小樣本下裝備平均修復(fù)時(shí)間的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型

柯宏發(fā)， 祝冀魯， 孫云輝

(1. 航天工程大學(xué)航天保障系, 北京102206; 2. 北京亞美聯(lián)技術(shù)有限公司, 北京100080)

武器裝備維修性是指裝備在規(guī)定的條件下和規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，按規(guī)定的程序和方法進(jìn)行維修時(shí)保持或恢復(fù)其規(guī)定狀態(tài)的能力[1]。對(duì)裝備維修性進(jìn)行計(jì)算、驗(yàn)證和評(píng)估[2]，通常必須選用一系列定性和定量的維修性參數(shù)[3]。由于裝備平均修復(fù)時(shí)間直接影響裝備的可用性、戰(zhàn)備完好性，且與維修保障費(fèi)用有關(guān)，因此成為描述裝備維修性的一個(gè)主要參數(shù)。

目前，對(duì)裝備平均修復(fù)時(shí)間進(jìn)行估計(jì)與驗(yàn)證的常用方法為：在自然故障或模擬故障條件下進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析判定維修性是否達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)要求。這種驗(yàn)證方法的理論基礎(chǔ)是經(jīng)典數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，需要假設(shè)樣本的概率分布特征，且需要較大的樣本量才能得到較高的估計(jì)精度。針對(duì)小樣本處理的Bayes方法[4-6]屬于一種概率統(tǒng)計(jì)方法，需要利用驗(yàn)前信息并確定其概率分布形式，且非常依賴于驗(yàn)前信息的融合正確性[7]。然而，隨著武器裝備的復(fù)雜化、網(wǎng)絡(luò)化、體系化發(fā)展，獲取較多裝備維修性驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量的難度越來越大，成本也越來越高，亟需解決未知概率分布前提下小樣本數(shù)據(jù)的擴(kuò)展生成、參數(shù)估計(jì)等技術(shù)難題。

在未知概率分布前提下，小樣本數(shù)據(jù)處理通常基于以下2種模式：1)基于不確定理論相關(guān)方法的直接估計(jì)方法[8]，但這種方法難以給出參數(shù)估計(jì)的置信度；2)基于GM(1,1)模型等不確定理論相關(guān)方法的間接估計(jì)方法[9-13]，如灰自助生成方法。均值GM(1,1)模型具有一定的適用范圍，對(duì)非指數(shù)增長(zhǎng)或振蕩數(shù)據(jù)序列的均值GM(1,1)模型擬合誤差偏大，而裝備維修時(shí)間虛擬樣本原始數(shù)據(jù)序列往往呈現(xiàn)振蕩特征。對(duì)于非指數(shù)增長(zhǎng)或振蕩數(shù)據(jù)序列，應(yīng)優(yōu)先選擇離散形態(tài)的原始差分、均值差分或離散GM(1,1)模型[14-15]。

筆者借鑒灰自助的樣本生成思想[10-13]，提出通過離散GM(1,1)模型產(chǎn)生虛擬總體樣本的新方法，并通過未確知有理數(shù)[16-17]對(duì)總體樣本進(jìn)行相應(yīng)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，最后對(duì)算例進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

1 小樣本數(shù)據(jù)的離散GM(1,1)模型生成

在武器裝備試驗(yàn)活動(dòng)中，由于試驗(yàn)條件和費(fèi)用的限制，很多測(cè)試指標(biāo)得到的數(shù)據(jù)樣本量很小，其數(shù)據(jù)集合可以描述為

T′={x(t′),t′=1,2,…,N}，

(1)

式中：x(t′)為第t′個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)；N為測(cè)量數(shù)據(jù)總數(shù)，通常情況下N∈[5，10]。對(duì)于此類小樣本指標(biāo)數(shù)據(jù)，難以確定其概率分布特征，即使假設(shè)其服從正態(tài)分布，其參數(shù)估計(jì)的置信度也難以保證?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為:這N個(gè)小樣本數(shù)據(jù)所攜帶的信息不足以確定測(cè)試指標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)和數(shù)量關(guān)系，但已經(jīng)部分地反映了測(cè)試指標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)。通過“已知部分”推斷“未知部分”正是灰色系統(tǒng)技術(shù)與方法的優(yōu)勢(shì)。

1.1 離散GM(1,1)模型

x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2

(2)

為GM(1,1)模型的離散形式，簡(jiǎn)稱離散GM(1,1)模型。式中：β1，β2均為待估計(jì)參數(shù)。

由最小二乘法(β1,β2)T=(BTB)-1BTY,得到β1、β2的值。由

(3)

(4)

并結(jié)合初始條件x(1)(0)=x(0)(1)，即可得到離散GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列

(5)

再將式(5)累減還原，得到X(0)的預(yù)測(cè)模型為

k=1,2,…,n。

(6)

在裝備維修時(shí)間的實(shí)際建模過程中，可以取初始序列為X(1)，對(duì)其一階累減生成序列X(0)建立離散GM(1,1)模型，從而直接對(duì)X(1)進(jìn)行模擬。

1.2 基于離散GM(1,1)模型的自助抽樣生成

根據(jù)GJB2072—94《維修性試驗(yàn)與評(píng)定》[2]規(guī)定：維修作業(yè)樣本量按選取的試驗(yàn)方法中的統(tǒng)計(jì)計(jì)算確定，也可選擇推薦樣本量。在此，將自助抽樣生成的樣本量選為推薦樣本量，即N+A=30。

自助抽樣生成原理的基本思路為：從原始數(shù)據(jù)集合X中等概率可放回地隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)據(jù)，記為x1(1)，該抽取過程重復(fù)m次，得到第1個(gè)自助樣本，記為

X1={x1(1),x1(2),…,x1(m)}。

(7)

根據(jù)離散GM(1,1)模型的建模數(shù)據(jù)需求，確定m=5～8。為獲得自助樣本，將整體抽取過程連續(xù)重復(fù)A次，則會(huì)得到A個(gè)自助樣本，可記為

YA={X1,X2,…,Xi,…,XA}，

(8)

式中：Xi={xi(1),xi(2),…,xi(m)}。

針對(duì)自助樣本Xi建立離散GM(1,1)模型，對(duì)其時(shí)間響應(yīng)序列進(jìn)行一次累減生成，即可得到自助樣本Xi中第m+1個(gè)預(yù)測(cè)值，記為

(9)

進(jìn)而得到自助樣本集合，即新的裝備維修時(shí)間數(shù)據(jù)集合，為

X′={x(1),x(2),…,x(N),…,x(N+A)}。

(10)

式中：x(N+1),x(N+2),…,x(N+A)分別為A個(gè)自助樣本的離散GM(1,1)模型預(yù)測(cè)值。

上述自助抽樣生成流程如圖1所示?；陔x散GM(1,1)模型的自助抽樣生成，是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)序列的隨機(jī)抽樣挖掘，擬合生成了符合參數(shù)估計(jì)要求的數(shù)據(jù)信息，而未對(duì)原始數(shù)據(jù)序列的概率分布信息進(jìn)行假設(shè)。然而，其中的自助樣本集合依然不能全面反映測(cè)試指標(biāo)的真實(shí)狀態(tài)，在本質(zhì)上還是“部分已知，部分未知”地實(shí)現(xiàn)對(duì)測(cè)試指標(biāo)真實(shí)狀態(tài)的認(rèn)知。與原始N個(gè)數(shù)據(jù)所表征的“部分已知，部分未知”相比，前者的“已知部分”要遠(yuǎn)遠(yuǎn)地多于后者，這也是自助抽樣挖掘的目的和作用。

圖1 小樣本數(shù)據(jù)的自助抽樣生成流程

2 基于未確知有理數(shù)的參數(shù)估計(jì)

對(duì)自助樣本集合X′中N+A個(gè)數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)，若假設(shè)數(shù)據(jù)的分布特征，需要采用常規(guī)的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)和參數(shù)估計(jì)，這就失去了自助抽樣挖掘的意義，且數(shù)據(jù)分布特征的合理性和正確性難以驗(yàn)證。因此，不假設(shè)生成數(shù)據(jù)的概率分布規(guī)律，而直接引入未確知有理數(shù)方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2.1 未確知有理數(shù)的構(gòu)造及優(yōu)化

針對(duì)自助樣本集合X′，構(gòu)造一個(gè)h(h

1) 記

a=min{x(1),x(2),…,x(N),

x(N+1),…,x(N+A)}；

(11)

b=max{x(1),x(2),…,x(N),

x(N+1),…,x(N+A)}。

(12)

2) 以小區(qū)間的中間值xj(a≤xj≤b，j=1,2,…,h)為中心、λ為控制半徑，確定一數(shù)據(jù)鄰域，統(tǒng)計(jì)N+A個(gè)數(shù)據(jù)在該鄰域出現(xiàn)的頻率，則可得到可信度分布密度函數(shù)表達(dá)式

(13)

3) 大多數(shù)情況下，對(duì)區(qū)間[a,b]進(jìn)行2h個(gè)等值劃分，使得自助抽樣數(shù)據(jù)值xj(j=1,2,…,h)的鄰域控制半徑均相等，則可得到其表達(dá)式為

(14)

其可信度αj則用自助抽樣數(shù)據(jù)在xj為中心的控制鄰域內(nèi)出現(xiàn)的頻率表示，即

(15)

4) 針對(duì)上述h階未確知有理數(shù)的可信度熵

(16)

(17)

2.2 基于未確知有理數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

稱該h*階未確知有理數(shù)U為一階未確知有理數(shù)，其數(shù)學(xué)期望

(18)

式中：

用方差D(U)來描述未確知有理數(shù)U到E(U)的離散程度，即

D(U)=E(U-E(U))2=

(19)

于是，自助樣本的點(diǎn)估計(jì)值為

(20)

其估計(jì)精度為

(21)

綜合未確知有理數(shù)期望的可信度，則定義自助樣本點(diǎn)估計(jì)的置信度

(22)

2.3 基于未確知有理數(shù)的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)自助樣本的分布特征，可以用區(qū)間估計(jì)法給出樣本的取值范圍。一般假設(shè)自助樣本服從正態(tài)分布，常用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)β分位點(diǎn)如表1所示。

表1 常用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上側(cè)β分位點(diǎn)表

給定置信水平1-β，從表1中查詢u(β/2)，則給定置信水平下置信區(qū)間半長(zhǎng)度

(23)

針對(duì)自助抽樣挖掘生成的N+A個(gè)數(shù)據(jù)，假設(shè)有q個(gè)數(shù)據(jù)位于上述置信區(qū)間之外，同時(shí)綜合估計(jì)區(qū)間的置信水平，則定義自助樣本在上述區(qū)間估計(jì)的置信度

(24)

需要注意置信水平和置信度2個(gè)概念的聯(lián)系與區(qū)別。本文對(duì)裝備維修時(shí)間的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)分為自助抽樣生成、參數(shù)描述和參數(shù)估計(jì)等過程，置信水平反映了正態(tài)分布假設(shè)條件下區(qū)間估計(jì)的可靠性，覆蓋了參數(shù)估計(jì)過程；而點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的置信度則覆蓋了裝備維修時(shí)間的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)全過程，置信水平對(duì)區(qū)間估計(jì)置信度有一定的貢獻(xiàn)率。

3 非統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型的過程和方法框架

基于離散GM(1,1)模型的自助抽樣生成和未確知有理數(shù)的裝備維修時(shí)間非統(tǒng)計(jì)估計(jì)，是在小樣本自助抽樣生成、參數(shù)描述與估計(jì)等過程中，應(yīng)用離散GM(1,1)建模技術(shù)，基于未確知有理數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)等方法論的一種分析方法，其過程和方法論框架如圖2所示。

圖2 裝備維修時(shí)間的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型的過程和方法論框架

4 裝備平均修復(fù)時(shí)間的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)算例

為驗(yàn)證本文算法的有效性，采用GJB 2072—94《維修性試驗(yàn)與評(píng)定》[2]D1.5中的裝備維修時(shí)間數(shù)據(jù)，即26，14，21，30，70，69，20，21，18，65，16，34，26，16，40，28，42，33，19，19，43，54，12，18，13，26，10，50，21，31，42，30，46，24，總計(jì)34個(gè)。將自助樣本的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)結(jié)果與原始34個(gè)數(shù)據(jù)樣本的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)結(jié)果、GJB2072-94建議估計(jì)模型的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

4.1 原始數(shù)據(jù)非統(tǒng)計(jì)估計(jì)結(jié)果

利用本文非統(tǒng)計(jì)估計(jì)算法對(duì)D1.5中34個(gè)裝備維修時(shí)間原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，其最佳4階未確知有理數(shù)為[[10,70],φ(x)]，其中

4.2 自助樣本的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)結(jié)果

對(duì)原始34個(gè)數(shù)據(jù)，每間隔2個(gè)數(shù)據(jù)取為自助抽樣對(duì)象，抽樣生成小樣本數(shù)據(jù)；而取小樣本數(shù)據(jù)的前10個(gè)作為驗(yàn)證數(shù)據(jù)，即26，30，20，65，26，28，19，54，13，50。對(duì)這10個(gè)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行等概率可放回地隨機(jī)抽樣，重復(fù)抽取m=6次視為得到1個(gè)自助樣本，總共需要得到A=20個(gè)自助樣本。

分別針對(duì)這20個(gè)自助樣本進(jìn)行離散GM(1,1)建模，取每個(gè)模型的一步預(yù)測(cè)值，從而得到自助樣本集合為X′={26，30，20，65，26，28，19，54，13，50，22.1，13.5，27.5，51.2，24.8，23.4，26.5，34.2，65.8，41.1，32.7，46.0，29.0，16.5，12.1，69.0，51.5，19.5，17.8，29.6}。上述自助樣本的最大值為69.0，最小值為12.1。構(gòu)造h階未確知有理數(shù)，其對(duì)應(yīng)的可信度熵如表2所示。

表2 不同階數(shù)未確知有理數(shù)的可信度熵

由表2可以看出：可信度熵最大值為0.137 6，其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)未確知有理數(shù)階數(shù)h*=4，則本算例構(gòu)造的4階未確知有理數(shù)為[[12.1,69.0],φ(x)]，其中

假設(shè)置信水平為0.95，則β=0.05，計(jì)算給定置信水平下的置信區(qū)間半長(zhǎng)度ε=14.17，則得到裝備維修時(shí)間的區(qū)間估計(jì)[18.79，47.13]，這時(shí)有q=12個(gè)點(diǎn)位于上述區(qū)間之外，區(qū)間估計(jì)的置信度p2=57.0%。

4.3 GJB2072—94建議模型的估計(jì)結(jié)果

本算例中，裝備維修時(shí)間的概率分布和方差都是未知的。依據(jù)GJB2072—94《維修性試驗(yàn)與評(píng)定》[2]D2中試驗(yàn)B的估計(jì)模型，有：

4.4 對(duì)比分析

結(jié)合4.1、4.2節(jié)可知：針對(duì)自助樣本、原始數(shù)據(jù)樣本，基于本文非統(tǒng)計(jì)估計(jì)算法的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)結(jié)果均較為接近，且估計(jì)置信度也很接近，說明基于離散GM(1,1)模型的樣本數(shù)據(jù)挖掘生成方法有效可行。

結(jié)合4.1-4.3節(jié)，對(duì)原始34個(gè)數(shù)據(jù)樣本和自助樣本分別進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)及位于估計(jì)區(qū)間之外的點(diǎn)數(shù)比較，如表3、4所示。

表3 點(diǎn)估計(jì)比較

表4 估計(jì)區(qū)間之外的樣本點(diǎn)數(shù)比較

由表3可知：與GJB2072—94[2]建議估計(jì)模型的估計(jì)結(jié)果相比，原始數(shù)據(jù)樣本的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型點(diǎn)估計(jì)相對(duì)誤差為1.15%，自助樣本估計(jì)相對(duì)誤差為0.39%，這2個(gè)數(shù)據(jù)樣本的點(diǎn)估計(jì)結(jié)果相對(duì)誤差均較小，而自助樣本的誤差更小。

由表4可知：同一置信水平下，估計(jì)區(qū)間覆蓋了數(shù)據(jù)樣本的個(gè)數(shù)，說明本文提出的非統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于GJB2072—94[2]估計(jì)模型。

上述結(jié)果表明：本文提出的小樣本裝備平均修復(fù)時(shí)間非統(tǒng)計(jì)估計(jì)模型有效可行。

5 結(jié)論

針對(duì)裝備平均修復(fù)時(shí)間的小樣本參數(shù)估計(jì)問題，提出了一種基于離散GM(1,1)模型和未確知有理數(shù)的新方法，構(gòu)建了裝備平均修復(fù)時(shí)間的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)模型，并與GJB2072—94建議的估計(jì)模型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了其有效性。