重疊函數(shù)和分組函數(shù)的加法與乘法生成子對(duì)的相互轉(zhuǎn)化

張廷海， 覃 鋒

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330022)

在圖像處理[1]，決策和偏好建模[2]等應(yīng)用領(lǐng)域都涉及到分類問(wèn)題，即根據(jù)每個(gè)對(duì)象的隸屬度將其分配到適當(dāng)?shù)念愔?。三角模和三角余模作為重要的聚合算子[3]被廣泛地應(yīng)用于其中，然而，在許多情況下，三角模和三角余模所要求的結(jié)合性并不滿足，于是，Bustince et al.[4]分別在2009年和2012年引入了重疊函數(shù)和分組函數(shù)這兩個(gè)特殊的聚合算子，并應(yīng)用于該領(lǐng)域。

重疊函數(shù)可用于圖像處理中測(cè)度表示對(duì)象和背景的兩個(gè)函數(shù)的重疊程度，它是定義在[0,1]×[0,1]上的交換、遞增、連續(xù)且滿足適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件的二元函數(shù)，而分組函數(shù)是重疊函數(shù)的對(duì)偶概念。近幾年來(lái)，它們?cè)诶碚摵蛻?yīng)用上都得到快速的發(fā)展，取得了不少成果。2013年Bedregal et al.[5]研究了重疊函數(shù)和分組函數(shù)的遷移性、齊次性、冪等性和自同構(gòu)性等重要性質(zhì)。Jurio et al.[6]討論了重疊函數(shù)和分組函數(shù)的一些性質(zhì)及其在圖像閾值分割中的應(yīng)用。2014年Dimuro et al.[7,8]研究了阿基米德重疊函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。2016年喬軍勝和胡寶清[9]又給出了利用乘法生成子對(duì)來(lái)表示重疊函數(shù)和分組函數(shù)的方法及其相應(yīng)的性質(zhì)。大家知道，在三角模和三角余模的表示問(wèn)題上，通過(guò)加法和乘法生成子來(lái)表示是兩種極其重要的方法，并且兩種生成子之間有著緊密的聯(lián)系，基于這一思想，在本文中我們發(fā)現(xiàn)重疊函數(shù)和分組函數(shù)的加法生成子對(duì)與乘法生成子對(duì)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，并由此獲得了這兩類函數(shù)與其對(duì)應(yīng)生成子對(duì)之間的相互關(guān)系的新結(jié)論，從而為這兩類函數(shù)的兩種生成子對(duì)及其相應(yīng)性質(zhì)的轉(zhuǎn)換提供了一種有效途徑。

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)將介紹重疊,分組函數(shù)的概念及它們之間的聯(lián)系，并給出一些具體例子。

定義1[4]若二元函數(shù)O:[0,1]2→[0,1]滿足以下條件：

(O1)O是交換的；

(O2)O(x,y)=0?xy=0；

(O3)O(x,y)=1?xy=1；

(O4)O是遞增的；

(O5)O是連續(xù)的；

則稱O為重疊函數(shù)。

例1重疊函數(shù)作為一類合取聚合算子，它與三角模既有交叉又有不同，但重疊函數(shù)類比三角模類廣泛得多，下面給出一些常見(jiàn)的重疊函數(shù)。

(1)任意的無(wú)零因子連續(xù)三角模；

(2)OmM(x,y)=min {x,y}max {x2,y2}；

(4)Op(x,y)=xpyp,p>0；

定義2[5]若二元函數(shù)G:[0,1]2→[0,1]滿足以下條件：

(G1)G是交換的；

(G2)G(x,y)=0?x=y=0；

(G3)G(x,y)=1?x=1或y=1；

(G4)G是遞增的；

(G5)G是連續(xù)的；

則稱G為分組函數(shù)。

正如三角模與三角余模關(guān)于嚴(yán)格(或強(qiáng))否定具有對(duì)偶性，分組函數(shù)與重疊函數(shù)也關(guān)于嚴(yán)格(或強(qiáng))否定是對(duì)偶的。下面給出相關(guān)概念和性質(zhì)。

定義3[5]若連續(xù)、嚴(yán)格遞減函數(shù)N:[0,1]→[0,1]滿足N(0)=1,N(1)=0，則稱N是嚴(yán)格否定，若進(jìn)一步對(duì)任意x∈[0,1]有N(N(x))=x，則稱N是強(qiáng)否定。

命題1[5]設(shè)O是重疊函數(shù)，G是分組函數(shù)，N是嚴(yán)格否定，則

(1)ON(x,y)=N(G(N(x),N(y)))是重疊函數(shù)；

(2)GN(x,y)=N(O(N(x),N(y)))是分組函數(shù)。

稱命題1中的重疊函數(shù)ON為G的N對(duì)偶重疊函數(shù),分組函數(shù)GN為O的N對(duì)偶分組函數(shù)。特別地，當(dāng)N是標(biāo)準(zhǔn)模糊否定N(x)=1-x時(shí)，稱重疊函數(shù)ON與分組函數(shù)GN分別是G和O的對(duì)偶函數(shù)。

由命題1可知，給定嚴(yán)格(或強(qiáng))否定N，由重疊函數(shù)可得到對(duì)應(yīng)的對(duì)偶分組函數(shù)，反之亦然。因此，我們可由N(x)=1-x得到與例1中各重疊函數(shù)對(duì)偶的分組函數(shù)。

例2(1)任意的無(wú)1因子連續(xù)三角余模；

(2)GmM(x,y)=1-min{1-x,1-y}max{(1-x)2,(1-y)2}；

(4)Gp(x,y)=1-(1-x)p(1-y)p,p>0；

2 重疊,分組函數(shù)的加法生成子對(duì)的概念與有關(guān)性質(zhì)

在重疊函數(shù)的表示問(wèn)題上，DimuroandBedegral[8]在2013年首先引入了重疊函數(shù)的加法生成子對(duì)的概念，這使得作為二元函數(shù)的重疊函數(shù)可由兩個(gè)一元函數(shù)和加法運(yùn)算來(lái)表示。

命題2[8]設(shè)θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞減函數(shù)，且滿足：

則函數(shù)Oθ,?:[0,1]2→[0,1],Oθ,?(x,y)=?(θ(x)+θ(y))是重疊函數(shù)。

定義4設(shè)θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞減函數(shù)，若二元函數(shù)Oθ,?:[0,1]2→[0,1],Oθ,?(x,y)=?(θ(x)+θ(y))是重疊函數(shù)，則稱函數(shù)對(duì)(θ,?)為重疊函數(shù)Oθ,?的加法生成子對(duì)，也稱Oθ,?是由(θ,?)加法生成的。

我們將看到命題2的結(jié)論僅是充分而不必要的，但當(dāng)(θ,?)是重疊函數(shù)Oθ,?的加法生成子對(duì)時(shí)，函數(shù)θ和?的上述條件可相互確定。

定理1設(shè)θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞減函數(shù)，且

Oθ,?(x,x)=?(θ(x)+θ(x))=?()=0，由重疊函數(shù)定義的O2知x=0。

命題3[10]設(shè)σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞增函數(shù)，且滿足：

則函數(shù)Gσ,ζ:[0,1]2→[0,1],Gσ,ζ(x,y)=ζ(σ(x)+σ(y))是分組函數(shù)。

定義5設(shè)σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞增函數(shù)，若二元函數(shù)Gσ,ζ:[0,1]2→[0,1],Gσ,ζ(x,y)=ζ(σ(x)+σ(y))是分組函數(shù)，則稱函數(shù)對(duì)(σ,ζ)為分組函數(shù)Gσ,ζ的加法生成子對(duì)，也稱Gσ,ζ是由(σ,ζ)加法生成的。

類似于重疊函數(shù)與分組函數(shù)的對(duì)偶性，它們的加法生成子對(duì)(θ,?)與(σ,ζ)也關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)否定N(x)=1-x是對(duì)偶的。

引理1[10]設(shè)θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是滿足命題2中條件的連續(xù)、遞減函數(shù)，考慮函數(shù)σθ:[0,1]→[0,]和ζ?:[0,]→[0,1]，其中σθ(x)=θ(1-x),

ζ?(x)=1-?(x)，則σθ和ζ?滿足命題3的條件。

由此引理，可以得到類似于定理1的以下結(jié)論。

定理2設(shè)σ:[0，1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞增函數(shù)，且

證明：令θσ(x)=σ(1-x)，?ζ(x)=1-ζ(x)，則θσ,?ζ是連續(xù)、遞減函數(shù)，且由命題1可知二元函數(shù)

Oθσ,?ζ(x,y)=?ζ(θσ(x)+θσ(y))=1-ζ(σ(1-x)+σ(1-y))=1-Gσ,ζ(1-x,1-y)

此外，在文[9]中，喬軍勝和胡寶清還刻畫了重疊函數(shù)(分組函數(shù))與其加法生成子對(duì)的其它性質(zhì)。

命題4[9]設(shè)θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞減函數(shù)，且

例3考慮兩函數(shù)θ:[0,1]→[0,]，?:[0,]→[0,1]，

這些例子說(shuō)明，命題2只是充分而不必要的，但當(dāng)?是嚴(yán)格的函數(shù)時(shí)，命題2就成為下列充分必要的結(jié)論。

命題5[9]設(shè)θ:[0,1]→[0,]是連續(xù)、遞減函數(shù)，?:[0,]→[0,1]是連續(xù)、嚴(yán)格遞減函數(shù)，則(θ,?)是重疊函數(shù)Oθ,?的加法生成子對(duì)的充要條件是θ滿足?滿足

命題6[9]設(shè)σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是連續(xù)、遞增函數(shù)，且

命題7[9]設(shè)σ:[0,1]→[0,]是連續(xù)、遞增函數(shù)，ζ:[0,]→[0,1]是連續(xù)、嚴(yán)格遞增函數(shù)，則(σ,ζ)是分組函數(shù)Gσ,ζ的加法生成子對(duì)的充要條件是σ滿足滿足

事實(shí)上，對(duì)于任意可以利用加法生成子對(duì)表示的重疊函數(shù)和分組函數(shù)，也可以通過(guò)兩個(gè)一元函數(shù)和乘法運(yùn)算來(lái)表示，下面給出重疊函數(shù)和分組函數(shù)的乘法生成子對(duì)的概念及與其加法生成子對(duì)的聯(lián)系。

3 重疊函數(shù)的乘法生成子對(duì)的概念及與其加法生成子對(duì)的轉(zhuǎn)化

命題8[9]設(shè)g,h:[0,1]→[0,1]是兩個(gè)連續(xù)、遞增的函數(shù)，且滿足：

則函數(shù)Og,h:[0,1]2→[0,1],Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))是重疊函數(shù)。

定義6設(shè)g,h:[0,1]→[0,1]是兩個(gè)連續(xù)、遞增的函數(shù)，若二元函數(shù)

Og,h:[0,1]2→[0,1],Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))是重疊函數(shù)，則稱函數(shù)對(duì)(g,h)為重疊函數(shù)Og,h的乘法生成子對(duì)，也稱Og,h是由(g,h)乘法生成的。

定理3設(shè)θ:[0,1]→[0,]和?:[0,]→[0,1]是滿足命題2的連續(xù)、遞減函數(shù)，則存在滿足命題8的連續(xù)、遞增函數(shù)hθ,g?，使得

Og?,hθ(x,y)=g?(hθ(x)hθ(y))=?(-lnhθ(x)hθ(y))=?(-lne-[θ(x)+θ(y)])=?(θ(x)+θ(y))=Oθ,?(x,y)是重疊函數(shù)。

稱定理3中的函數(shù)對(duì)(g?,hθ)為由重疊函數(shù)的加法生成子對(duì)(θ,?)所得的乘法生成子對(duì)。

由此定理可知，由重疊函數(shù)的加法生成子對(duì)(θ,?)經(jīng)h(x)=e-θ(x)和g(x)=?(-lnx)可得其對(duì)應(yīng)乘法生成子對(duì)(g,h)。反之，由重疊函數(shù)的乘法生成子對(duì)(g,h)經(jīng)θ(x)=-lnh(x)和?(x)=g(e-x)也可得其對(duì)應(yīng)加法生成子對(duì)(θ,?)。

根據(jù)定理3，可以得到以下重疊函數(shù)的乘法生成子對(duì)(g,h)的對(duì)應(yīng)于加法生成子對(duì)的下列性質(zhì)。

命題9設(shè)g,h:[0,1]→[0,1]是連續(xù)、遞增的函數(shù)，且Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))是重疊函數(shù)，則以下結(jié)論等價(jià)。

證明：由定理1和定理3立即可得。

命題10設(shè)O:[0,1]2→[0,1]是由(g,h)乘法生成的重疊函數(shù)，則

證明：由命題4和定理3立即可得。

定理4設(shè)h:[0,1]→[0,1]是連續(xù)、遞增函數(shù)，g:[0,1]→[0,1]是連續(xù)、嚴(yán)格遞增函數(shù)，則以下條件等價(jià)

(1)(g,h)是重疊函數(shù)Og,h的乘法生成子對(duì)；

證明：(1)(2)若(g,h)是重疊函數(shù)Og,h(x,y)=g(h(x)h(y))的乘法生成子對(duì)，則由定理3可知函數(shù)θ(x)=-lnh(x)是連續(xù)、遞減函數(shù)，?(x)=g(e-x)是連續(xù)、嚴(yán)格遞減函數(shù)，且(θ,?)加法生成重疊函數(shù)Oθ,?(x,y)=Og,h(x,y)，再由命題5可知θ滿足?滿足又由定理3可知，這等價(jià)于h滿足滿足

4 分組函數(shù)的乘法生成子對(duì)的概念及與其加法生成子對(duì)的轉(zhuǎn)化

命題11[9]設(shè)s,t:[0,1]→[0,1]是兩個(gè)連續(xù)、遞減的函數(shù)，且滿足：

則函數(shù)Gs,t:[0,1]2→[0,1],Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y))是分組函數(shù)。

定義7設(shè)s,t:[0,1]→[0,1]是兩個(gè)連續(xù)、遞減的函數(shù)，若二元函數(shù)

Gs,t:[0,1]2→[0,1],Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y))是分組函數(shù)，則稱函數(shù)對(duì)(s,t)為分組函數(shù)Gs,t的乘法生成子對(duì)，也稱Gs,t是由(s,t)乘法生成的。

定理5設(shè)σ:[0,1]→[0,]和ζ:[0,]→[0,1]是滿足命題3的連續(xù)、遞增函數(shù)，則存在滿足命題11的連續(xù)、遞減函數(shù)tσ,sζ，使得

證明：類似定理3的證明，只需令tσ(x)=e-σ(x)，sζ(x)=ζ(-lnx)，x∈[0,1]，即可證得。

此定理也說(shuō)明，分組函數(shù)的加法生成子對(duì)和乘法生成子對(duì)之間也可以相互轉(zhuǎn)化，于是可以得到以下有關(guān)分組函數(shù)的乘法生成子對(duì)的類似于其加法生成子對(duì)的性質(zhì)。

命題12設(shè)s,t:[0,1]→[0,1]是連續(xù)、遞減函數(shù)，且Gs,t(x,y)=s(t(x)t(y))是分組函數(shù)，則以下結(jié)論等價(jià)。

證明：由定理2和定理5即可證得。

命題13設(shè)G:[0,1]2→[0,1]是由(s,t)乘法生成的分組函數(shù)，則

證明：由命題6和定理5即可證得。

定理6設(shè)t:[0,1]→[0,1]是連續(xù)、遞減函數(shù)，s:[0,1]→[0,1]是連續(xù)、嚴(yán)格遞減函數(shù)，則以下條件等價(jià)

(1)(s,t)是分組函數(shù)Gs,t的乘法生成子對(duì)；

證明：類似于定理4可證得。

由以上關(guān)于重疊函數(shù)(分組函數(shù))的加法生成子對(duì)與乘法生成子對(duì)的聯(lián)系以及重疊函數(shù)和分組函數(shù)的對(duì)偶性，我們可以得到，若(θ,?)是某重疊函數(shù)Oθ,?的加法生成子對(duì)，則σ(x)=θ(1-x)和ζ(x)=1-?(x)就是其對(duì)偶分組函數(shù)Gσ,ζ的加法生成子對(duì)，g(x)=?(-lnx)和h(x)=e-θ(x)是Oθ,?的乘法生成子對(duì)，s(x)=1-?(-lnx)和t(x)=e-θ(1-x)是Gσ,ζ的乘法生成子對(duì)，且這四個(gè)生成子對(duì)可相互確定。