雙向混合試驗方法及驗證

王 貞，朱思宇，許國山，徐小童，吳 斌

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點實驗室，哈爾濱 150090;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程智能防災(zāi)減災(zāi)工業(yè)和信息化部重點實驗室，哈爾濱 150090;3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090)

在人類歷史上，地震一直是人類社會的大敵。合理的結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計是減小地震災(zāi)害的有效措施。但由于抗震機理和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，僅靠理論難以完全把握結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，常通過結(jié)構(gòu)試驗研究其抗震性能[1]?；旌显囼?zāi)苤苯咏o出結(jié)構(gòu)在指定地震作用下的響應(yīng)，是一種重要的結(jié)構(gòu)抗震試驗方法。有關(guān)研究及試驗結(jié)果表明，地震對結(jié)構(gòu)的作用是多向的，水平雙向地震對結(jié)構(gòu)的破壞作用比單向地震大很多[2]。因此精確地完成雙向混合試驗對抗震研究具有重要意義。

與單向混合試驗不同，雙向混合試驗的雙向位移加載中的位移耦合關(guān)系，為作動器的控制命令求解帶來困難?；旌显囼炐枰粩喃@取試件的當(dāng)前位置與恢復(fù)力，保證積分算法逐步推進。而由于位移的耦聯(lián)，試件實際位移的測量以及試件恢復(fù)力的獲得也存在困難[3]。隨著試件規(guī)模及剛度的提高，雙向混合試驗的加載難度加大，常常需要采用比自由度數(shù)目更多的作動器完成加載[4]。對冗余作動器的加載控制又成為新的難點。

在雙向混合試驗方面，前人已經(jīng)完成了一些研究工作。Thewalt等[5]采用線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，完成了雙向混合試驗。Molina等開展了三層足尺模型的雙向擬動力試驗，將非線性坐標(biāo)變換關(guān)系引入到試驗中。Liu等[6]開展了單層鋼框架雙向混合試驗。Wu等[7]開展了二層足尺防屈曲支撐混凝土框架試驗。程春等[8-9]也開展了相關(guān)研究。此外，雙向慢速加載方法在擬靜力試驗得到了一定程度的研究和應(yīng)用，如曾聰?shù)萚10]研究了如何在擬靜力試驗中準(zhǔn)確實現(xiàn)壓剪的力-位移混合控制問題，Xia等[11]采用雙向擬靜力試驗研究雙壁鋼箱混凝土組合墩柱的抗震性能。此前混合試驗軟件HyTest[12-13]已經(jīng)具備一些多自由度加載控制功能[14]。但這些研究與應(yīng)用往往沒有考慮幾何非線性問題。

本文主要研究雙向混合試驗的加載控制方法。闡述了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法及試件恢復(fù)力的求解方法，提出基于數(shù)值迭代算法的外環(huán)加載方法以及力控制的冗余作動器加載方法，并開展了數(shù)值模擬及真實試驗。

1 雙向混合試驗控制方法[15]

混合試驗是一種將計算機模擬與結(jié)構(gòu)試驗有機結(jié)合的試驗方法。該方法通過作動器對結(jié)構(gòu)試件進行加載，并實際測量恢復(fù)力，從而通過積分算法求解得到下一步加載位移。

與常規(guī)混合試驗相比，雙向混合試驗的難點在于如何確定作動器命令，如何求解質(zhì)心恢復(fù)力，如何進行作動器加載控制。本文將詳細闡述這些問題。

1.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

雙向混合試驗中，由于兩向作動器位移的耦合與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，作動器位移、試件位移與傳感器測量值之間存在幾何關(guān)系。試驗的順利實施，依賴于坐標(biāo)變換的正確性。

假設(shè)長方形的單層樓板試件為剛體試件。為方便、準(zhǔn)確地對試件進行描述，建立固定于地面的整體坐標(biāo)系XOY，以及樓板質(zhì)心作為原點的局部坐標(biāo)系xcy，兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸平行且方向一致。試件位移可表示為平面內(nèi)X方向平動dx、Y方向平動dy以及試件中心的轉(zhuǎn)動dθ，如圖1所示。圖中A1、A2、A3、A4分別表示作動器，L1、L2、L3、L4分別表示位移計，rx、ry、rθ分別表示質(zhì)心的廣義恢復(fù)力。

(1)

圖1 試件及作動器、位移計布置Fig.1 Specimen and set-up of actuators and LVDTs

(2)

在局部坐標(biāo)系中，作動器與試件連接點的初始坐標(biāo)為

(3)

(4)

將局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中，得到作動器與試件連接點移動后在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(5)

整理得

(6)

其中

(7)

為了后文討論方便，把該式表示成函數(shù)的形式，即

(8)

該式表示，當(dāng)試件質(zhì)心位移為dM時，第i號作動器的讀數(shù)理論上為gi(dM)。由于間隙、支座滑移、連接件彈性變形等的影響，實際值可能和該值略有差別。

外接位移計的讀數(shù)與此類似，不再贅述。

1.2 試件恢復(fù)力的求解

雙向混合試驗中，加載所用作動器兩端為球鉸，出力總是沿其軸向，通過作動器力傳感器可以得到每個作動器出力值。根據(jù)作動器所在位置，可知作動器當(dāng)前的出力方向。下面以第i號作動器為例，根據(jù)單位向量的定義，將作動器位置向量除以向量的模，即可得到作動器力方向的單位向量，即

(9)

在整體坐標(biāo)系內(nèi)，將第i號作動器出力fi沿坐標(biāo)系的X軸與Y軸進行分解，得到各分量

(10)

由于作動器的出力作用在試件的不同位置，各個分力對試件中心可能產(chǎn)生力矩，與發(fā)生轉(zhuǎn)動的試件的恢復(fù)力矩相平衡。將作動器與試件連接點到試件中心的距離用向量表示

(11)

則可求得第i號作動器出力對試件中心產(chǎn)生的力矩

(12)

將所有作動器的分力加和，可得到試件受到的X與Y方向的力及力矩，根據(jù)受力平衡，可得試件的恢復(fù)力，為

r=A·F

(13)

其中，F(xiàn)表示n個作動器的出力值組成的向量

A表示3×n的矩陣，即

1.3 質(zhì)心位移求解

混合試驗中，由于試件滑移、連接件變形等加載誤差的存在，作動器的位移并不等于作動器與試件連接點的位移，僅使用作動器的內(nèi)部位移計測量試件位移是不準(zhǔn)確的。為了提高試驗的精度，采用外接LVDT位移計的讀數(shù)反解試件質(zhì)心位移并以此為控制變量，實現(xiàn)雙向混合試驗的外環(huán)控制。

(14)

Mi=T·(Mi,0-C0)+Cc

(15)

(16)

式中,p表示位移計的數(shù)目。試驗過程中，位移傳感器的測量值已知，求解試件質(zhì)心位移就是求解由式(14)、(16)組成的方程組。鑒于式(16)是關(guān)于質(zhì)心位移的超越方程，此方程組的解難以直接得到，常需采用牛頓法等迭代求解。當(dāng)采用超過三個位移計時，在牛頓法求解過程中雅可比矩陣非方陣，此時需使用偽逆矩陣代替逆矩陣求解，可得最小二乘意義下的最優(yōu)解。

1.4 外環(huán)控制方法

雙向混合試驗中作動器的位移是互相關(guān)聯(lián)的，通過反饋控制合理地調(diào)整作動器命令，可使試件快速準(zhǔn)確地達到期望位移。本文提出基于牛頓迭代的作動器位移命令更新方法。

混合試驗的加載控制目標(biāo)，就是使試件質(zhì)心位移以合理的方式接近期望位移，即

d-dM=0

(17)

對于每一積分步，期望位移是確定的，而質(zhì)心位移會由于作動器的不斷加載而變動。而作動器的運動又受到其命令的制約，因此可以把質(zhì)心位移視作作動器命令的函數(shù)，即

dM=dM(dC)

(18)

不斷更新作動器的命令進行加載，就是求解由式(17)和式(18)組成的非線性方程組的過程。采用牛頓迭代法可以表示為

(19)

(20)

而

(21)

即對第n個作動器而言，其命令對質(zhì)心各運動分量的偏導(dǎo)數(shù)。若假定每次采集數(shù)據(jù)計算新命令時，作動器響應(yīng)都能很好跟蹤其命令，即

dC≈dA

(22)

因此有

(23)

盡管以上推導(dǎo)是合理的，但忽略了作動器跟蹤誤差，即理論上dC不一定等于dA，甚至在采樣頻率比較高時，它們之間存在明顯的差別。為了考慮該誤差的影響，對得到的雅克比矩陣進行折減，即實際使用的迭代格式為

(24)

式中,α是0～1之間的折減系數(shù)。該式表明對所有作動器采用相同的折減系數(shù)，實際中與各作動器相關(guān)的誤差可能很不同，可以為不同作動器設(shè)置不同參數(shù)，以實現(xiàn)更好性能。

由式(24)可見，每次作動器命令更新的時候，根據(jù)當(dāng)前時刻質(zhì)心位移與期望位移在各個分量上的差，以及當(dāng)前時刻的雅克比矩陣，求解新的命令。因此充分考慮了作動器命令對質(zhì)心位移的影響。同時考慮到試驗中誤差的不確定性，引入了折減系數(shù)，使得命令更為光滑、作動器響應(yīng)更為協(xié)調(diào)。實際實施中，還需要引入迭代跳出條件，此處不再贅述。

2 冗余作動器的控制

2.1 作動器加載的最優(yōu)出力

在雙向混合試驗中，當(dāng)試件尺寸較大或剛度較大時，由于作動器出力的限制，僅使用三個作動器進行加載控制難以實現(xiàn)加載目標(biāo)。采用超過三個作動器時，由于樓板平面內(nèi)僅有三個自由度且不同作動器加載速度的差距、加載誤差的影響，作動器可能互相干擾，不能以合理的出力實現(xiàn)加載。舉個極端的例子，可能某作動器對加載起阻礙作用，即其余作動器需抵消該作動器出力。之所以會出現(xiàn)這種情況，是因為試件的質(zhì)心位移需要且僅需要三個位移控制作動器就能實現(xiàn)，多余作動器的存在不能改變質(zhì)心位移；多余作動器只會影響與當(dāng)前質(zhì)心位移對應(yīng)的試件恢復(fù)力如何在各作動器之間分配。很顯然，存在無數(shù)種可能，只能按照一定的原則實現(xiàn)一種較合理的分配方式，當(dāng)然也包含前面所舉極端例子?？傊?，需要對冗余作動器的加載控制進行處理，從而優(yōu)化各作動器的出力分配，與第1.4節(jié)的外環(huán)控制共同完成對試件的加載控制。

Molina等對冗余作動器采用位移控制，并根據(jù)性能指標(biāo)計算優(yōu)化出力，從而對位移控制進行修正。與此類似又有所不同，本文提出對冗余作動器直接采取力控制，并采用更為簡潔的優(yōu)化目標(biāo)表達式，從而不需要求解非線性方程即可得到優(yōu)化力。

為使作動器能協(xié)調(diào)工作，所采用的優(yōu)化目標(biāo)的內(nèi)涵是，期望每一個作動器的出力值都能遠離其出力上限，并且總的出力的絕對值的和最小，最大限度地發(fā)揮作動器加載能力。優(yōu)化目標(biāo)如下

(25)

對于此條件極值問題，一種解決辦法是把約束條件代入到優(yōu)化函數(shù)，另外一種是采用拉格朗日乘子法，本文采用第二種方法。首先定義拉格朗日函數(shù)，即

L(x)=h(F)+λ×Q(F)T

(26)

其中

Q(F)=r-A·F

拉格朗日函數(shù)對各變量的偏導(dǎo)數(shù)為0，即得優(yōu)化問題的解，為

(27)

為了便于理解，給出展開后的拉格朗日函數(shù)為

(28)

其中alk為矩陣A的第l行k列元素。那么式(27)為

(29)

顯然可以表示為

(30)

其中

可見，該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解問題，非常方便求解。

必須注意的是，本節(jié)討論的是已知當(dāng)前控制步試件恢復(fù)力r后，根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)求解各作動器應(yīng)該實現(xiàn)的最優(yōu)出力，它們不一定是實際的出力。在實際實施中，把與冗余作動器對應(yīng)的最優(yōu)出力以力命令的形式發(fā)給作動器，讓作動器在下一步實現(xiàn)。盡管有一步延遲，但考慮到控制步步長較小，應(yīng)該具有較好的精度，數(shù)值模擬也驗證了該推斷。

2.2 冗余作動器的力控制方法

第2.1節(jié)所述的最優(yōu)出力，是試件在當(dāng)前位移狀態(tài)下，滿足優(yōu)化目標(biāo)的作動器的最優(yōu)出力。冗余作動器采用力控制模式，可直接發(fā)送計算得到的最優(yōu)出力，通過試件自身受力平衡，使位移控制作動器的出力達到或接近最優(yōu)出力。

簡述試件采用上述方法加載時的試驗過程如下，其框圖見圖2。

(1)讀取外接LVDT、作動器位移、作動器力等讀數(shù)；

(2)求解試件質(zhì)心位移及試件恢復(fù)力；

(4)求解試件當(dāng)前位移下的矩陣J-1；

(5)根據(jù)式(19)計算新的位移控制作動器命令；

(6)根據(jù)式(30)計算試件最優(yōu)出力；

(7)把位移命令、力命令發(fā)送給作動器進行加載；

(8)等待加載步時長后，回到第(1)步，直至循環(huán)終止。

圖2 雙向混合試驗的加載控制策略Fig.2 Loading control strategy for bi-directionnal hybrid test

3 數(shù)值模擬

為檢驗上述雙向混合試驗控制策略的合理性與準(zhǔn)確性，采用Simulink進行仿真模擬。采用文獻[16]的電液伺服作動器模型，純數(shù)值模擬得到的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)作為期望位移。試件x、y方向剛度均為100 kN/mm，轉(zhuǎn)動剛度100 kN·m/rad。試件對目標(biāo)位移的跟蹤情況見圖3、4。

圖3 期望位移與試件位移比較Fig.3 Comparison between specimen displacement and desired displacement

由圖3可見，三個方向位移均能達到很好的跟蹤效果。冗余作動器優(yōu)化控制對作動器出力的影響見圖4。4個作動器實際出力在經(jīng)過冗余控制的優(yōu)化后，與最優(yōu)出力基本一致，冗余作動器的控制方法能達到較理想效果。二者存在差別，是因為當(dāng)前步發(fā)送的是上一步的優(yōu)化力。

圖4 作動器實際出力與最優(yōu)出力Fig.4 Actual forces and optimal forces of actuators

4 試驗驗證

結(jié)構(gòu)為單層鋼框架，尺寸為2.0 m×2.0 m×1.5 m，樓板假定為剛體。正式試驗前估計得到的試件三個方向剛度為(采用國際單位)

設(shè)定原型結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣為(采用國際單位)

采用四個作動器進行加載，x、y方向各兩個作動器。試件錨固在6 t重的地梁上，地梁通過8根錨桿固定于地面。外接4個LVDT位移傳感器用于外環(huán)控制，各傳感器兩端鉸接。每積分步迭代加載上限10次，每次加載時長500 ms。試件與加載設(shè)備見圖5。

圖5 試件及加載設(shè)備Fig.5 Specimen and loading devices

混合試驗涉及伺服控制、計算機模擬與數(shù)值分析等技術(shù)，需要借助混合試驗平臺。前述雙向混合試驗控制方法采用C++代碼實現(xiàn)，整合到HyTest軟件的試驗子結(jié)構(gòu)中。HyTest的協(xié)調(diào)器完成運動方程求解，試驗子結(jié)構(gòu)軟件負責(zé)加載控制并與MTS系統(tǒng)通信，從而操作作動器對試件進行加載。

對結(jié)構(gòu)施加20 gal的El Centro(1940，NS)地震記錄；采用中心差分法求解運動方程，積分步長0.01 s。試件實際位移對目標(biāo)位移的跟蹤效果如圖6所示?？梢钥闯?，三個自由度方向的位移跟蹤效果均良好，平動位移最大誤差約為0.01 mm，表明每積分步試件均能在加載時間內(nèi)達到期望位移。

為了作對比，還以四個作動器均采用位移控制模式重復(fù)了該試驗，兩次試驗的目標(biāo)函數(shù)值如圖7所示。由圖可見，本文所述方法的目標(biāo)函數(shù)總是比全位移控制的目標(biāo)函數(shù)更小，尤其是在位移幅值較大時。該結(jié)果表明，在保證有效出力(即試件恢復(fù)力)的前提下，本文方法顯著降低了無效出力，即優(yōu)化了作動器出力的分布。

5 結(jié) 論

本文主要研究雙向混合試驗的加載控制方法。針對雙向混合試驗中存在的位移耦聯(lián)問題，闡述了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、恢復(fù)力求解和質(zhì)心位移求解等問題，提出了基于迭代的作動器位移命令更新方法和冗余作動器的力控制策略，并通過數(shù)值模擬與試驗加以驗證。主要結(jié)論如下：

(a)全局圖

(b)局部

圖7 目標(biāo)函數(shù)對比Fig.7 Comparison of target function between proposed method and full-displacement-control method

(1)考慮到試驗中位移、力等存在的幾何非線性耦合關(guān)系，建立了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，模擬與試驗結(jié)果均表明，該轉(zhuǎn)換關(guān)系正確有效。

(2)提出基于牛頓迭代的作動器位移命令更新方法，利用雅可比矩陣合理協(xié)調(diào)作動器之間的加載關(guān)系，使試件快速準(zhǔn)確地達到目標(biāo)位移。

(3)提出冗余作動器的力控制策略，能協(xié)調(diào)作動器之間出力關(guān)系，充分發(fā)揮作動器的加載能力。試驗結(jié)果表明，優(yōu)化效果顯著。