一道解三角形典型題的剖析與反思

吳衛(wèi)東

到高考復(fù)習(xí)后期，同學(xué)們已經(jīng)做了大量的習(xí)題，但這遠遠不夠，還必須經(jīng)過系統(tǒng)的梳理與反思的過程，才能使得自己的解題能力有質(zhì)的提升.下面老師通過對一道解三角形典型題的深入剖析來談?wù)勅绾芜M行總結(jié)與歸納所學(xué)知識和方法.

例：如圖，在△ABC中，cos∠BAC=13，AC=2，點D在線段BC上，且CD=2DB，AD=433，求AB的長.

一道習(xí)題在手，若能打開思維的窗扉，從各種角度去考慮，尋求不同的解題策略，對提高我們的解題能力大有幫助.解題后認真總結(jié)，摸索規(guī)律，舉一反三，其收益更為明顯.

分析1：將已知的元素納入△ABC，△ABD，△ADC中，由∠ADB=π-∠ADC，cos∠ADB=-cos∠ADC，在△ABC，△ABD，△ADC中分別使用余弦定理，利用方程思想解決問題.

方法1：

解：設(shè)BD=x，AB=y，則CD=2x，BC=3x，在△ABC中，

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即（3x）2=4+y2-43y?①

在△ABD，△ACD中，

cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD

=-cos∠ADC=-AD2+CD2-AC22AD·CD，

即x2+（433）2-y2x=-（433）2+4x2-42x，

化簡得3x2-y2=-6?②

由①式與②式解得x=1，y=3.所以AB=3.

反思：一般地，由cos∠ADB=AD2+BD2-AB22AD·BD=-cos∠ADC=-AD2+CD2-AC22AD·CD，

得AD2=AB2·DCBC+AC2·DBBC-DB·DC，即幾何中比較著名的斯特瓦爾特定理.

還有如下推論：

在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連接AD.

（1）若AB=AC，則AD2=AB2-BD·DC;

（2）若AD為BC中線，則AD2=AB2+AC22-BC24（即中線長公式）;

（3）若AD為∠BAC內(nèi)角平分線，則AD2=AB·AC-BD·DC（即角平分線長公式）;

（4）若AD為∠BAC外角平分線，則AD2=-AB·AC+BD·DC;

（5）若BDBC=λ，則AD2=λ·（λ-1）·BC2+（1-λ）·AB2+λ·AC2.

變式1：（2015年安徽卷理16）在△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32，點D在BC邊上，AD=BD，求AD的長.

解析：在△ABC中，由余弦定理得BC=310.在△ABD與△ACD中，利用cos∠ADC+cos∠ADB=0求解.

設(shè)AD=BD=x，∠ADB=θ，則∠ADC=π-θ，

在△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD·BDcosθ，即

36=2x2-2x2cosθ?①

在△ACD中，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos（π-θ），即

18=x2+（310-x）2+2x（310-x）cosθ?②

由式①，②式得x=10，即AD=10.

分析2：已知∠BAC，AC邊長，要求的是AB邊長，

自然可聯(lián)想到數(shù)量積公式

AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC，

又已知了AD邊的長，只需將向量AB與AC作為基底來表示向量AD即可，這樣就得到了如下的向量法.

方法2：解：∵CD=2DB，∴CD=2DB，

則AD-AC=2（AB-AD），即AD=AC+2AB3，

∴（AD）2=（AC+2AB3）2

=AC2+4AB2+4AC·AB9

=4+4AB2+4×2×|AB|×cos∠BAC9

=4+4AB2+4×2×|AB|×139=163，

化簡整理得3AB2+2|AB|-33=0，解得|AB|=3或|AB|=-113（舍），

所以|AB|=3.

反思：

（1）一般地，在△ABC中，若BD=λDC（λ≠0，-1），則AD=AB+λAC1+λ;

（2）涉及邊長與角度的問題時，向量作為工具性方法切不可忘記.

變式2：如圖，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的角平分線，且AD=kAC.求k的取值范圍.

解析：由角平分線定理，BDDC=ABAC=2，

則AD=AB+2AC3，

（AD）2=（AB+2AC3）2

=AB2+4AC2+4AB·AC9，

k2AC2=4AC2+4AC2+8AC2cos∠BAC9，

k2=8+8cos∠BAC9∈（0，169），∴k∈（0，43）.

分析3：點D是邊BC上的三等分點，過點B作邊AC的平行線，與AD的延長線相交于點E，進而可得△ACD與△BDE相似，這樣可將邊角元素集中到△ABE中去研究.

方法3：解：△ACD與△BDE相似得BEAC=DEAD=BDDC=12，則BE=1，DE=233，AE=23，在△ABE中，cos∠ABE=-cos∠BAC=-13，由余弦定理得，AE2=BE2+AB2-2BE·AB·cos∠ABE，

即（23）2=12+AB2-2·AB·（-13），化簡整理得3AB2+2AB-33=0，解得AB=3或AB=-113（舍），

所以AB=3.

反思：三角形作為最基本最重要的平面圖形，在解決問題的過程中，若能適時地使用平面幾何性質(zhì)，將起到事半功倍的作用.

變式3：（2018年江蘇高考第13題）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，求4a+c的最小值.

解析：點D是邊AC上的分點，過點C作邊AB的平行線，與BD的延長線相交于點E，進而可得△ABD與△CDE相似，ADDC=ABCE=BDDE，由內(nèi)角平分線定理知，ADDC=ABBC=ca，BE=BD+DE=1+ac，在△CBE中，∠BCE=60°，∠EBC=60°，△CBE是正三角形，BE=BC=BD+DE=1+ac=a，即1a+1c=1.4a+c=（4a+c）（1a+1c）=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9，當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取到最小值9.

分析4：題設(shè)條件中出現(xiàn)定角cos∠BAC=13，定長AC=2，可將平面圖形置入平面直角坐標系中求解.

方法4：解：以點A為坐標原點，AB邊所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.設(shè)AB=m，

則C（23，423），B（m，0），又由CD=2DB

得D（2m3+29，429），由AD=433，得（2m3+29）2+（429）2=（433）2，化簡得3m2+2m-33=0，解得m=3或m=-113（舍）.所以AB=3.

反思：建立了平面直角坐標系后，解決幾何問題便多了一種方便、快捷的方法——坐標法.很多試題，當(dāng)你無法找到突破口時，使用坐標法會給你一種新的啟迪和數(shù)學(xué)美感.

變式4：在等腰△ABC中，AB=AC，M為BC中點，點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=12DB，AE=3EC，若∠DME=90°，求cosA的值.

解析：以點M為坐標原點，邊BC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

設(shè)C（a，0），A（0，b），則D（-a3，2b3），E（3a4，b4），

∴MD=（-a3，2b3），ME=（3a4，b4），

∵∠DME=90°，∴MD·ME=0，

∴（-a3，2b3）·（3a4，b4）=0，

化簡得，a=63b，

∵AD=（-a3，-b3），AE=（3a4，-3b4），

∴cosA=AD·AE|AD||AE|=15.

一題多解固然可以開闊思路、發(fā)散思維，學(xué)會多角度分析和解決問題.但需要注意的是一題多解并非炫技，也不能刻意去追求偏、怪的奇異解法，因為我們最終的目的是多題一解，也就是說，一定要注意對知識、方法等的整合，尋找規(guī)律，加深對數(shù)學(xué)原理、通用通法的認識，從而能夠解決其它相似問題.一題多解與多題一解相互結(jié)合，一放一收，相得益彰.在變式中尋求通法，在探究中升華能力，實現(xiàn)從量變到質(zhì)變的飛躍.