兩自由度機(jī)械手臂的交叉耦合模糊邏輯控制*

鄭偉勇， 李艷瑋， 周 兵

(1. 河南工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院， 鄭州 451191； 2. 鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院， 鄭州 450052)

兩自由度機(jī)械手臂在制造業(yè)、農(nóng)業(yè)和建筑等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]，但任何一個(gè)系統(tǒng)都存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特征，外部變化的干擾使得其辨識(shí)過(guò)程要比只存在內(nèi)部變化的系統(tǒng)復(fù)雜得多，而對(duì)系統(tǒng)的辨識(shí)過(guò)程通常是以犧牲可靠性和精確度為代價(jià)的.因此，確定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化和執(zhí)行過(guò)程的自適應(yīng)評(píng)估在實(shí)際應(yīng)用中是非常有效的[4].控制問(wèn)題必須考慮結(jié)構(gòu)或非結(jié)構(gòu)的不確定性、非線性以及控制目標(biāo)，則解析設(shè)計(jì)域內(nèi)的自由度必然減少，需要采用一定的適應(yīng)性方法來(lái)解決上述難題.

根據(jù)操作人員的經(jīng)驗(yàn)發(fā)展而來(lái)的模糊邏輯能夠有效地抑制時(shí)變特性、噪聲測(cè)量和建模動(dòng)態(tài)等因素導(dǎo)致的不利影響[5].文獻(xiàn)[6]關(guān)于模糊控制器的設(shè)計(jì)無(wú)法系統(tǒng)地解決系統(tǒng)魯棒性不確定問(wèn)題，存在一定的缺陷，現(xiàn)有的研究成果主要集中于模糊系統(tǒng)的改進(jìn)；張小娟[7]改進(jìn)了一種自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)能夠非常有效地提高模糊系統(tǒng)的實(shí)際性能，且輸出是輸入矢量的線性方程；Su等[8]基于Takagi-Sugeno模糊在線性系統(tǒng)模型空間內(nèi)進(jìn)行插值，充分利用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的主要特征對(duì)相應(yīng)的關(guān)鍵問(wèn)題進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[9]提出了參數(shù)化的模糊交集，在聚合規(guī)則的前提下提供一個(gè)自適應(yīng)學(xué)習(xí)的可能性.

1 機(jī)械手臂建模

兩自由度機(jī)械手臂通常采用液壓驅(qū)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)主要為基軸和肩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度直接決定機(jī)械手臂運(yùn)動(dòng)的軌跡，而該運(yùn)動(dòng)的精度則關(guān)系到機(jī)械手系統(tǒng)設(shè)計(jì)的性能指標(biāo).兩自由度機(jī)械手的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)模型[10]如圖1所示.

圖1 兩自由度機(jī)械手臂的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Simplified structural model of mechanical arms with 2-DOF

首先需要建立兩自由度機(jī)械手系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

M(θ)θ+C(θ，θ)θ+G(θ)=τ

(1)

(2)

式中：M(θ)、C(θ)、G(θ)和τ分別為狀態(tài)變化慣量矩陣、哥氏力分量、重力分量和輸入扭矩；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；S為動(dòng)能；θ2為懸臂的旋轉(zhuǎn)角度；m2為懸臂的質(zhì)量；r1為基軸與立臂的距離.哥氏力可表示為

(3)

(4)

式中：hc1和hc2為勢(shì)能；l2為懸臂長(zhǎng)度；θ1為基軸的旋轉(zhuǎn)角度.重力分量可表示為

(5)

式中：?為偏微分符號(hào)；r2為肩軸轉(zhuǎn)動(dòng)半徑.

考慮到液壓缸的運(yùn)動(dòng)直接決定肩軸的轉(zhuǎn)角，故需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.根據(jù)機(jī)械手臂的通用模型可知，液壓回路的動(dòng)力學(xué)方程是非線性的，但液壓缸和電動(dòng)機(jī)的方程非常相似，通用數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(6)

式中：pA和pB分別為兩個(gè)液壓缸內(nèi)部的壓力；AA和BB分別為液壓缸活塞的面積；y為液壓缸活塞位移；Fc為液壓缸推力；Fμ為摩擦力；μ為輸入信號(hào)的數(shù)值.

采用波長(zhǎng)為550 nm的光作為入射光,在循環(huán)伏安特性曲線測(cè)試中即時(shí)記錄光的透過(guò)率曲線,稱(chēng)為時(shí)間依賴(lài)性曲線(見(jiàn)圖6,電解液為1 mol/L LiClO4).在電致變色薄膜中,將著色態(tài)/漂白態(tài)所表現(xiàn)的光透過(guò)率的低/高值標(biāo)記為T(mén)c/Tb.光的透過(guò)率差值ΔTλ=550 nm(Tb-Tc)是描述薄膜電致變色性能的一個(gè)重要指標(biāo)(見(jiàn)圖7(a)),隨著循環(huán)伏安特性曲線測(cè)試的進(jìn)行,ΔTλ=550 nm值有所衰減,這也表明了電致變色性能的衰退.通常,用電致變色效率η來(lái)衡量材料的電致變色性能,計(jì)算公式如下:

2 交叉耦合FLC控制器的設(shè)計(jì)

復(fù)雜伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型難以獲得的，因此，采用模糊控制器FLC對(duì)機(jī)械手臂進(jìn)行控制，可以有效避免冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)建模過(guò)程[11-12].此外，考慮到交叉耦合控制器對(duì)多自由度系統(tǒng)具有同步性高、穩(wěn)定性好和收斂速度快等諸多優(yōu)點(diǎn)，本文采用兩個(gè)模糊邏輯控制器FLCθ1和FLCθ2分別對(duì)機(jī)械手的懸臂軸和立臂軸進(jìn)行交叉耦合控制，并對(duì)立臂軸和懸臂軸輸出轉(zhuǎn)角的相對(duì)誤差er進(jìn)行交叉耦合反饋，控制流程如圖2所示.其中，θ1和θ2分別為立臂軸和懸臂軸實(shí)際轉(zhuǎn)過(guò)的角度，θ1R和θ2R分別為模糊邏輯控制器的輸入值.

圖2 交叉耦合兩級(jí)模糊邏輯控制器流程圖Fig.2 Flow chart of cross-coupled two stage fuzzy logic controller

本文采用一種交叉耦合兩級(jí)模糊邏輯控制方法，主要特征在于相對(duì)誤差分量的交叉耦合.對(duì)于該交叉耦合兩級(jí)模糊系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，第j軸向子系統(tǒng)的模糊規(guī)則包括兩個(gè)輸入和一個(gè)輸出，可通過(guò)“IF-THEN”的形式進(jìn)行表述，即

第二級(jí)：IFUj1是AI3且erj是AI4，THENUj2是Bf2(I3，I4).

(7)

式中：k為第k個(gè)時(shí)間間隔；m為時(shí)間間隔的總數(shù)量.控制器設(shè)計(jì)的目的在于使誤差狀態(tài)趨近到系統(tǒng)的原點(diǎn)，為了求解性能指標(biāo)Jj的最小值，推導(dǎo)其相對(duì)于erj和uj1的偏導(dǎo)數(shù)，即

(8)

(9)

根據(jù)最優(yōu)控制原則，控制輸入信號(hào)可表示為

(10)

式中，GUj為第二級(jí)控制系統(tǒng)的輸出放大系數(shù).定義fj2(erj，uj1)=-(|uj1|+uj1+|erj|+erj)/Δ.為了提升模糊系統(tǒng)性能，第二級(jí)系統(tǒng)的輸出放大系數(shù)選擇為GUj=cj|Ej|.同時(shí)，第二級(jí)系統(tǒng)的模糊規(guī)則生成函數(shù)可表示為

(11)

(12)

其中，round(x)為最接近于x的整數(shù).由式(9)可知，大多數(shù)的負(fù)梯度-|jj|表明uj1是最大值，本文第一級(jí)系統(tǒng)采用uj1的正梯度，即

(13)

采用與上文類(lèi)似的方法，第一級(jí)系統(tǒng)的輸出可表示為

(14)

類(lèi)似于第二級(jí)的規(guī)則生成方法，第一級(jí)系統(tǒng)的規(guī)則生成函數(shù)可表示為

(15)

交叉耦合模糊控制系統(tǒng)的模糊規(guī)則集合如表1、2所示.其中，第一列表示誤差，第一行表示誤差變化，中間為輸出變量.提取方法主要以控制工程知識(shí)和成熟的控制經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以操作人員的實(shí)際控制過(guò)程為基礎(chǔ)進(jìn)行模型提取.

表1 子系統(tǒng)第二級(jí)模糊規(guī)則集合Tab.1 Fuzzy rule set at second stage of subsystem

表2 子系統(tǒng)第一級(jí)模糊規(guī)則集合Tab.2 Fuzzy rule set at first stage of subsystem

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證交叉耦合模糊控制器的有效性和可行性，利用MATLAB Simulink對(duì)設(shè)計(jì)的兩自由度機(jī)械手臂控制器的階躍響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并將其與傳統(tǒng)PID控制器、基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器[14]的性能進(jìn)行比較.

3.1 立臂和懸臂轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)

兩自由度機(jī)器人的基軸轉(zhuǎn)角θ1和肩軸轉(zhuǎn)角θ2分別設(shè)定為20°、40°和60°，圖1中機(jī)械手臂的物理參數(shù)設(shè)定如表3所示.

表3 兩自由度機(jī)器人的參數(shù)Tab.3 Parameters for robot with 2-DOF

采用傳統(tǒng)PID控制器、基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器和交叉耦合模糊邏輯控制器對(duì)機(jī)械手臂兩軸轉(zhuǎn)角θ1和θ2的階躍響應(yīng)分別進(jìn)行數(shù)值模擬，不同轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)特征分別如圖3、4所示.

由圖3、4可知，對(duì)于傳統(tǒng)的PID控制器和基于遺傳算法優(yōu)化改進(jìn)的控制器來(lái)說(shuō)，基軸和肩軸的轉(zhuǎn)角θ1和θ2的階躍響應(yīng)均存在明顯震蕩，且轉(zhuǎn)動(dòng)震蕩的幅值隨著預(yù)設(shè)穩(wěn)定值的增大而增強(qiáng)，表明傳統(tǒng)PID控制器會(huì)引起機(jī)械手臂運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性，從而導(dǎo)致控制性能急劇惡化，并可能對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)本身造成硬件損傷.其中，傳統(tǒng)PID控制器對(duì)于θ1和θ2的階躍響應(yīng)分別存在約5%和12%的超調(diào)量，相對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定時(shí)間分別約為0.1和0.15 s，這顯然難以滿(mǎn)足兩自由度機(jī)械手臂對(duì)控制系統(tǒng)的性能要求.另外，基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器相較于傳統(tǒng)PID控制器階躍響應(yīng)相對(duì)較小，同時(shí)對(duì)應(yīng)的控制穩(wěn)定時(shí)間相對(duì)較短.本文搭建的交叉耦合模糊邏輯控制系統(tǒng)對(duì)機(jī)械手臂基軸和肩軸轉(zhuǎn)角θ1和θ2的階躍響應(yīng)均沒(méi)有震蕩和超調(diào)量，表明該控制系統(tǒng)具有優(yōu)異的控制性能，非常有利于提高機(jī)械手臂的運(yùn)動(dòng)精度和穩(wěn)定性.

圖3 不同控制器對(duì)轉(zhuǎn)角θ1的階躍響應(yīng)Fig.3 Step response of angle θ1 with different controllers

圖4 不同控制器對(duì)轉(zhuǎn)角θ2的階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of angle θ2 with different controllers

3.2 軌跡跟蹤誤差

根據(jù)以上三種控制器對(duì)不同大小轉(zhuǎn)角的階躍響應(yīng)控制可以看出，轉(zhuǎn)角θ1和θ2越大，相應(yīng)的控制精度會(huì)降低，因此有必要對(duì)轉(zhuǎn)角θ1和θ2的軌跡跟蹤誤差進(jìn)行分析.選擇θ1和θ2均為40°的轉(zhuǎn)角作為分析對(duì)象，對(duì)比傳統(tǒng)PID控制器、基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器以及本文的交叉耦合模糊控制器的轉(zhuǎn)角誤差曲線，結(jié)果如圖5、6所示.

圖5 三種控制器對(duì)轉(zhuǎn)角θ1的跟蹤誤差曲線Fig.5 Tracking error curves of angle θ1 with 3 controllers

圖6 三種控制器對(duì)轉(zhuǎn)角θ2的跟蹤誤差曲線Fig.6 Tracking error curves of angle θ2 with 3 controllers

由圖5、6可知，交叉耦合模糊控制器相較于其他兩種控制器具有控制精度高和收斂速度快的特點(diǎn).交叉耦合模糊邏輯控制系統(tǒng)對(duì)立臂轉(zhuǎn)角θ1和懸臂轉(zhuǎn)角θ2階躍響應(yīng)的穩(wěn)定時(shí)間分別為0.05和0.12 s，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器和遺傳算法優(yōu)化PID控制器.另外，傳統(tǒng)PID控制器和基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器跟蹤誤差大致穩(wěn)定在12%和8%，而交叉耦合模糊邏輯控制系統(tǒng)控制精度能夠達(dá)到5%以下，使其能夠完全滿(mǎn)足兩自由度機(jī)械手臂對(duì)其控制系統(tǒng)的性能要求.

4 結(jié) 論

針對(duì)兩自由度機(jī)械手臂難以建立數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，采用模糊邏輯控制方法設(shè)計(jì)了一種交叉耦合的兩級(jí)控制系統(tǒng)，從而簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度，避免機(jī)械手系統(tǒng)的非線性建模過(guò)程.利用MATLAB Simulink對(duì)設(shè)計(jì)的兩自由度機(jī)械手臂控制器的階躍響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并將其與傳統(tǒng)PID控制器、基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器的性能進(jìn)行仿真比較.仿真結(jié)果表明，交叉耦合模糊邏輯控制器的控制穩(wěn)定性、超調(diào)量、響應(yīng)速度和控制魯棒性等性能均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器以及基于遺傳算法優(yōu)化的PID控制器.