利用高等幾何知識解初等幾何題例談

李歡 趙臨龍

摘 要：利用射影幾何的不變性和不變量關(guān)系，討論幾何中的2個問題：將任意三角形變換為等腰三角形，證明線段的相等，并且給出推廣結(jié)論。

關(guān)鍵詞：射影幾何；不變性；不變量；任意三角形；等腰三角形；線段相等；推廣結(jié)論

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.11.191

在高等幾何中，經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆律渥儞Q，任意一個三角形（平行四邊形、梯形、橢圓）可變?yōu)檎切危ㄩL方形、等腰梯形、圓），那么對具有關(guān)仿射性質(zhì)的一些命題，將命題中的一般圖形可用仿射變換變?yōu)樘刂閳D形，如果所給命題在特殊圖形中成立，則根據(jù)仍射變換不變性和不變量關(guān)系：保持同素性、結(jié)合性、共線性、共點(diǎn)性，以及單比、封閉圖形的面積之比等，即可推命題在原圖形中成立。

1 舉例

例1：中心射影將一任意三角形射影成等腰三角形。

方法一：如圖1，設(shè)△ABC 為平面π內(nèi)的一任意三角形，過BC邊任作一平面π與π不同，在π內(nèi)作BC的垂直平分線m，在m上任取一點(diǎn)A'（不在BC上），連AA'，在直線AA'上取定點(diǎn)O，則以O(shè)為射心，OA為射線的中心射影必將△ABC射影為平面π上的等腰三角形A'BC。

方法二：如圖2，設(shè)F、G，H、A分別是梯形DEBC下底、上底的中點(diǎn)，對角線交點(diǎn)、兩腰所在直線交點(diǎn)，T為仿射變換，將梯形DEBC→等腰梯形DEBC， F→F'為B'C'中點(diǎn)，G→G'為D'E'中點(diǎn)。因?yàn)榉律鋯伪炔蛔儯海˙EH）=（BEH），（DCH）=（DCH），（BDA）=（BAD），（CEA）=（CEA），且仿射共線性不變：FHGA共線，所以FHGA共線，即將任意三角形仿射為等腰三角形。

由此得到結(jié)論。

命題1：任意梯形一對對邊的2個中點(diǎn)與四邊形另一對對邊延長線的交點(diǎn)，以及對角線的交點(diǎn)，其4點(diǎn)共線。

例2：如圖3，過四邊形對角線的交點(diǎn)O，引一直線交雙對邊于P，P'，交另一雙對邊于Q，Q'，若P'O=OP，則PQ=Q'P'。

方法一：如圖3，設(shè)ABCD為已知四邊形，AC，BD交于點(diǎn)O，P在BC上，P在AD上，Q在AB上，Q在CD上，且P'O=OP。

設(shè)直線AD與BC交于點(diǎn)E， 直線AB與CD交于點(diǎn)F，連接EO。取完全四邊形FAOD，則有調(diào)和分割線束關(guān)系： E（CP，OF）=-1，即E（PP'，OF）=-1。

此時，以E為透視中心，P'0=OP，則點(diǎn)F與直線PP'相交于無窮遠(yuǎn)，所以PP//EF。

同理，連接FO，由完全四點(diǎn)形的調(diào)和性知，F(xiàn)為透視中心的線束F（QQ'，OE）=-1，由于QQ//EF，所以點(diǎn)列（QQ'O）=-1，故QO=OQ，又PO=P'O，所以PQ=QP。

方法二：由直線型蝴蝶定理，當(dāng)直線PP'截直線對BC、AD于點(diǎn)P、P'，則截直線對AB、CD與直線PP'構(gòu)成的點(diǎn)Q、Q'，當(dāng)PO=OP，則QO=OQ，于是PQ=QP。

此時，由蝴蝶定理推廣結(jié)論，還可以給出結(jié)論。

命題2：如圖3，過四邊形對角線的交點(diǎn)O，引一直線交雙對邊于P，P'，交另一雙對邊于Q，Q'，則1/PO-1/PO=1/QO-1/QO，其中當(dāng)PO=OP，有QO=OQ。

2 小結(jié)

綜上所述，高等幾何對初等幾何而言，有著重要的指導(dǎo)作用，初等幾何的證明題千變?nèi)f化，精彩紛紜，有不少題目難于找到證明思路。如果學(xué)了高等幾何，那么在對于初等幾何的思路上將會更加開闊和解法多樣化，也更加有助于我們對初等幾何的認(rèn)識，啟發(fā)我們獲得初等證法。我們要“站得更高，看得更遠(yuǎn)”，拓寬視野與思路，許多初等幾何無法簡潔解答的問題，我們在學(xué)了高等幾何以后，就可以找到答案，提高我們解決問題的能力，發(fā)散思維。

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