一類具有非線性發(fā)生率和治愈率的SEIRS模型研究

高雪麗, 王 輝, 胡志興

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,北京 00083)

引 言

傳染病是危害人類身體健康的重要疾病。在控制和消除傳染病過程中,治療是預(yù)防和控制各種傳染病傳播的重要方法。在經(jīng)典的流行模型中,被認(rèn)為治愈率與感染個體的數(shù)量成正比[1]。在一些疾病挑戰(zhàn)了正常公共衛(wèi)生系統(tǒng)和能力之后,研究人員開始從建模和分析的角度來考慮醫(yī)療保健系統(tǒng)的能力[2]。Wang和Ruan認(rèn)為,在一個社區(qū)中,治療疾病的能力是恒定的[3]。Wang提出了以下分段函數(shù)[4]

(1)

在SEIRS模型中,其中k是治愈率,這意味著當(dāng)治療能力還沒有達(dá)到極限時,治療能力是與感染者的數(shù)量成比例的,否則將采用治療能力的極限值常數(shù)形式作為治療函數(shù)。治愈函數(shù)(1)已經(jīng)在一些文獻(xiàn)中得到了應(yīng)用[5-7],其他的治愈函數(shù)也被提出,并應(yīng)用在許多文獻(xiàn)中,例如飽和治愈率T(I)=rI/(1+μI),r>0,μ≥0[8-10]。

本文主要考慮了在有限資源的情況下公共衛(wèi)生系統(tǒng)對病人的治療能力,這可能發(fā)生在很大一部分情況下,比如患者人數(shù)較多,但醫(yī)療設(shè)施不足、床位數(shù)量有限等,應(yīng)用了分段函數(shù)(1)作為治愈函數(shù)。又在模型中應(yīng)用了飽和發(fā)生率[11],并考慮了恢復(fù)者再次喪失免疫變?yōu)橐赘姓遊9]。建立了飽和發(fā)生率和分段函數(shù)治愈率的SEIRS傳染病模型。

1 傳染病模型的建立

建立以下易感者—潛伏者—病染者—恢復(fù)者—易感者(susceptible-exposure-infected-recovery-susceptible)傳染病模型:

(2)

2 平衡點的存在性

設(shè)系統(tǒng)(2)的正平衡點為I*,當(dāng)0

(3)

當(dāng)I*>I0時,使系統(tǒng)(2)右邊得零,可得

(4)

2.1 地方病平衡點P*(S*,E*,I*,R*)的存在性

由系統(tǒng)(3)可得基本再生數(shù)

(5)

經(jīng)計算可得當(dāng)R0>1時,系統(tǒng)(3)有唯一的地方病平衡點P*(S*,E*,I*,R*),其中

(6)

(7)

同時式(6)中的I*必須滿足I*I0,即可得

(8)

2.2 地方病平衡點P1(S1,E1,I1,R1),P2(S2,E2,I2,R2)的存在性

由系統(tǒng)(4)可以得到I*必須滿足如下方程

b0(I*)2+b1I*+b2=0,

(9)

其中

b0=(ψ+μ)(μ+σ)(β+bμ)(μ+r+θ)-βψσθ,
b1=(ψ+μ)[(μ+σ)μ(μ+r+θ)-βσΛ]+uμ[b(ψ+μ)(μ+σ)+(μ+σ+ψ)β],
b2=(ψ+μ)(μ+σ)uμ。

(10)

(11)

由式(10)可以得到

(12)

其中

a1=b(ψ+μ)(μ+σ)+(μ+σ+ψ)β;

a2=(ψ+μ)[βσΛ-(μ+σ)μ(μ+r+θ)][b(ψ+μ)(μ+σ)+(μ+σ+ψ)β]>0;

a3=[(ψ+μ)(μ+σ)(β+bμ)(μ+r+θ)-βψσθ](ψ+μ)(μ+σ)>0;

a4=(ψ+μ)[(μ+σ)μ(μ+r+θ)-βσΛ]。

由式(12)的二次方程便可以得判別式

(13)

或

(14)

當(dāng)(σ+μ)μ(μ+r+θ)<βσΛ時,可得u0

因此當(dāng)且僅當(dāng)(σ+μ)μ(μ+r+θ)<βσΛ,uu0時b1<0,Δ≥0。

假設(shè)b1<0,Δ≥0,則式(9)有兩個正根I1,I2,

(15)

則

如果Ij>I0,則Pj(j=1,2)是系統(tǒng)(2)的一個地方病平衡點。

u

(16)

其中

l1=2[(ψ+μ)(μ+σ)(β+bμ)(r+μ+σ)-βψσθ]+kμ[b(ψ+μ)(μ+σ)+(μ+σ+ψ)β]。

也等價于(2b0I0+b1)2-Δ>0,經(jīng)過計算可以得出

于是可得

(1)如果(σ+μ)μ(μ+r+θ)<βσΛ(σ+μ)μ(μ+r+θ+k)則可以得到(b1+2b0I0)2-Δ>0。

(2)如果βσΛ>(σ+μ)μ(μ+r+θ+k),則R0>1;(b1+2b0I0)2-Δ>0等價于u>u2。

因此可得當(dāng)且僅當(dāng)

1)u

2)uu2,uu0,R0>1時,I1>I0。

其中k1=μ(μ+σ)(μ+r+θ);k2=(ψ+μ)(μ+σ)(μb+β);

l2={2[k2(r+μ+θ)-βψσθ]+kμ[b(ψ+μ)(μ+σ)+(μ+σ+ψ)β]}(μ+σ)μ(k+μ+r+θ)。

同理可以計算在I2存在時,滿足I2>I0的條件,可以用反證法。

我們即得到當(dāng)I2>I0時,當(dāng)且僅當(dāng)

1)u

2)uu0,u1。

歸納總結(jié)以上討論分析,有文獻(xiàn)[7]中類似的結(jié)論。

定理2.1當(dāng)(σ+μ)μ(μ+r+θ)≥βσΛ或u>u0時,系統(tǒng)(2)的地方性平衡點P1,P2都不存在,我們假設(shè)(σ+μ)μ(μ+r+θ)<βσΛ,uu0,于是有下面結(jié)論。

1)當(dāng)R01,u

推論2.2

1)當(dāng)R0<1,(σ+μ)μ(μ+r+θ)<βσΛ,且umin(u0,u1)時,地方病對平衡點P1,P2存在,則系統(tǒng)(2)關(guān)于地方病平衡點存在一個后向分支。

定理2.3

2)當(dāng)且僅當(dāng)R0>1,u≥u2,系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P*(S*,E*,I*,R*)存在進(jìn)一步當(dāng)u>u0或u1

證明由式(14)得u>u0意味著Δ<0,則此時P1,P2都不存在。當(dāng)u1

3 平衡點的穩(wěn)定性

由文獻(xiàn)[7]的定理3.1的證明過程可證系統(tǒng)(2)的無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。

定理3.1當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時,無病平衡點P0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時,無病平衡點P0不穩(wěn)定;進(jìn)一步,當(dāng)R0<1,u>u0時,P0為唯一的平衡點。

證明無病平衡點P0處的雅克比(Jacobian)矩陣為

(17)

特征方程為

(λ+μ)(λ+μ+ψ)[(λ+μ+σ)(λ+k+μ+r+θ)-βσΛ/μ]=0

λ1=-μ<0,λ2=-(μ+ψ)<0,

λ3+λ4=-(2μ+σ+r+θ+k)<0,λ3λ4=(μ+σ)(k+μ+r+θ)(1-R0)。

當(dāng)R0<1時,λ3+λ4<0,λ3λ4>0時可得特征根都為負(fù)值,即無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時,λ3+λ4<0,λ3λ4<0,即λ3,λ4異號,特征根存在正值,便得無病平衡點P0是不穩(wěn)定。

推論3.2當(dāng)R0<1時,地方病平衡點P*不存在;若u>u0,則地方病平衡點P1,P2也不存在；則R0<1時無病平衡點P0是系統(tǒng)(2)的唯一的平衡點。

定理3.3如果系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P*存在,則P*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明地方病平衡點P*處的雅克比(Jacobian)矩陣為

可得特征方程為

λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4=0。

其中

可得Ai>0(i=1,2,3,4),

由Hurwitz判據(jù)得特征方程的所有根都具有負(fù)實部,所以當(dāng)R0>1,u≥u2,地方病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的。

由文獻(xiàn)[7]的定理3.4的證明方法可證得地方病平衡點P1是不穩(wěn)定的。

定理3.4如果系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P1存在,則P1是不穩(wěn)定的

證明地方病平衡點P1(S1,E1,I1,R1)處的雅克比(Jacobian)矩陣為

便可得

所以可得特征方程的根是異號的,一定有正根存在,由Hurwitz判據(jù)得地方病平衡點P1是不穩(wěn)定的。

由文獻(xiàn)[8]的命題2的證明方法可證系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P2在一定條件下是局部漸近穩(wěn)定的。

定理3.5如果系統(tǒng)(2)的地方病平衡點P2存在,則P2是局部漸近穩(wěn)定的。

證明地方病平衡點P2(S2,E2,I2,R2)處的雅克比(Jacobian)矩陣為

可得特征方程為

λ4+d1λ3+d2λ2+d3λ+d4=0,

令

d1=μ+x1+x3+x4+x5;

d2=(μ+x1)(x3+x4)+x3x4+(μ+x1+x3+x4)x5-σx2;

d3=[(μ+x1)(x3+x4)+x3x4-σx2]x5+(μ+x1)x3x4-σx2(x5+μ);

d4=-ψσθx1+(μ+x1)x3x4x5-σx2μx5。

令

m1=μ+x1+x3+x4;m2=(μ+x1)(x3+x4)+x3x4;

m3=(μ+x1)x3x4;m4=-ψσθx1。

可得

Δ1=d1=m1+x5>0,

=(μ+x1+x3+x4+x5)](μ+x1)(x3+x4)+x3x4+(μ+x1+x3+x4)x5-σx2]

-[(μ+x1)(x3+x4)+x3x4-σx2]x5-(μ+x1)x3x4+σx2μ>0,

=(m1-μ)(μ+x5)(σx2)2+{(μ-m1+x5)(m2x5+m3)-(m1+x5)(m2+m1x5)x5-

m3](m2x5+m3)-(m1+x5)2(m3x5+m4),

Δ4=d4Δ3。

由Hurwitz判據(jù)得只要Δ3的符號就可判定地方性平衡點P2的局部漸近穩(wěn)定性。記

σx2=y;

n1=(m1-μ)(μ+x5)

n2=(μ-m1+x5)(m2x5+m3)-(m1+x5)(m2+m1x5)x5-

n3=[(m1+x5)(m2+m1x5)-m2x5-m3](m2x5+m3)-(m1+x5)2(m3x5+m4),

便可得

Δ3=n1y2+n2y2+n3,

顯然n1>0,n3>0。則得到P2的局部漸近穩(wěn)定性的充分性條件，其可以看作是以y為變量的二次函數(shù),顯然m1>0,則得到Δ3>0的充分條件,也就得到地方病平衡點P2(S2,E2,I2,R2)的局部漸近穩(wěn)定的充分條件。

(1)當(dāng)Δ>0，如果yy2,則地方性平衡點P2是局部漸近穩(wěn)定的。

(3)當(dāng)Δ<0，對于任意的實數(shù)y,地方性平衡點P2是局部漸近穩(wěn)定的,其中

4 數(shù)值模擬

這一部分將選取一系列的參數(shù)通過MATLAB數(shù)值模擬畫出相應(yīng)的圖形,驗證本文的結(jié)論,以便更直觀地得到平衡點的穩(wěn)定性。

對于系統(tǒng)(2),選取參數(shù)β=0.05,μ=0.03,ψ=0.3,b=0.1,σ=0.15,r=0.3,θ=1,Λ=3,k=3.5。通過計算可得R0=0.8627<1,u0=1.2690,u1=2.5210,即為定理2.1的情況1。如圖2所示會出現(xiàn)一個后向分支,圖中的一條直線表示無病平衡點P0,既當(dāng)0

對于系統(tǒng)(2),選取參數(shù)β=0.05,μ=0.03,ψ=0.3,b=0.1,σ=0.15,r=0.3,θ=0.8,Λ=5.5,k=3.5。通過計算可得R0=0.8627<1,u0=1.2690,u1=2.5210,如圖2所示系統(tǒng)(2)會出現(xiàn)一個后向分支。選擇I0=0.29,u=1

5 結(jié) 論