無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рǖ膫鞑ヌ匦?

蘇娜娜 韓慶邦 蔣謇

(河海大學物聯(lián)網(wǎng)工程學院,常州 213022)

為研究無限大流體約束的孔隙圓柱中周向?qū)Рǖ膫鞑ヒ?guī)律,分析孔隙參數(shù)對導波傳播特性的影響,建立了無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的理論模型,利用孔隙介質(zhì)彈性波動理論,建立了周向?qū)Рl散方程,通過數(shù)值模擬計算得到無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的頻散曲線,探討了圓柱半徑和孔隙參數(shù)對導波傳播特性的影響,并對導波的衰減特性進行了分析; 通過數(shù)值計算,得到了周向?qū)Рǖ臅r域波形,討論了孔隙參數(shù)對波形的影響.結(jié)果表明,孔隙介質(zhì)圓柱半徑的改變影響圓柱尺度,孔隙度的改變影響孔隙介質(zhì)中體聲波的波速,都對周向?qū)Рl散曲線產(chǎn)生一定的影響,所得到的頻散曲線特征及衰減曲線與時域波形吻合.研究結(jié)果對開展無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的超聲無損評價提供了一定的理論參考.

1 引言

在油田開發(fā)和工程勘探方面,由于水、氣、油都可存在于裂縫或孔隙的地層中,彈性介質(zhì)不能模擬這一情況,而孔隙介質(zhì)卻能較好地反映實際情況.對中心為孔隙介質(zhì)圓柱、外界為無限流體包裹的情況,例如水下橋梁等水下混凝土圓柱經(jīng)過長時間水的浸泡,可能出現(xiàn)孔隙特性.研究被無限大流體約束的孔隙介質(zhì)圓柱中導波的傳播特性具有重要的理論意義和實用背景.

國內(nèi)外對聲波理論求解與分析已開展了大量的研究工作[1-5],但大部分集中在縱向?qū)Р?對于圓柱多層介質(zhì),由于聲法測井等技術(shù)發(fā)展的需要,中心為流體柱狀多層介質(zhì)[6-8]的研究得到了很大的發(fā)展.已經(jīng)研究了用于圓柱體檢測和評價的超聲導波檢測技術(shù),確定了影響圓柱體中導波傳播及頻散的有關(guān)因素,對于推動導波的理論及應用研究具有重要的參考價值.目前,對周向?qū)Рㄔ趫A管結(jié)構(gòu)中的傳播特性已開展了大量研究工作.文獻[9,10]理論分析了周向?qū)Рㄔ趫A柱體中的傳播及頻散特性,計算了多層空心圓柱體中周向超聲導波的傳播及頻散特性; 高廣健等[11]研究了管間界面特性對周向超聲導波傳播特性的影響,通過選擇適當?shù)尿?qū)動頻率及周向?qū)РＪ?可使周向超聲導波的相速度及圓管外表面的位移場隨管間界面特性的變化表現(xiàn)出非常敏感且單調(diào)的性質(zhì).而關(guān)于孔隙介質(zhì)的傳播特性研究相對較少,許洲琛等[12]研究了縱向超聲導波在無限流體包裹孔隙介質(zhì)中的傳播特性.在實際的檢測過程中不可能把整個圓柱與流體完全隔離分開,如果能夠通過圓柱某一位置的導波特性來反映整個圓柱的情況,將有利于實驗信號采集.采用縱向?qū)Рㄐ枰欢ㄩL度的圓柱,給檢測帶來了不便; 而沿圓周方向傳播的周向?qū)Рㄖ恍枰骋晃恢镁涂蓪崿F(xiàn)對圓柱的檢測.本文通過研究流體中孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рǖ膫鞑ヌ匦?分析孔隙參數(shù)對其的影響,為水下圓柱狀孔隙介質(zhì)檢測方面提供一定理論基礎(chǔ).具體包括以下幾個方面： 1)建立了無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的理論模型; 2)結(jié)合彈性動力學理論和Biot理論推導了該模型下周向?qū)Рǖ念l散方程; 3)利用數(shù)值方法計算了該頻散方程的解,得到了對應的頻散曲線,并進行了分析;4)討論了孔隙介質(zhì)圓柱半徑和孔隙參數(shù)對周向?qū)Рl散的影響,以及孔隙度對衰減的影響; 5)通過數(shù)值計算,得到時域波形,討論了孔隙參數(shù)對波形的影響.

2 孔隙介質(zhì)理論基礎(chǔ)

彈性波在孔隙介質(zhì)中的傳播理論在不斷地發(fā)展和完善,Biot理論被認為是最好的描述孔隙介質(zhì)中彈性波傳播的理論基礎(chǔ)模型.Biot通過對達西定律和牛頓定律的應用推導出了孔隙介質(zhì)的運動方程以及應力應變關(guān)系式,得到了孔隙介質(zhì)中的平面波解,并發(fā)現(xiàn)存在慢縱波.在孔隙介質(zhì)中有三種體聲波分別為快縱波、慢縱波和橫波[13,14].快縱波與彈性固體介質(zhì)的縱波類似,由流-固間的同相運動所致;橫波類似于彈性固體介質(zhì)中的橫波; 慢縱波是孔隙介質(zhì)中流體相對于固相骨架運動所產(chǎn)生的.其中快縱波波數(shù)為 kp1=ω/Cfl2,慢縱波波數(shù)為 kp2=ω/Csl2,橫波的波數(shù)為 kt=ω/Ct,ω 為角頻率.快縱波波速、慢縱波波速和橫波波速 Cfl2,Csl2,Ct分別為

其中?=P(ρf-ρ12)+R(ρs-ρ12)-2ρ12Q,P=A+2N,對根號前取正號,ρs和ρf分別表示為孔隙介質(zhì)圓柱中固體基質(zhì)密度和流體密度,ρ12為固-液兩相慣性耦合密度; A,N,R和Q為孔隙介質(zhì)的四個彈性常數(shù)[15-18],A,R,Q可用固體基質(zhì)體積模量Ks、流體體積模量Kf、骨架體積模量Kb和剪切模量N、孔隙度β表示.在孔隙介質(zhì)中的快縱波、慢縱波和橫波對應著三種液相參與系數(shù)η1, η2, η3[19],如 (3)式：

3 頻散方程的建立

考慮模型為無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的結(jié)構(gòu)如圖1所示.孔隙介質(zhì)圓柱的半徑為r; Cfl2,Csl2,和 Ct分別表示孔隙介質(zhì)的快縱波波速、慢縱波波速和橫波波速; ρs,ρf分別為孔隙介質(zhì)圓柱中固體基質(zhì)密度和流體密度; Cl1,ρ1為外面無限流體的縱波波速和密度.

圖1 無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的示意圖Fig.1.Schematic of porous medium cylinder in an infinite fluid.

建立以圓柱中心線為z軸,半徑方向為r向的柱坐標系; z軸垂直與圓柱體橫截面,彈性場與z坐標無關(guān),則位移場為

其中 ur,uθ,uz為位移分量,可由勢函數(shù) Φ和Ψ 給出,

對于外部無限流體介質(zhì),流體中只有縱波傳播,這里只有一個勢函數(shù)[20]

其中 α1=ω/Cl1,A1為待定系數(shù),M為Bessel函數(shù)的階數(shù),kM為M階第二類修改Bessel函數(shù).

只考慮由對稱點源激發(fā)的沿圓周傳播的導波形式.對于孔隙介質(zhì)圓柱,其勢函數(shù)分為固相和液相兩個部分.在固相上有快縱波勢函數(shù)、慢縱波勢函數(shù)、橫波勢函數(shù)三個勢函數(shù)：

從而得到固相上的縱波總勢函數(shù)為Φs=Φsf+Φss,橫波總勢函數(shù)為Ψs.其中 α21=kp1,α22=kp2,β2=kt,A2,A3,A4為待定系數(shù),JM為M階第一類Bessel函數(shù).在液相部分上的勢函數(shù)如下：

其中 η1,η2,η3分別為快縱波、慢縱波和橫波的液相參與系數(shù),如(3)式.

外部無限流體的位移和應力的表達式如下：

其中 ur和uθ分別表示法向位移和周向位移,σrr表示法向應力; λ為流體介質(zhì)的拉梅常數(shù).

內(nèi)部孔隙介質(zhì)圓柱的位移和應力的表達式如下：

其中 urs和uθs分別為孔隙介質(zhì)圓柱固相法向位移和周向位移,urf和uθf分別為孔隙介質(zhì)圓柱液相法向位移和周向位移,σrrs和σrθs分別為孔隙介質(zhì)圓柱固相法向應力和周向應力,σrrf為孔隙介質(zhì)圓柱液相法向應力.

對于孔隙介質(zhì)圓柱和外部無限流體在界面(r=b,b為圓柱半徑)處,由界面邊界理論,可求得界面處的邊界條件[21,22]如(12)—(15)式所示.

1)法向應力在界面處連續(xù).流體側(cè)應力等于孔隙介質(zhì)圓柱側(cè)液相應力與固相應力之和,

2)界面處外部無限流體和孔隙介質(zhì)圓柱的周向應力都為0,

3)界面處介質(zhì)體積守恒.流體側(cè)介質(zhì)的法向位移等于孔隙介質(zhì)圓柱側(cè)固相法向位移與液相法向位移之和,

4)界面處流體壓強守恒.孔隙介質(zhì)圓柱中液相和流體側(cè)液體相互運動產(chǎn)生的聲壓與孔隙介質(zhì)圓柱側(cè)固-液兩相相互作用的位移相對均衡,

(15)式表示流體在界面處流動的相對速率是由流體側(cè)與孔隙固體側(cè)壓力交換所引起的.T 是界面處的流動阻抗,β 是孔隙度.T=0 表示界面處流動阻抗為零,對應孔隙介質(zhì)為開孔狀態(tài),即孔隙流體可以與界面外部流體相互流動; T=∞ 表示界面處流動阻抗無窮大,此時孔隙介質(zhì)處于閉孔狀態(tài),urs=urf,孔隙介質(zhì)流體與界面外部流體相互獨立,不能進行交換.由于孔隙介質(zhì)情況比較復雜,對于孔中流體有開孔和閉孔兩種,本文是在孔隙介質(zhì)的開孔狀態(tài)模型上建立頻散方程和進行頻散分析.

將用勢函數(shù)表示的位移應力表達式(7)—(11)代入以上四個邊界條件,即可得到關(guān)于A1,A2,A3,A4這四個待定系數(shù)的方程組：

其中mij(i,j=1,2,3,4) 的表達式見附錄.當b1=b2=b3=b4=0,該矩陣方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為0,即為頻散方程

求解頻散方程(17),即可得到一定頻率范圍內(nèi)的導波頻散曲線.

在上式中令孔隙度 β=0,由(1)和(2)式得到快縱波波速 Cfl2和橫波波速 Ct分別為孔隙介質(zhì)圓柱固體基質(zhì)的縱波波速和橫波波速,慢縱波波速Csl2為0,同時液相參與系數(shù) η1,η2,η3均為0,且A=λs,N=μs,其中 λs,μs均為彈性圓柱的拉梅常數(shù),則上式退化為同性均勻彈性介質(zhì)時的情況.

4 數(shù)值模擬與分析

針對無限大流體中孔隙介質(zhì)圓柱結(jié)構(gòu),選取合適的孔隙巖石介質(zhì)參數(shù)和流體參數(shù)進行數(shù)值模擬.孔隙流體以及外部流體都為水,如表1所列.只考慮由對稱點源激發(fā)的沿圓周傳播的導波形式.孔隙介質(zhì)圓柱參數(shù)如表2所列,為得到主要規(guī)律,這里先采用靜態(tài)滲透率,以上的參數(shù)來自于文獻[23].根據(jù)表1和表2中的參數(shù)值,計算出孔隙度變化時孔隙介質(zhì)圓柱中三種體聲波的波速值,如表3所列.

表1 模型材料參數(shù)表Table 1. Material parameters.

表2 孔隙介質(zhì)圓柱參數(shù)表Table 2. Material parameters of porous medium.

表3 不同孔隙度時孔隙介質(zhì)圓柱中體聲波的波速Table 3. Velocity of body sound waves in porous media with different porosity.

在孔隙介質(zhì)中,固體骨架體積模量 kb和固體骨架剪切模量 N 可由復合介質(zhì)的等效彈性模量自洽公式計算得出.且在不同的孔隙度下,固體骨架的體積模量 kb和剪切模量 N 會改變,表現(xiàn)為孔隙度增大時,固體骨架的體積模量和剪切模量均呈現(xiàn)減小趨勢.考慮到孔隙度達到0.5以后,剪切模量接近于零,體積模量接近于流體的體積模量,孔隙介質(zhì)變成了懸浮體.

4.1 頻散特性分析

根據(jù)表1和表2的參數(shù),選取孔隙度為0.1,由(17)式得到無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的相速度和群速度頻散曲線如圖2和圖3所示.由于圓柱體中曲率的存在,導波的模態(tài)就不能像在板中那樣嚴格地區(qū)分導波的對稱和反對稱模態(tài),所以圖中的導波模態(tài)僅僅用數(shù)字標出來區(qū)分.從圖2中可看出,周向?qū)Рㄖ袃H模態(tài)1不存在截止頻率,模態(tài)1相速度隨著頻率的增大先增大,然后少量減少,最后逐漸接近于某一數(shù)值(本文中該值為2.28 km/s); 其他各高階模態(tài)均存在截止頻率且相速度隨著頻率的增大而單調(diào)減小,在高頻處,相速度均趨近于流體飽和孔隙介質(zhì)圓柱橫波的波速,見表3.

圖2 無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рǖ南嗨俣阮l散曲線Fig.2.The dispersion curves of porous cylinder in infinite fluid.

圖3 無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рㄈ核俣阮l散曲線的前6階模態(tài)Fig.3.The first sixth order mode of dispersion curves of porous cylinder in infinite fluid.

從圖3中可以看出各個模態(tài)的群速度頻散曲線,模態(tài)1與其他模態(tài)也有較大的區(qū)別.在同一頻率下,可能會產(chǎn)生兩個或兩個以上模態(tài),但各個模態(tài)的群速度并不相同.

4.2 無限流體中彈性圓柱與孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рㄌ匦缘谋容^

取半徑和孔隙度分別為0.01 m和0.1,將無限流體中彈性圓柱與孔隙介質(zhì)圓柱的前6階模態(tài)進行頻散曲線對比,結(jié)果如圖4所示.可以看出,兩者有很大相似性,均含有多個模態(tài),各模態(tài)的相速度都隨著頻率的增加而減小.高于1階的模態(tài)最后總是趨近于介質(zhì)的橫波波速,令孔隙度為零,兩種曲線將重合.

圖4 無限流體中彈性圓柱和孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рǖ念l散曲線對比Fig.4.The dispersion curves of circumferential guide waves between an elastic cylinder and a porous cylinder in infinite fluid.

4.3 圓柱半徑對導波頻散的影響

考慮到模型內(nèi)部圓柱的尺度是影響導波頻散的一個重要因素,本節(jié)對內(nèi)部圓柱半徑變化時導波頻散的情況進行分析.只研究頻散的1和2階模態(tài),分別選取孔隙介質(zhì)圓柱半徑為0.01,0.03,0.05 m,得到的頻散曲線如圖5所示.可以發(fā)現(xiàn),半徑對模態(tài)1影響較小,但對模態(tài)2的影響相對較大.對模態(tài)2,半徑越大,截止頻率就越低,曲線下降得越陡.同一相速度下,半徑越大,所對應的頻率越小,相當于頻率軸被壓縮了,但導波頻散曲線的變化趨勢不變.孔隙介質(zhì)圓柱半徑的改變并不改變模態(tài)2導波在高頻處的相速度,仍接近孔隙介質(zhì)圓柱的橫波波速(2.87 km/s).

圖5 不同圓柱半徑下的導波頻散曲線對比Fig.5.Dispersion curves for different cylinder radius.

4.4 孔隙度對導波頻散的影響

在滲透率κ0=10—12m2的條件下,選取孔隙度為0.1,0.2,0.3,其他參數(shù)不變,對頻散進行分析.對于內(nèi)部孔隙介質(zhì)圓柱,當孔隙度變化時,導波波速發(fā)生改變.圖6所示為不同孔隙度下前2階模態(tài)的頻散曲線,可見孔隙度對兩種模態(tài)都產(chǎn)生了影響.在同一頻率下,隨著孔隙度的增大,速度都在變小,模態(tài)2變化較模態(tài)1多一些,高頻處相對低頻變化更大.當孔隙度為0.1,0.2,0.3時,在本文選取的參數(shù)情況下,模態(tài)2對應的頻散曲線在高頻處分別趨向于2.88,2.58,2.20 km/s,分別對應三種情況孔隙介質(zhì)圓柱的橫波波速.但是孔隙度的改變,并不改變頻散曲線的變化趨勢.

圖6 不同孔隙度下的導波頻散曲線對比Fig.6.Dispersion curves versus porosity.

4.5 孔隙度對導波衰減的影響

相對于無限流體中彈性圓柱的周向?qū)Рǘ?無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的導波,由于孔隙介質(zhì)具有耗散作用,因此由頻散方程得到的波數(shù)表達式k=ω/c+iα可知,波數(shù)的實部表示傳播,虛部表示衰減[24].下面具體分析孔隙度對導波衰減的影響.在滲透率κ0=10—12m2的條件下,選取孔隙度為0.1,0.2,0.3,計算在不同孔隙度下導波在2階模態(tài)的衰減情況,如圖7所示.從圖7中可以看到,在同一孔隙度下,導波衰減隨著頻率的增大而增大.這主要是由于當頻率較低時孔隙介質(zhì)中流體的黏滯力起主要作用,衰減較小,而在高頻情況下,流體的慣性力起主要作用,衰減較大,因此隨著頻率增大衰減逐漸增大.在同一頻率下,當孔隙度增加時,孔隙介質(zhì)層內(nèi)的流體增多,使得導波耗散的能量增大,即導波的衰減隨孔隙度增大而增大.

圖7 不同孔隙度時周向?qū)Рǖ乃p曲線對比Fig.7.Attenuation curves of circumferential waves with different porosity.

4.6 時域波形分析

下面討論結(jié)構(gòu)時域波形特點.這里采用二維傅里葉反變換方法計算時域波形,界面處聲源激發(fā)與檢測點的設(shè)置如圖8,激發(fā)點位置在 θ=0 處,檢測點位于 θ=π/2 或 θ=π,界面處施加的法向應力應為

其中 η 為常系數(shù),δ (t) 為Dirac函數(shù).采用不同的聲源會影響波的時域波形,但并不影響波傳播的本征特性.該研究僅限于理論上假設(shè)這樣的聲源,主要是便于計算,重點是研究波的時域特性和頻散特性等.當采用脈沖線源平行于圓柱的母線激勵時,得到圓柱在時域的瞬態(tài)徑向位移表達式為

設(shè)孔隙度為0.1,檢測點位于 θ=π/2 和θ=π處的徑向位移時域波形如圖9所示,縱軸為位移幅度,橫軸為時間.從圖9(a)中可以看出時域波形有兩個明顯的波包,前一個是90°位置檢測的信號,幅度大,波形較短; 后部分是繞圓弧傳播270°的信號,幅度相對較小,波形稍長.圖9(b)是檢測位置在180°位置處的時域波形,該波形中的波包是繞圓弧傳播180°和沿孔隙介質(zhì)圓柱直徑直達檢測點的導波的疊加.根據(jù)不同檢測位置處波形的對比圖,可以看出隨著傳播距離的增大,各個波到達的時間相應地推遲,波形幅度減小,波形持續(xù)時間也隨之增大.根據(jù)導波的頻散曲線可判斷出傳播速度慢,幅度較大的是導波低階模態(tài),整個波形是各階模態(tài)的疊加.

圖8 無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的激發(fā)與檢測點示意圖Fig.8.Schematic of excitation and detection points of porous medium cylinder in an infinite fluid.

圖9 孔隙度為0.1時,不同檢測點處的徑向位移時域波形的對比 (a)檢測點在 θ=π/2 位置; (b)檢測點在θ=π位置Fig.9.Time-domain waveform of radial displacement at different detection points when the porosity is 0.1： (a) Detection point at θ=π/2 ; (b) detection point at θ=π.

圖10為孔隙度為0.1,0.2,0.3時,檢測點在θ=π處的徑向位移時域波形對比圖.可以看出,隨著孔隙度的增大,波包不僅產(chǎn)生后移且位移幅度也變小; 對應于頻散特性就是相速度隨著孔隙度的增大變小,與圖2的頻散特性和圖7的衰減曲線吻合.

圖10 孔隙度為0.1,0.2,0.3時,檢測點在 θ=π 位置處徑向位移時域波形的對比Fig.10.Time-domain waveform of radial displacement of detection point at θ=π when the porosity is 0.1,0.2,0.3.

5 結(jié) 論

本文對無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的周向?qū)Р▊鞑ヌ匦赃M行了系統(tǒng)的研究,分析了流體中孔隙介質(zhì)圓柱周向?qū)Рǖ念l散特性,首先將其與彈性圓柱頻散特性進行對比,討論了孔隙介質(zhì)圓柱半徑、孔隙度對導波頻散特性的影響,并分析了孔隙參數(shù)對導波衰減的影響.結(jié)果表明,孔隙介質(zhì)圓柱半徑的變化改變了圓柱的尺度,從而影響著頻散曲線.半徑對模態(tài)1影響較小,但對模態(tài)2的影響相對較大,對模態(tài)2,半徑越大,截止頻率就越低,曲線下降的越陡,但導波頻散曲線的趨勢不變.對于無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱,當孔隙度變化時,孔隙介質(zhì)圓柱的快、慢縱波和橫波速度均發(fā)生改變,從而影響了導波的頻散特性,在同一頻率下,隨著孔隙度的增大,相速度在變小,模態(tài)2變化較模態(tài)1多一些.由于孔隙介質(zhì)的耗散作用,導波在傳播過程中存在著一定的衰減,且隨著孔隙度的增大,衰減越大,與孔隙度對時域波形位移幅度的影響一致.研究無限流體中孔隙介質(zhì)圓柱的導波傳播,為導波用于無限大流體中孔隙介質(zhì)圓柱的無損評價提供了一定的理論參考.但由于孔隙介質(zhì)的復雜性,特別是孔隙度對頻散的影響,因而本文中的理論方法在實際應用中可能會存在一定的局限性.后續(xù)將進一步完善孔隙介質(zhì)層包裹圓柱介質(zhì)的模型以及對邊界條件的影響方面開展進一步研究.

附 錄