基于最小二乘法的線性與非線性擬合

莫小琴

摘 要：最小二乘法常被用于數(shù)據(jù)擬合處理以及誤差估計(jì)中。目前在回歸模型的參數(shù)估計(jì)或稱系統(tǒng)的辨識中應(yīng)用較多，文章主要探討最小二乘法的基本原理及其兩種變形的擬合方法，其中包括線性和非線性兩種最小二乘法擬合，并簡單介紹兩種方法在Matlab中如何實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：最小二乘法；線性擬合；非線性擬合；Matlab

最小二乘法最早起源于天文和大地相關(guān)數(shù)據(jù)的測量與預(yù)測需求，至今已有200多年的歷史，隨后被推廣應(yīng)用于其他的科學(xué)領(lǐng)域并受到廣泛的關(guān)注[1]。特別是隨著近代矩陣?yán)碚摰难芯坎粩嗌钊胍约半娮佑?jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，使得最小二乘法不斷地深入各個(gè)研究領(lǐng)域的數(shù)據(jù)處理中，久盛不衰。在大部分的參數(shù)估計(jì)以及曲線擬合的問題中，往往要求用確定某些（或一個(gè)）未知量，能對所測得的一組觀測值進(jìn)行表征，即對觀測值提供很好的擬合，最小二乘法能很好地解決這類問題[2]。

1 最小二乘法的擬合原理

若通過實(shí)驗(yàn)或觀測獲得成批的離散數(shù)據(jù)，所謂的擬合問題實(shí)質(zhì)上就是為這些離散的數(shù)據(jù)建立對應(yīng)的、近似的連續(xù)模型，一般建立的連續(xù)模型為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式或一條曲線。其中插值方法是比較古典的擬合方法之一，由于獲取的數(shù)據(jù)往往是離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，要建立與之對應(yīng)的連續(xù)模型，插值的擬合方法要求目標(biāo)函數(shù)必須過已知的離散點(diǎn)，從而建立連續(xù)函數(shù)對非插值點(diǎn)進(jìn)行近似計(jì)算。由于目標(biāo)函數(shù)要求必須過已知離散點(diǎn)，所以擬合出來的圖像一般欠缺圓滑度。最小二乘法在擬合問題中，只要求目標(biāo)函數(shù)近似已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布總體輪廓，并不要求一定要過已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，其擬合精確性在于盡可能地近似已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，即與已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的誤差按某種意義盡可能的小，通常采用誤差的平方和最小的原則，因此，在工程應(yīng)用實(shí)踐中，最小二乘法更具有實(shí)用性[3-4]。

4 結(jié)語

對于大部分的應(yīng)用領(lǐng)域而言，基于已有的數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)臄M合變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)函數(shù)模型，是揭示變量間的內(nèi)在關(guān)系必不可少的重要手段，而最小二乘法是一種擬合效果較為理想的擬合方法之一。本文先對最小二乘法的原理進(jìn)行了論述，再結(jié)合Matlab軟件進(jìn)行擬合實(shí)現(xiàn)，使得最小二乘法曲線擬合的原理闡述更加直觀易懂。如今最小二乘法被廣泛應(yīng)用于各門學(xué)科及行業(yè)，并在Matlab環(huán)境中，程序代碼更加成熟、簡單，使用起來非常方便，會一直成為科研人員開展研究工作的有效工具。

[參考文獻(xiàn)]

[1]施光燕，錢偉懿，龐麗萍.最優(yōu)化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]張德豐.MATLAB數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[3]肖悠南.現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[4]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].4版.北京：清華大學(xué)出版社，2001.