一種改進小波閾值函數(shù)的信號去噪

郝建軍,劉勇剛,廖 剛,徐 童,陳家棟

(重慶理工大學 機械工程學院， 重慶 400054)

信號去噪是信號處理領域的經(jīng)典問題之一。傳統(tǒng)的去噪方法主要包括線性濾波和非線性濾波，其不足之處在于使信號變換后的熵增高、無法刻畫信號的非平穩(wěn)性且無法得到信號的相關性[1]。小波變換自提出以來，在許多工程技術領域均得到了較好的應用。在故障診斷的分析過程中，需要對該過程所產(chǎn)生的信號進行采集與處理，信號在采集與傳輸?shù)倪^程中，會不可避免地受到大量噪聲信號如機械噪聲、電磁噪聲的干擾。小波分析能同時對信號的時域和頻域進行分析，較好地區(qū)分信號中的突變部分和噪聲，進而對信號進行去噪[2]。

小波去噪的關鍵在于閾值函數(shù)的選取，其在一定程度上關系到信號去噪的質(zhì)量，硬閾值和軟閾值是小波去噪最常用的函數(shù)，硬閾值方法可以很好地保留信號邊緣等局部特征，軟閾值處理要相對平滑，但會造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象[3-6]。隨著小波分析的不斷深入，不同改進閾值函數(shù)的算法也相繼提出：半軟閾值函數(shù)作為一種改進的閾值算法可以兼顧軟硬閾值方法的優(yōu)點，相對于軟硬閾值函數(shù)方法較好地保留了原始信號的特征[7-8]。本文采用一種新型的改進閾值函數(shù)的算法對采集到的信號進行去噪，同時通過實驗比較，選取最優(yōu)的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，在不同閾值情況下，以信噪比和均方根誤差為準則，進而判斷信號去噪效果。信噪比越大，均方根誤差越小，信號去噪效果越好，越接近原始信號[9]。實驗結(jié)果表明：本文提出的改進閾值算法的小波去噪所取得的去噪效果更優(yōu)于軟硬閾值和半軟閾值。

1 小波閾值去噪原理

在故障診斷、信號檢測領域，常常需要對信號進行預處理，由于采集到的信號包含各種干擾噪聲，在對信號進行預處理的過程中需要對信號進行去噪，避免干擾噪聲對故障診斷的影響。小波去噪的基本原理表現(xiàn)為：先對信號進行若干層小波分解，提取各層高頻小波系數(shù)，再選取合適的閾值，若小波系數(shù)大于該閾值，則認為該系數(shù)主要是由噪聲引起的，將這部分系數(shù)去除；若小波系數(shù)小于該閾值，則認為該系數(shù)是由信號引起的，進而保留這部分系數(shù)。對高頻部分的信號進行閾值處理進而濾除高頻部分的噪聲達到去噪的目的[10-11]。

小波去噪的過程主要包括3個部分：信號分解—閾值量化—小波重構。

1) 選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)對信號進行多尺度小波分解，同時得出各尺度的小波系數(shù)；

2) 對各分解尺度下的高頻系數(shù)選擇合適的閾值函數(shù)和閾值進行閾值量化處理；

3) 根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)進行小波重構得到去噪后的信號。

2 小波變換閾值函數(shù)的改進算法

在設計閾值函數(shù)的過程中，應盡量使函數(shù)具有連續(xù)性和高階可導性，傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)并不具備高階可導性，有研究者提出半軟閾值函數(shù)的去噪方法，其表達式如下：

(1)

其中：0

本文提出的閾值函數(shù)綜合前面所述閾值函數(shù)的優(yōu)點，函數(shù)曲線較各閾值函數(shù)較為光滑，改進的閾值函數(shù)的表達式如下：

(2)

其中：0<α<1；m∈R+；t表示閾值大小。式(2)優(yōu)化了在±t處的連續(xù)性問題，在信號重建時避免了一些附加震蕩，同時優(yōu)化|η(ω)-ω|的誤差問題，使經(jīng)閾值函數(shù)處理的高頻系數(shù)在重建后減少了信號的失真。

圖1 各閾值函數(shù)曲線

由圖1和式(2)可知：該閾值函數(shù)具有連續(xù)性和高階可導性，此函數(shù)在閾值t附近存在一個平緩的過渡帶；此外，函數(shù)在直線η(ω)=ω時逼近程度較好，這樣不僅可以去除|ω|≥t時的噪聲，還不會像軟閾值那樣在η(ω)和ω之間存在偏差。從該函數(shù)還可以看出：當α→0，m→∞時，該函數(shù)退化為硬閾值函數(shù)；當α→1，m→0時，該函數(shù)退化為軟閾值函數(shù)。可以通過調(diào)節(jié)α和m值的大小使閾值函數(shù)靈活變換，達到對信號靈活去噪的目的，本文所提出的閾值函數(shù)令α=2，m=0.2。

3 改進閾值函數(shù)去噪試驗

為了驗證新閾值函數(shù)的有效性，本文通過Matlab對信號進行仿真驗證，在小波工具箱中裝載一段leleccum信號，取1 024個采樣點，并隨機生成噪聲信號。對含噪信號分別進行硬閾值、軟閾值、半軟閾值與改進閾值函數(shù)去噪以此來驗證該方法的有效性，生成該信號的信噪比SNR=26 dB，仿真實驗所采用的小波基函數(shù)為sym6小波基，分解層數(shù)為3層。圖2為在Matlab小波工具箱中生成的原始信號；圖3為加了噪聲之后的含噪信號；圖4～7為采用各種閾值函數(shù)處理之后的信號。本文采用信噪比(SNR)與均方根誤差(RSME)的評價指標來判別改進閾值與傳統(tǒng)閾值函數(shù)去噪效果。信噪比越大，均方根誤差越小，去噪后信號更接近原始信號，去噪效果越好[12-16]。信噪比表達式為：

(3)

均方根誤差的表達式為：

(4)

其中s(n)表示原始信號，y(n)表示去噪后的信號。

圖2 原始信號

圖3 含噪信號

圖4 硬閾值去噪信號

圖5 軟閾值去噪信號

圖6 半軟閾值去噪信號

圖7 改進閾值去噪信號

從上述圖中可以看出：硬閾值函數(shù)去噪后的信號存在較多的尖峰，軟閾值函數(shù)去噪后的信號相較于硬閾值函數(shù)尖峰減少，但還是存在模糊點，與原始信號接近程度效果還不理想，半軟閾值綜合了軟硬閾值的優(yōu)點，但與原始信號接近程度不夠高。從圖7可以看出：改進閾值函數(shù)處理后的信號與原始信號最接近，由此驗證了本文提出的改進閾值函數(shù)可以取得更好的去噪效果。為進一步驗證該方法的有效性，選取不同的小波基對信號進行去噪，小波分解層數(shù)為3，本文選取的小波基函數(shù)分別為sym6、db6、coif5。比較各閾值函數(shù)去噪后的信噪比(SNR)和均方根誤差(RSME)，各閾值函數(shù)去噪信噪比和均方根誤差如表1所示。

從表1可以看出：通過選取其中較常用的小波基函數(shù)對信號進行去噪處理，改進閾值函數(shù)的去噪效果均優(yōu)于前3種閾值函數(shù)，計算得到的信噪比越高，均方根誤差越小，由此可以驗證在不同的小波基函數(shù)下該改進的閾值函數(shù)的有效性。

此外，通過選取不同的閾值也可以得到不同去噪效果的信號。閾值的選取包括4種：無偏似然估計閾值(rigrsure)、固定閾值(sqtwolog)、啟發(fā)式閾值(heursure)、極大極小閾值(minimaxi)，小波基函數(shù)為sym6，分解層數(shù)為3，4種閾值得到的去噪效果如表2所示。

表1 各閾值函數(shù)降噪結(jié)果

表2 各閾值選取對信號的降噪結(jié)果

各閾值函數(shù)在不同閾值情況下去噪的信噪比和均方根誤差如表2所示，從表中可以看出：不管在何種閾值情況下，改進閾值函數(shù)對信號去噪后的信噪比均高于軟、硬閾值和半軟閾值函數(shù)；均方根誤差均要低于前述3種閾值函數(shù)。由此可以驗證改進閾值函數(shù)對信號具有更好的去噪效果。

4 結(jié)束語

本文在原有閾值函數(shù)的基礎上提出了一種改進的閾值函數(shù)，并在實驗中通過產(chǎn)生一段仿真原始信號加隨機噪聲對其進行去噪發(fā)現(xiàn)，改進閾值函數(shù)對信號的去噪效果要優(yōu)于軟、硬閾值和半軟閾值函數(shù)；為進一步驗證該改進閾值函數(shù)的有效性，本文還在不同的小波基函數(shù)和不同閾值情況下對信號進行去噪仿真比較各閾值函數(shù)的信噪比和均方根誤差。試驗結(jié)果表明：在不同的小波基函數(shù)或不同閾值選取原則下，改進的閾值函數(shù)對信號的去噪效果均優(yōu)于前3種閾值函數(shù)，去噪所得信噪比更高，均方根誤差更小，進而驗證了本文提出的改進閾值函數(shù)的有效性。