利用各向異性模型計(jì)算水平地應(yīng)力

張兆謙

(大慶油田有限責(zé)任公司勘探開(kāi)發(fā)研究院,黑龍江大慶163712)

0 引 言

目前,測(cè)量地應(yīng)力的方法有許多,如巖石水壓裂法、巖石聲發(fā)射法等,前者代價(jià)昂貴、耗時(shí)長(zhǎng),后者巖心代表性差,無(wú)法得到連續(xù)的剖面[1]。利用測(cè)井方法計(jì)算地應(yīng)力,具有成本低、準(zhǔn)確性高的特點(diǎn),同時(shí)可以得到連續(xù)的井剖面,因此在地應(yīng)力的評(píng)價(jià)方面有著廣泛應(yīng)用。地層中絕大部分巖石具有不同程度的各向異性[2],而以往測(cè)井計(jì)算水平地應(yīng)力大多采用各向同性模型,沒(méi)有考慮地層各向異性。由于致密油氣儲(chǔ)層巖石彈性參數(shù)及地應(yīng)力各向異性,基于各向同性假設(shè)的儲(chǔ)層完井工程品質(zhì)評(píng)價(jià)與實(shí)際存在著差異,為了接近地層的真實(shí)情況,必須考慮地層各向異性。

本文利用陣列聲波測(cè)井中斯通利波包含的水平橫波的信息,根據(jù)頻譜加權(quán)平均慢度定理反演水平橫波的慢度(或計(jì)算反演水平剪切模量C66),利用這一重要參數(shù)得到水平方向的彈性模量和泊松比,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了利用各向異性模型計(jì)算水平地應(yīng)力。

1 運(yùn)用斯通利波反演水平剪切模量

各向異性地層中(水平各向同性TIV),根據(jù)廣義胡克定律,完全獨(dú)立的彈性參數(shù)有5個(gè),分別是C66、C11、C13、C33和C44。根據(jù)彈性波動(dòng)力學(xué)理論,地層垂直方向的縱、橫波速度分別為

(1)

地層水平方向縱、橫波速度分別為

(2)

式中,C66、C11、C13、C33和C44分別為地層彈性剛度系數(shù),GPa;vcv、vsv分別為地層垂直方向的縱、橫波速度,km/s;vch、vsh分別為地層水平方向的縱、橫波速度,km/s;ρ為地層密度,g/cm3。

直井中,陣列聲波測(cè)井只能測(cè)量得到垂向的聲波速度,無(wú)法得到水平方向的聲波速度。井中傳播的斯通利波對(duì)水平方向傳播的橫波敏感。在低頻情況下,斯通利波的傳播引起了井周的扭曲,斯通利波可以看作是井眼上的壓力克服水平剪切應(yīng)力而發(fā)生的形變,因此,與水平剪切模量C66有關(guān)。

1.1 斯通利波頻散方程

在多極子陣列聲波測(cè)井儀器中,為了隔離偶極子沿著儀器傳播的撓曲波,儀器安裝有隔聲體,這使儀器具有相當(dāng)大的彈性。儀器的彈性對(duì)單極子聲波測(cè)井中的斯通利波的傳播有很大影響。因此,分析聲波測(cè)井中的斯通利波一定要考慮到儀器的彈性效應(yīng)。根據(jù)唐曉明等[3-7]的理論研究,有在TIV介質(zhì)中充滿流體、儀器居中情況下的單極子聲波測(cè)井中斯通利波的頻散方程

D(k,w,C66,C44,MT,R,a,ρ,vf,ρf,C11,C13,C33)=0

(3)

在井參數(shù)、流體參數(shù)和縱橫波各向異性為已知的情況下,可以簡(jiǎn)寫為

(4)

式中,k為軸向波數(shù);w為角頻率,Hz;vf為井中流體聲波速度,km/s;ρf為流體密度,g/cm3;MT為儀器模量,Pa;R為井徑,cm;a為儀器半徑,cm;ρ為地層密度,g/cm3。頻散方程(4)中各參數(shù)的具體形式及推導(dǎo)詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[4]。

頻散方程中,給定角頻率w,該方程是關(guān)于k的非線性方程,采用牛頓拉弗森數(shù)值方法求解。在求解過(guò)程中,把頻率范圍限制在斯通利波的頻帶范圍內(nèi),解上面的頻散方程,求出波數(shù)k對(duì)應(yīng)于斯通利波的根kst,得到了斯通利波相速度或者相慢度的頻散曲線

Sst(w)=1/vst(w)=kst/w

(5)

1.2 頻譜加權(quán)平均慢度定理

聲波的頻散意味著對(duì)應(yīng)不同的頻率,頻散波的速度不同,斯通利波是典型的頻散波,但是運(yùn)用波形相似相關(guān)方法處理得到斯通利波慢度曲線,是假設(shè)所用的聲波不存在頻散效應(yīng)。頻譜加權(quán)平均慢度定理表明[8-9],從時(shí)間域的非頻散陣列處理方法得到的慢度實(shí)際上是對(duì)頻率域慢度頻散曲線的加權(quán)平均,其中權(quán)重系數(shù)為w2A2(w)。

(6)

從式(6)可見(jiàn),利用陣列聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)可以有效地計(jì)算出水平方向的橫波速度vsh或水平剪切模量C66。計(jì)算中需要的其他參數(shù)可以從測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中得到。C11、C13這2個(gè)彈性系數(shù)可以通過(guò)巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)刻度,如果沒(méi)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持,那么根據(jù)參考文獻(xiàn)[4],有C11=C33(C66/C44),同時(shí)C13=C33-2C44。雖然這些假設(shè)都是近似,但是它們不太影響C66的計(jì)算,Ellefsen[10]給出了這些參數(shù)靈敏度的詳細(xì)分析結(jié)果。

利用公式(6)構(gòu)造反演的目標(biāo)函數(shù)

(7)

對(duì)目標(biāo)函數(shù)求其極小值對(duì)應(yīng)的C66,極小值求解過(guò)程采用單變量函數(shù)的黃金分割尋優(yōu)方法。

1.3 儀器模量刻度

測(cè)井儀器的存在對(duì)斯通利波的傳播有著很大影響[4],必須對(duì)儀器模量MT進(jìn)行刻度。對(duì)于一定井段,各向異性情況是已知的(利用偶極聲波測(cè)井各向異性分析得到),特別是找到各向同性的地層段,地層垂向上的縱橫波慢度可以用軟件的速度分析模塊得到。利用式(1)計(jì)算得到C33、C44,各向同性處C66=C44、C11=C33,井中流體參數(shù)可以通過(guò)鉆井液測(cè)井得到,式(3)中唯一未知的就是儀器模量MT?？潭萂T的過(guò)程就是找到一個(gè)合適的儀器模量值使得其滿足式(8)

(8)

一旦儀器模量參數(shù)得到,可以利用式(7)反演整個(gè)井段的水平剪切模量C66。

2 方法實(shí)現(xiàn)

地層的縱橫波、斯通利波慢度及斯通利波的波形曲線利用商業(yè)軟件包可以得到,該研究主要工作集中在求解頻散方程及利用頻散曲線反演C66。圖1反演C66的流程圖,

在A井中取一深度點(diǎn), 根據(jù)上述已知參數(shù)利用牛頓拉弗森數(shù)值方法求解頻散方程,可以得到斯通利波的頻散曲線。圖2為A井2 170.8 m處的斯通利波波形頻譜及頻散曲線。

圖1 反演C66流程圖

圖2 斯通利波波形頻譜及頻散曲線

利用斯通利波頻散曲線及頻譜數(shù)據(jù),結(jié)合構(gòu)造的目標(biāo)反演函數(shù),可以反演出水平剪切模量C66。垂直方向縱橫波慢度由MAAS軟件的速度分析處理模塊得到,水平方向參數(shù)由反演方法得到,其中C11=C33(C66/C44)。利用式(2),可以得到水平方向縱橫波慢度。C66代表了水平剪切模量,就是代表了水平橫波的速度,準(zhǔn)確得到這個(gè)參數(shù),為下一步計(jì)算水平方向的彈性模量和泊松比,進(jìn)而利用各向異性模型計(jì)算水平地應(yīng)力打下基礎(chǔ)。

3 各向異性模型計(jì)算水平地應(yīng)力

3.1 各向異性地應(yīng)力計(jì)算模型

各向同性地應(yīng)力計(jì)算模型認(rèn)為垂直和水平方向彈性模量是一致的,而各向異性考慮了垂直和水平方向的縱橫波差異,即彈性模量和泊松比不同。利用按照上述方法反演的水平剪切模量C66及其他彈性模量,分別是C12、C11、C13、C33和C44,其中C12=C11-2C66,利用這些參數(shù),計(jì)算垂直及水平方向彈性模量、泊松比,計(jì)算公式為

(9)

(10)

(11)

(12)

目前常用的計(jì)算地應(yīng)力的模型是孔隙介質(zhì)模型,該模型垂向上考慮了上覆巖石壓力及孔隙壓力,水平上考慮了構(gòu)造殘余應(yīng)力的作用,其水平地應(yīng)力計(jì)算公式為[11]

(13)

(14)

式中,Ev、Eh分別為垂直及水平方向彈性模量,MPa;μv、μh分別為垂直及水平方向泊松比,無(wú)量綱;σh、σH分別為水平最小、最大地應(yīng)力,MPa;pp為地層孔隙壓力,MPa;α為Biot系數(shù),無(wú)量綱;εH和εh分別為水平方向最大、最小構(gòu)造應(yīng)力系數(shù)。

3.2 計(jì)算實(shí)例

AD為大慶深層致密氣區(qū)塊,儲(chǔ)層巖性種類較多,非均質(zhì)性強(qiáng),巖石造巖礦物成分變化大,主要巖石類型包括礫巖、砂礫巖、砂質(zhì)礫巖等, 有效孔隙度主要集中在4%～9%,平均5.6%;空氣滲透率主要集中在0.03～0.5 mD(2)非法定計(jì)量單位,1 mD=9.87×10-4 μm2,下同,平均0.147 mD,為致密儲(chǔ)層,單井必須壓裂才有產(chǎn)能。因次,準(zhǔn)確計(jì)算該區(qū)塊地應(yīng)力大小將為壓裂施工起到很大的作用。該區(qū)塊有12塊水平地應(yīng)力實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)值(見(jiàn)表1),另外有56塊樣品動(dòng)靜態(tài)模量參數(shù),38塊樣品的Biot系數(shù)。由式(13)和式(14)結(jié)合實(shí)驗(yàn)室測(cè)量的最大、最小水平地應(yīng)力值及其他參數(shù)可以得到εH和εh這2個(gè)構(gòu)造應(yīng)力系數(shù),該區(qū)塊最大、最小構(gòu)造應(yīng)力系數(shù)分別為0.000 16和0.000 78。

圖3為致密氣區(qū)塊SS4井測(cè)井計(jì)算水平地應(yīng)力深度剖面。第1、第2道為常規(guī)測(cè)井剖面,第4道為巖石體積剖面。第5道、第6道分別為各向異性模型計(jì)算與巖心分析最大、最小水平地應(yīng)力,可以看出數(shù)值一致,證明測(cè)井計(jì)算的合理、準(zhǔn)確。第7道為利用式(9)和式(10)計(jì)算的垂直和水平方向的彈性模量,可以看出,2 769～2 783 m儲(chǔ)層段內(nèi)彈性模量的值比較接近。第8道、第9道為地層彈性剛度參數(shù),第10道中,ΔtCh和ΔtCv分別代表橫向和垂向的縱波慢度,第11道中ΔtSh和ΔtSv分別代表橫向和垂向的橫波慢度,可以很明顯的看出,水平和垂直方向的縱橫波慢度不一致,這代表了地層真實(shí)的情況。2 769～2 783 m段為該井氣層段,測(cè)井計(jì)算最小水平地應(yīng)力為62 MPa,上下圍巖為泥巖,其最小水平地應(yīng)力為85 MPa,縱向應(yīng)力差為23 MPa,圍巖起到很好的應(yīng)力遮擋作用,壓裂后日產(chǎn)氣4.3×104m3,為工業(yè)氣層。

表1 AD區(qū)塊實(shí)驗(yàn)測(cè)量水平最大(最小)地應(yīng)力及地應(yīng)力梯度

圖3 各向異性模型計(jì)算與巖心分析水平地應(yīng)力精度對(duì)比

4 結(jié) 論

(1)直井中,利用陣列聲波測(cè)井資料反演水平剪切模量C66是可行的,利用反演得到的C66和測(cè)井得到的地層彈性剛度系數(shù)可以計(jì)算垂直和水平方向的彈性模量、泊松比,進(jìn)而利用各向異性模型計(jì)算地層水平地應(yīng)力。

(2)反演水平剪切模量C66之前,必須掌握待反演C66的井段各向異性情況,找出各向同性的區(qū)間,刻度出儀器模量MT。

(3)對(duì)大慶AD區(qū)塊的5口井計(jì)算了最大、最小水平地應(yīng)力,計(jì)算結(jié)果與巖心分析的結(jié)果進(jìn)行了比較,數(shù)據(jù)顯示非常好的一致性,驗(yàn)證了該方法計(jì)算結(jié)果的可靠性。