脈沖中立型隨機(jī)微分方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性

徐 燕

河北大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北保定，071002

最近幾十年，中立型隨機(jī)時(shí)滯微分系統(tǒng)受到學(xué)者的大量關(guān)注，因?yàn)樵撃Ｐ涂梢悦枋龊芏囝I(lǐng)域的一些隨機(jī)現(xiàn)象[1]，比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，種群生態(tài)學(xué)，化學(xué)工程仿真，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，自動(dòng)控制領(lǐng)域等，其研究熱點(diǎn)是系統(tǒng)的漸近行為分析[2]。另外，脈沖效應(yīng)存在于各種應(yīng)用模型中，用于描述系統(tǒng)狀態(tài)在某一時(shí)刻的突變。目前，脈沖中立型時(shí)滯微分方程已有很多研究結(jié)果，如文獻(xiàn)[3]研究了一階歐拉型中立型脈沖微分方程解的漸近行為，文獻(xiàn)[4]研究了一類脈沖非線性中立型隨機(jī)微分方程解的漸近性。許多物理系統(tǒng)經(jīng)常遭受到不可預(yù)測(cè)的結(jié)構(gòu)改變，例如機(jī)器突然失靈，瞬間的環(huán)境擾動(dòng)等，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常用馬爾科夫調(diào)制的系統(tǒng)來描述這類系統(tǒng)。2003年，Kolmanovskii等考慮了馬爾科夫調(diào)制的中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程解的存在和唯一性，并且研究了解了漸近有界性和均方指數(shù)穩(wěn)定性[5]。盡管有很多文獻(xiàn)討論了脈沖中立型隨機(jī)微分方程和馬爾科夫調(diào)制的中立型隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性，但關(guān)于馬爾科夫調(diào)制的脈沖中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程指數(shù)穩(wěn)定性的研究工作很少，如文獻(xiàn)[6]利用Lyapunov方法結(jié)合線性矩陣不等式討論了馬爾科夫調(diào)制的脈沖中立型隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的均方指數(shù)穩(wěn)定性。受此啟發(fā)，本文利用文獻(xiàn)[7]和[8]中的方法研究馬爾科夫調(diào)制的脈沖中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性。

1 模型描述和預(yù)備知識(shí)

令τ>0,PC([-τ,0];Rd)={ψ:[-τ,0]→Rd|ψ(t-),ψ(t)存在,ψ(t+)=ψ(t),‖ψ(t)‖=

令r(t),t≥0是概率空間上取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}的一個(gè)右連續(xù)的馬爾科夫鏈，它的生成元Γ=(γij)N×N滿足

P{r(t+Δ)=j|r(t)=i}

假設(shè)r(t)與布朗運(yùn)動(dòng)w(t)是相互獨(dú)立的。r(t)幾乎每一個(gè)樣本路徑是右連續(xù)的分段函數(shù)且在R+(:=[0,))的任何有限子區(qū)間上是有限簡(jiǎn)單跳。

記C2,1(Rd×R+×S;R+)表示所有定義在Rd×R+×S上關(guān)于x連續(xù)可微關(guān)于t連續(xù)可微的非負(fù)函數(shù)V(x,t,i)的全體。

下面討論馬爾科夫調(diào)制的非線性脈沖中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性：

(1)

假設(shè)f,g,Dk滿足解全局存在和唯一的必要條件，對(duì)于t≥0，記此唯一解為x(t,x0)。為了討論穩(wěn)定性，假設(shè)f(0,0,t,0)=g(0,0,t,0)=0和Dik(0)=0,k∈Z+，則系統(tǒng)(1)有一平凡解x(t)≡0。

一個(gè)隨機(jī)過程x(t)稱為系統(tǒng)(1)的解，若滿足下列條件

(1) 當(dāng)-τ≤t≤0時(shí)x(t)=φ(t)，當(dāng)t≥0，t≠tk(k=1,2,…)時(shí)x(t)是連續(xù)的；

(2) 當(dāng)t≥0，t≠tk(k=1,2,…)時(shí)x(t)-C(t)x(t-τ)是連續(xù)可微的且滿足系統(tǒng)(1)；

(3)x(tk+)和x(tk-)存在且x(tk+)=x(tk)滿足系統(tǒng)(1)。

定義2[10]泛函V:Rd×R+×S→R+屬于類Ψ0，若滿足下列條件：

(1)泛函V在集Rd×R+×S上是連續(xù)的且當(dāng)t≥0時(shí)，V(0,t,i)≡0,i∈S；

(2)V(x,t,i)關(guān)于x∈Rd,i∈S是局部Lipschitzian的；

引理1[9]171設(shè)a,b∈Rd及0<ε<1。則下式成立

|a+b|2

(2)

引理2[8]設(shè)β>0,00,x(t),-τ≤t<是一個(gè)滿足的d維隨機(jī)過程且滿足

E|x(t)-C(t)x(t-τ)|2≤ce-βt,t≥0

(3)

則E|x(t)|2≤Ae-(β∧α)t

(4)

引理3[11]假設(shè)W∈Rd×d是正定矩陣，U∈Rd×d是對(duì)稱矩陣，則對(duì)任何x∈Rd，下式成立xTUx≤λmax(W-1U)xTWx。

2 主要結(jié)果和證明

使用Lyapunov-Krasovskii泛函證明系統(tǒng)(1)的均方指數(shù)穩(wěn)定性。為了討論方便，當(dāng)r(t))=l，記矩陣Dk(r(t))為Dlk?？紤]系統(tǒng)(1)的脈沖時(shí)刻tk，假設(shè)tk-τ不是脈沖時(shí)刻且下列條件成立

C(tk)=Dk(r(t))C(tk-),k=1,2,….

(5)

定理1令β0是一個(gè)固定的正常數(shù)，假設(shè)對(duì)每一個(gè)i∈S，存在對(duì)稱正定矩陣Ui，以及常數(shù)βi∈R，使得以下條件成立：

(x(t)-C(t)x(t-τ))TUif(x(t),x(t-τ),t,i)

Uig(x(t),x(t-τ),t,i)]

≤βi(x(t)-C(t)x(t-τ))T

Ui(x(t)-C(t)x(t-τ))

(6)

(7)

λmax(Ui-DikTUlDik)-1<0,r(tk)=l

(8)

則系統(tǒng)(1)的平凡解是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

證明：若V(x,t,i)∈C2,1(Rd×R+×S;R+)，定義從Rd×Rd×R+×S到R的算子LV(x,y,t,i)=Vi(x-C(t)y,t,i)+Vx(x-C(t)y,t,i)f(x,y,t,i)

考慮下列Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)=eβ0t(x(t)-C(t)x(t-τ))TUi(x(t)-C(t)x(t-τ))。 顯然，V(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)∈Ψ0。當(dāng)t∈[tk-1,tk)，由系統(tǒng)(1)和引理3，得到:

LV(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)

=eβ0t{β0(x(t)-C(t)x(t-τ))TUi(x(t)

-C(t)x(t-τ))+2[(x(t)-C(t)

x(t-τ))TUif(x(t),x(t-τ),t,i)

TUj(x(t)-C(t)x(t-τ))}

≤(β0+2βi)eβ0t(x(t)-C(t)x(t-τ))

TUi(x(t)-C(t)x(t-τ))

≤(β0+2βi)eβ0t(x(t)-C(t)x(t-τ))

TUi(x(t)-C(t)x(t-τ))

進(jìn)一步得到，

ELV(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)

其中x(t)=(x1(t),…,xd(t))。

則由(7)有ELV(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)≤0,t∈[tk-1,tk)

(9)

對(duì)任意的t,t*∈[tk-1,tk)且t>t*，應(yīng)用Dynkin's公式，得到

EV(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)-EV(x(t*)-C(t*)x(t*-τ),t*,r(t*))

進(jìn)而得到

EV(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)≤EV(x(t*)-C(t*)x(t*-τ),t*,r(t*))

(10)

當(dāng)t=tk，應(yīng)用條件(5)和(8)，有

得到V(x(tk)-C(tk)x(tk-τ),tk,l)

≤V(x(tk-)-C(tk-)x(tk--τ),tk-,i)

(11)

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)i,l∈S以及k≥1，有

EV(x(tk)-C(tk)x(tk-τ),tk,r(tk))

≤EV(x(tk-1)-C(tk-1)x(tk-1-τ),tk-1,r(tk-1))

≤…

≤EV(x(0)-C(0)x(-τ),0,r(0))

(12)

聯(lián)合(10)和(12)，得到

≤EV(x(t)-C(t)x(t-τ),t,i)

≤EV(x(0)-C(0)x(-τ),0,r(0))

(13)

另一方面，由V(x(0)-C(0)x(-τ),0,r(0))的定義，我們有

EV(x(0)-C(0)x(-τ),0,r(0))

E|x(t)-C(t)x(t-τ)|2

因此，由引理2，得到E|x(t)|2≤Ne-(β0∧α)t,其中

最后，由定義1得出系統(tǒng)(1)的平凡解是均方指數(shù)穩(wěn)定的且它的Lyapunov指數(shù)不超過-(β0∧α)。證畢。

3 例 子

為說明定理的應(yīng)用，考慮下面一個(gè)二維馬爾科夫調(diào)制的脈沖隨機(jī)微分系統(tǒng)：

(14)

系統(tǒng)(14)的其他參數(shù)如下：t≥0,τ=2,

f1(x(t),x(t-τ),t,i)

f2(x(t),x(t-τ),t,i)

g1(x(t),x(t-τ),t,i)

g2(x(t),x(t-τ),t,i)

(x(t)-C(t)x(t-τ))TU1f(x(t),x(t-τ),t,1)

≤-1.5(x(t)-C(t)x(t-τ))TU2(x(t)-C(t)x(t-τ))

即，β1=-1,β2=-1.5。進(jìn)一步計(jì)算得到

上面結(jié)果顯示定理1的所有條件都滿足。因此，由定理1，系統(tǒng)(14)是均方指數(shù)穩(wěn)定的且Lyapunov指數(shù)不超過-(0.50∧35)。