淺入深，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生考慮要如果實(shí)現(xiàn)上述旋轉(zhuǎn)的效果，事實(shí)上通過(guò)基坐標(biāo)的線性變換也可達(dá)到相同效果，具體見(jiàn)圖4中的a-c[10]，其也是對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行矩陣的乘法運(yùn)算。

圖4 基坐標(biāo)變換示意圖

在理解了二維圖形的旋轉(zhuǎn)變換和縮放變換背后的數(shù)學(xué)思想是可以用矩陣的乘法運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的，這一想法就可以進(jìn)一步延伸拓展到三維空間中。

在三維空間的變換中，有分別繞x、y、z軸的三種不同的變換情況，即對(duì)應(yīng)著不同的變換矩陣。根據(jù)一個(gè)基礎(chǔ)的向量或者點(diǎn)進(jìn)行乘法運(yùn)算。

比方說(shuō)繞著z軸轉(zhuǎn)，其變換矩陣為：

其他情況，依此類推。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)引入仿射變換的知識(shí)，這樣就把包含動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)的圖形變換中涉及的線性代數(shù)運(yùn)用的整個(gè)相關(guān)知識(shí)關(guān)聯(lián)，并讓學(xué)生在線性代數(shù)的知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中和專業(yè)知識(shí)融合，更直觀地體現(xiàn)理論知識(shí)，讓知識(shí)之間既生動(dòng)又有聯(lián)系。

本課的案例教學(xué)課堂氣氛比較活躍，由于和學(xué)生所學(xué)專業(yè)相契合，學(xué)生的興趣頗濃，而且內(nèi)容涉及到動(dòng)畫(huà)實(shí)現(xiàn)的直觀效果，其中編程代碼與學(xué)生的操作課Processing和另一門(mén)課程《游戲與開(kāi)發(fā)入門(mén)》相融合，加強(qiáng)了學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。

進(jìn)行重構(gòu)內(nèi)容教學(xué)有益于學(xué)生直觀理解線性代數(shù)的知識(shí)，傳統(tǒng)的《線性代數(shù)》教學(xué)晦澀難懂，對(duì)于學(xué)生而言不知道所學(xué)有何用，雖然也有應(yīng)用的案例，但這些案例與專業(yè)融合度較低，雖然面面俱到，但都是淺嘗輒止。筆者對(duì)《線性代數(shù)》課程教學(xué)內(nèi)容的重構(gòu)實(shí)踐進(jìn)行了三期，在實(shí)踐的過(guò)程中不斷地進(jìn)行調(diào)整，其中課程知識(shí)的講授時(shí)間分配給了案例實(shí)踐，同時(shí)對(duì)比不同的教學(xué)課程班進(jìn)行卷面期末成績(jī)比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)差距微小，但評(píng)價(jià)整個(gè)課程教學(xué)的過(guò)程，課堂氣氛活躍度增加，學(xué)生的發(fā)言更加積極主動(dòng)，學(xué)生在對(duì)學(xué)科融合的課程中進(jìn)行《線性代數(shù)》的學(xué)習(xí)興趣度增加。

四、結(jié)論

新工科背景下對(duì)于專業(yè)的設(shè)置有了更新、更高的要求，以社會(huì)需求和學(xué)生需求為目標(biāo)導(dǎo)向，專業(yè)的課程設(shè)置也有了進(jìn)一步改革的需要。具體到每門(mén)課程，需要教師能與時(shí)俱進(jìn)地作出相應(yīng)的改變，但是真正涉及到細(xì)化的操作，改變還存在著諸多問(wèn)題。

本文針對(duì)《線性代數(shù)》學(xué)科，具體對(duì)實(shí)踐教學(xué)改革總結(jié)如下：

1.創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的內(nèi)容情境，提升教學(xué)效果

新工科的教學(xué)理念，需要教師能主動(dòng)打破傳統(tǒng)教學(xué)課程之間的壁壘，以系統(tǒng)化、全局化的思維方式對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整，要對(duì)自己所教的知識(shí)熟悉其實(shí)際應(yīng)用，也要對(duì)專業(yè)的學(xué)科有一定的了解，對(duì)課程之間進(jìn)行內(nèi)容的融合和滲透處理，使學(xué)生在掌握理論知識(shí)的同時(shí)，也能意識(shí)到實(shí)際的應(yīng)用；同時(shí)，與專業(yè)教師要多溝通，也可以進(jìn)行課程間的融合，選取課程內(nèi)容時(shí)不僅要選擇和專業(yè)相關(guān)的案例，比如在數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)增加了變換和動(dòng)畫(huà)實(shí)現(xiàn)之間的聯(lián)系；在信息工程專業(yè)，增加了簡(jiǎn)單的機(jī)器學(xué)習(xí)的知識(shí)，并給學(xué)生一定的直觀演示，創(chuàng)設(shè)一個(gè)學(xué)生熟悉的內(nèi)容情境，這樣在學(xué)生熟悉、感興趣的前提下，激發(fā)了學(xué)生的積極參與度，引導(dǎo)知識(shí)內(nèi)容和基于情境的學(xué)生之間的互動(dòng)，產(chǎn)生更好的教學(xué)效果。

2.增加教學(xué)實(shí)踐課程比例，內(nèi)化理論知識(shí)的掌握

課程教學(xué)內(nèi)容的體系中應(yīng)增加實(shí)驗(yàn)或者實(shí)踐課程比例，在數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)，有一門(mén)Processing課程，讓學(xué)生自己動(dòng)手編程實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)效果，以使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的過(guò)程中能更深入地理解理論的知識(shí)，從而讓學(xué)生從被動(dòng)地接受學(xué)習(xí)引導(dǎo)到主動(dòng)地去解決問(wèn)題，實(shí)踐的過(guò)程亦是尋找知識(shí)的過(guò)程，使學(xué)科知識(shí)與專業(yè)知識(shí)融合、理論與工程實(shí)踐結(jié)合，以起到內(nèi)化課程理論知識(shí)的作用。

3.鼓勵(lì)學(xué)生參加各類競(jìng)賽項(xiàng)目，增強(qiáng)專業(yè)知識(shí)的創(chuàng)新性運(yùn)用能力

積極鼓勵(lì)學(xué)生成立實(shí)踐團(tuán)隊(duì)，多參加各類競(jìng)賽及研究性項(xiàng)目，例如鼓勵(lì)信息工程類學(xué)生參加中國(guó)大學(xué)生服務(wù)外包創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)大賽，大賽題目涉及到機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析，這些都和線性代數(shù)相關(guān)。同時(shí)，通過(guò)競(jìng)賽可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體特點(diǎn)，發(fā)揮各自的特長(zhǎng)，培養(yǎng)其創(chuàng)造性的思維和創(chuàng)新能力，增強(qiáng)其自我學(xué)習(xí)能力。

4.提供教師成長(zhǎng)的機(jī)會(huì)和空間，育生與育師并進(jìn)

新工科的專業(yè)和課程要求，對(duì)教師接受新知識(shí)的敏感性、對(duì)新領(lǐng)域的領(lǐng)悟性、對(duì)新的教學(xué)方式的應(yīng)變性等方面的能力也都有較高的要求。教師需要不斷接觸新領(lǐng)域、新應(yīng)用背后的那些隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí)。對(duì)外交流是一個(gè)較好的提升教師的方式，學(xué)校要給予資金上的鼓勵(lì)和投入，提供教師成長(zhǎng)的空間和土壤，讓“育學(xué)生+育教師”協(xié)同并進(jìn)。

五、思考

新工科的教育，對(duì)管理者、教師和學(xué)生都是一個(gè)極大的挑戰(zhàn)，特別是對(duì)傳統(tǒng)學(xué)科的教學(xué)而言，要求擁有更廣的視野、更高的能力，如何科學(xué)有效地設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理論課程和專業(yè)課程的融合教學(xué)內(nèi)容和案例，既能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，又能達(dá)到培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維學(xué)生的效果，更能突出個(gè)性特性，顯示更多的創(chuàng)造性？而且在實(shí)踐中，其內(nèi)容也要與時(shí)俱進(jìn)，這不僅要求教師投入大量的精力和時(shí)間，對(duì)其能力也提出了更高的要求。這些都是高校教育管理者不得不深入思考和解決的問(wèn)題。