存在死區(qū)的雙柔桿空間機器人有限時間控制與抑振

黃小琴 陳 力

1.福州大學機械工程及自動化學院，福州，350116 2.福州大學福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州，350116

空間機器人可以取代宇航員執(zhí)行出艙活動，從而減降風險成本，因此許多學者對其展開研究[1-2]。柔性空間機器人因其重量輕、機械臂長、載重量大，各方展開了廣泛的研究。由于機器人的剛性運動和柔性振動相互作用，且各柔桿的振動模態(tài)之間也存在耦合，所以對于具有非線性強耦合特性的柔性空間機器人，其控制問題既要關(guān)注桿件軌跡跟蹤，還要考慮柔性振動的抑制。文獻[3]基于所提出的觀測器和解耦偏微分方程動態(tài)模型，設(shè)計了一種邊界控制方案，使柔性雙連桿機械臂在任務(wù)空間中沿參考軌跡調(diào)節(jié)末端執(zhí)行器，同時抑制了振動，并分析了其漸近穩(wěn)定性。文獻[4]將多桿柔性空間機器人動力學方程表示成系統(tǒng)慣性參數(shù)的線性化組合，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了奇異攝動自適應方法以跟蹤期望軌跡和進行柔性抑振，并證明了控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

上述針對柔性空間機器人的控制方法雖然能保證閉環(huán)控制系統(tǒng)是漸近收斂的，但其收斂時間理論上是無限的，往往不能滿足空間機器人在軌控制任務(wù)(如快速機動)的要求。很明顯，如果能設(shè)計控制律使得誤差在有限時間內(nèi)收斂到平衡點是十分有意義的。有限時間控制[5]是指系統(tǒng)的狀態(tài)在有限的時間內(nèi)收斂至平衡點，與一般的漸近穩(wěn)定系統(tǒng)相較，其不但在平衡點附近具有更快的收斂速度，同時還具有更高的跟蹤精度，并且具有較好的魯棒性和抗干擾性能[6]。近年來許多學者針對有限時間穩(wěn)定性控制進行了相關(guān)研究。文獻[7]提出柔性空間機械臂Terminal滑?？刂?，不需要測量反饋載體的位置移動速度及加速度，同時可保證跟蹤誤差在任意指定有限時間內(nèi)收斂到零。文獻[8]研究了一種用于航天器姿態(tài)控制的雙閉環(huán)快速終端滑模控制方案，使快速終端滑動面的內(nèi)環(huán)跟蹤誤差和外環(huán)跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到原點。

值得一提的是,因為傳感器或驅(qū)動器等器件對某些微小信號不敏感，空間機械臂執(zhí)行機構(gòu)系統(tǒng)中存在死區(qū)非線性，除造成輸出誤差外，還會對系統(tǒng)造成極限環(huán)振蕩，因此研究空間機器人高精度的控制，必須考慮死區(qū)的影響。文獻[9]應用自適應神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近未知的死區(qū)函數(shù)，并設(shè)計了控制器以消除死區(qū)的影響。文獻[10]提出了一種結(jié)合非線性死區(qū)觀測器和滑?？刂频淖赃m應模糊動態(tài)表面控制方案，用于估計系統(tǒng)的不可測狀態(tài)和補償控制中的不確定性。

由以上文獻可以發(fā)現(xiàn)，空間機器人系統(tǒng)控制研究中既考慮執(zhí)行機構(gòu)的死區(qū)非線性、桿件的全柔性，又考慮有限時間穩(wěn)定的研究較少。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，探討了存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的情況下，漂浮基雙柔桿空間機器人的軌跡跟蹤及柔性抑振的有限時間控制問題，并進行了仿真驗證。

1 系統(tǒng)動力學模型

以自由飄浮的載體B?0及柔性桿B?1、B?2組成的雙桿柔性空間機器人為研究對象，模型如圖1所示，建立各分體B?i?i?=0,1,2的聯(lián)體坐標O?i?x?i?y?i?，其中O?0與B?0的質(zhì)心O?c?0重合，O?i?i?=1,2為連接B?i?-1與B?i?的轉(zhuǎn)動鉸中心，x?i?i?=0,1軸在O?i?與O?i?+1的連線上。x?2軸與柔性桿B?2始終相切于O?2。設(shè)O?1在x?0軸上與O?0的距離為l?0，B?i?i?=1,2沿x?i?軸的長度為l?i?；載體的質(zhì)量與繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量分別為m?0、J?0。C?為系統(tǒng)的總質(zhì)心。

圖1 雙桿柔性空間機器人系統(tǒng)Fig.1 Two-flexible links space robot system

設(shè)定兩桿均為細長勻質(zhì)桿件，主要考慮其彎曲變形，忽略其軸線與剪切變形，并在平面內(nèi)做橫向振動。柔性桿B?i?i?=1,2的線密度為ρ?i?，截面抗彎剛度為EI?i?。由振動力學理論，可將其視為伯努利-歐拉梁，則其彈性變形記作

(1)

其中，w?i?x?i?,t?為B?i?在截面x?i?0≤x?i?≤l?i?處的橫向彈性變形；φ?ij?x?i?為B?i?的第j?階模態(tài)函數(shù)；δ?ij?t?為與φ?ij?x?i?對應的模態(tài)坐標；n?i?為截斷項數(shù)，因為對振動起主要作用的是前幾階模態(tài)，取n?i?=2。B?1桿視為簡支梁，B?2桿視為懸臂梁，具體的模態(tài)函數(shù)可由文獻[11]查詢得到。

利用拉格朗日第二類方程與動量守恒定理進行推導，可得漂浮基雙柔桿空間機器人的動力學方程:

(2)

Mθ,δ∈R7×7

K=diag(k?11,k?12,k?21,k?22)

其中，θ為載體姿態(tài)和桿件兩關(guān)節(jié)鉸相對轉(zhuǎn)角的剛性廣義坐標列向量;δ為桿件柔性模態(tài)坐標的柔性廣義坐標列向量;M為對稱、正定質(zhì)量矩陣;H為包含科氏力、離心力的列向量;K為桿件的剛度矩陣；τ為載體姿態(tài)與桿件兩關(guān)節(jié)鉸通過死區(qū)后的輸出力矩。

2 基于奇異攝動法的快、慢系統(tǒng)分解

采用奇異攝動方法，將動力學系統(tǒng)分解為慢變子與快變子系統(tǒng)，為此，將式(2)寫作分塊矩陣形式：

(3)

因M是對稱正定矩陣，故其逆存在且可寫作

(4)

(5)

(6)

據(jù)此，設(shè)計如下組合控制律：

(7)

(8)

(9)

(10)

加入快變時間尺度?=t?/ε?，t?為時間，且令ε?=0，則快變子系統(tǒng)為

(11)

(12)

它描述的是兩柔性桿的振動情況。

3 控制器設(shè)計

3.1 慢變子系統(tǒng)有限時間控制器設(shè)計

3.1.1關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)

關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)被用來描述系統(tǒng)對小信號的不敏感度，是一種非線性函數(shù)，當信號進入死區(qū)作用范圍時會有相當?shù)膿p失，從而造成系統(tǒng)控制的偏差。

空間機器人中載體姿態(tài)和位置的調(diào)整通常利用動量輪或反作用噴氣推力器來進行，而兩關(guān)節(jié)鉸為電機驅(qū)動，因此它存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)。假設(shè)死區(qū)模型如下：

(13)

i?=1,2

圖2 死區(qū)原理圖Fig.2 Dead-zone principle

(14)

ΔW?(u?i?)=ΔW?ri??i?+ΔW?li?(1-?i?)

其中，ΔW?ri?、ΔW?li?為未知的死區(qū)參數(shù)。

3.1.2關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的有限時間控制器設(shè)計

為便于后續(xù)控制器設(shè)計，給出有限時間穩(wěn)定相關(guān)引理。

(15)

那么系統(tǒng)為有限時間穩(wěn)定，且收斂時間為

(16)

其中，V?0為V?的有界初始值。

引理2[13]B∈Rn?×n?是正定對稱矩陣，λ?min、λ?max分別為矩陣B特征值中的最小值與最大值，對于x∈Rn?，有λ?minxTx≤xTBx≤λ?maxxTx成立。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差：

e=θ-θd

(17)

為了保證有限時間收斂特性，引入跟蹤誤差的積分項來設(shè)計滑模面，定義有限時間積分滑模面為

(18)

Λ1=diag(Λ?11，?Λ?12，?Λ?13)

Λ2=diag(Λ?21，?Λ?22，?Λ?23)

0<γ?1<1 0<γ?2<1

該滑模面的微分為

(19)

其中，Δ?為一個小常數(shù)，Δ?>0。

定義慢變子系統(tǒng)的輔助參考輸出向量：

(20)

則

(21)

采用簡化死區(qū)模型，并假設(shè)死區(qū)有線性邊界[14]，則設(shè)計死區(qū)補償控制器：

u=?(ub+Kbr)+(I-?)(ub+Kbl)

(22)

?=diag(?1,?2)Kbr∈R2Kbl∈R2

采用如下的有限時間積分滑模控制規(guī)律：

β2sig?(s)γ?2

(23)

結(jié)合式(9)、式(14)和式(21)，得到誤差方程：

(24)

假設(shè)2 存在正常數(shù)δ?i?(i?=M?,H?,W?)，使得‖ΔM‖≤δ?M?，‖ΔH‖≤δ?H?，‖ΔW?(u)‖≤δ?W?。

定理對于式(9)所示的空間機器人慢變子系統(tǒng)，采用式(23)的控制規(guī)律，跟蹤誤差e在有限時間內(nèi)收斂到原點。

證明：構(gòu)造如下的李雅普諾夫函數(shù)V?：

(25)

V?對時間t?求一階導數(shù)，可得

(26)

ε?)-1-β2sig?(s)γ?2]

(27)

由假設(shè)2，有

-‖s‖δ?1-β?1min‖s‖(‖s‖+ε?)-1-

(28)

k?smin=λ?min(ks)β?1min=λ?min(β1)

其中，k?smin、β?1min分別為ks、β1的最小特征值。

如果β?1min滿足δ?1(‖s‖+ε?)≤β?1min‖s‖，則

(29)

因此由引理1可知，空間機器人系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)，跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到原點。

3.2 快變子系統(tǒng)的線性二次控制器

采用線性二次型調(diào)節(jié)器來控制雙柔桿空間機器人的快變子系統(tǒng)，以主動抑制兩柔性桿的振動。

(30)

如式(30)所示，快變子系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，最優(yōu)控制方法可用于將系統(tǒng)狀態(tài)變量ζ調(diào)整到零，從而實現(xiàn)兩桿柔性振動的抑制。對于線性系統(tǒng)，若將性能指標函數(shù)設(shè)定成狀態(tài)變量和控制變量的二次型積分，并且獲得函數(shù)取最小值時的控制量uf，則系統(tǒng)可以獲得最佳性能。

性能指標函數(shù)：

(31)

其中，Q∈R7×7為半正定加權(quán)對稱陣:R∈R3×3為正定加權(quán)對稱陣。

基于線性二次型最優(yōu)控制理論，為了使J?最小化，控制量應滿足

τf=-R-1BTPζ

(32)

其中，P滿足以下Riccati代數(shù)方程：

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(33)

4 仿真算例

以圖1給出的動力學模型為例，結(jié)合死區(qū)補償器(式(22))，采用慢變子系統(tǒng)控制規(guī)律(式(23))與快變子系統(tǒng)控制量(式(32))進行系統(tǒng)仿真。

系統(tǒng)慣性與結(jié)構(gòu)參數(shù)取值：l?0=l?1=1.5 m，l?2=1.0 m，m?0=40 kg，J?0=34.17 kg·m2，ρ?1=3.5 kg/m，ρ?2=1.1 kg/m， (EI?)1=50 N·m2，(EI?)2=50 N·m2。

設(shè)定文中所采用的控制方法的軌跡追蹤過程仿真時間為t?=40 s；而傳統(tǒng)滑?？刂品椒ǖ姆抡鏁r間為t?=150 s。

參數(shù)選擇：γ?1=0.8，γ?2=0.8，ε?=2，ks?=diag(50,30,20)，Λ1=diag(0.3,0.2,0.3)，Λ2=diag(0.05,0.05,0.05)，β1=diag(2.5,2,2)，β2=diag(4,3.5,3)。

圖3～圖5的仿真分別為存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的情況下，采用有限時間控制方法的雙柔桿空間機器人載體與兩關(guān)節(jié)鉸的實際運動軌跡與期望運動軌跡圖以及兩柔性桿的一階、二階模態(tài)。由圖3～圖5的仿真結(jié)果可以看出：文中采用的控制方法能夠使其在有限時間內(nèi)跟蹤剛性期望軌跡，同時抑制柔性振動。

為對比死區(qū)補償?shù)挠行裕瑘D6給出了關(guān)閉死區(qū)補償之后的誤差圖。由仿真結(jié)果可以看出，空間機械臂載體與兩關(guān)節(jié)鉸誤差在關(guān)閉死區(qū)補償之后收斂。

圖3 載體與兩關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤圖Fig.3 Trajectory tracking of the base and two joints

(a)一階模態(tài)

(b)二階模態(tài)圖4 柔性桿B1模態(tài)Fig.4 The mode of flexible linkB1

(a)一階模態(tài)

(b)二階模態(tài)圖5 柔性桿B2模態(tài)Fig.5 The mode of flexible linkB2

圖6 載體與兩關(guān)節(jié)鉸的誤差圖(關(guān)閉死區(qū)補償)Fig.6 Trajectory tracking errors of the base and two joints(off dead-zone compensation)

將本文所設(shè)計控制律與傳統(tǒng)的滑模控制律進行對比，由圖7軌跡跟蹤圖與表1收斂時間與穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)據(jù)可以看出，傳統(tǒng)滑?？刂品椒ǖ氖諗繒r間更長，穩(wěn)態(tài)誤差更大。雖然圖3仿真初期的軌跡跟蹤擾動更大，但衰減更快，說明有限時間控制的魯棒性與抗擾性更好。

圖7 載體與兩關(guān)節(jié)鉸的軌跡跟蹤圖(傳統(tǒng)滑?？刂?Fig.7 Trajectory tracking of the base and two joints(conventional sliding mode control)

5 結(jié)論

(1)本文考慮雙柔桿空間機器人控制過程中存在關(guān)節(jié)力矩輸出死區(qū)的實際情況，設(shè)計了有限時間控制器與死區(qū)補償估計器，使得載體與兩關(guān)節(jié)鉸能夠協(xié)調(diào)地跟蹤剛性運動軌跡；采用線性二次型調(diào)節(jié)器主動抑制了兩柔性桿的彈性振動。

表1 不同控制方法的性能指標對比

(2)結(jié)合有限時間穩(wěn)定性引理、李雅普諾夫理論證明了跟蹤誤差會在有限時間內(nèi)收斂到原點。

(3)由仿真結(jié)果看出，在關(guān)節(jié)力矩存在死區(qū)時，若不進行補償，將極大降低控制精度。同時與漸近穩(wěn)定的傳統(tǒng)滑模控制方法對比，本文有限時間控制方法收斂時間更快、穩(wěn)態(tài)誤差更小、精度更高，也表明了所提出控制方法的有效性。