基于多元線性回歸的盈虧平衡分析

楊轉(zhuǎn)玲

（漳州城市職業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理系，福建 漳州363000）

盈虧平衡分析是在一定市場(chǎng)、生產(chǎn)能力及經(jīng)營(yíng)管理?xiàng)l件下，把產(chǎn)銷量作為不確定性因素，通過(guò)對(duì)產(chǎn)銷量、成本和利潤(rùn)之間相互關(guān)系進(jìn)行分析，據(jù)此判斷產(chǎn)銷量及其對(duì)應(yīng)的銷售額對(duì)經(jīng)濟(jì)效益的影響程度，為企業(yè)投資決策提供科學(xué)依據(jù)。

本量利分析是盈虧平衡的理論基礎(chǔ)，指的是在變動(dòng)成本計(jì)算模式的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)模型和圖文來(lái)揭示固定成本、變動(dòng)成本、銷售量、單價(jià)、銷售額、利潤(rùn)等變量之間的內(nèi)在規(guī)律性聯(lián)系，為企業(yè)經(jīng)營(yíng)預(yù)測(cè)決策和規(guī)劃提供必要的財(cái)務(wù)信息的一種定量分析方法[1]。

本量利分析是建立在相關(guān)范圍和成本性態(tài)、 品種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、 產(chǎn)銷平衡三個(gè)基本假設(shè)條件上的。盈虧平衡是本量利模型中利潤(rùn)為零時(shí)的狀態(tài)，是本量利分析的一種特殊形式?；诙嘣€性回歸的盈虧平衡分析是建立在品種結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、產(chǎn)銷平衡這兩個(gè)假設(shè)下進(jìn)行研究，并在此基礎(chǔ)上作了拓展。

1 盈虧平衡的成本性態(tài)分析

盈虧平衡分析是通過(guò)研究盈虧平衡點(diǎn)，來(lái)確定企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)決策。其核心是確定盈虧平衡點(diǎn)[2]，即保本點(diǎn)、盈虧臨界點(diǎn)，指的是企業(yè)不盈不虧、銷售收入等于成本、利潤(rùn)為零時(shí)的產(chǎn)銷量或銷售額。當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，盈虧平衡點(diǎn)為單價(jià)×銷售量-單位變動(dòng)成本×銷售量-固定成本=0 處的銷售量或者銷售額；當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)多種產(chǎn)品時(shí)，盈虧平衡點(diǎn)為銷售收入總額-變動(dòng)成本總額-固定成本=0 處的銷售額。以盈虧平衡點(diǎn)為界限，當(dāng)銷售收入高于盈虧平衡點(diǎn)時(shí)企業(yè)盈利，反之企業(yè)虧損，當(dāng)銷售收入等于盈虧平衡點(diǎn)時(shí)企業(yè)保本。

在研究盈虧平衡分析時(shí)，通常是建立在成本性態(tài)基礎(chǔ)上的，即成本是由固定成本和變動(dòng)成本[3]構(gòu)成，成本與產(chǎn)銷量呈線性關(guān)系。現(xiàn)實(shí)中，固定成本與變動(dòng)成本之間的界限不是很明確，即使分界明確，但若成本與產(chǎn)銷量不是線性關(guān)系，而用線性關(guān)系即成本性態(tài)來(lái)分析盈虧平衡就會(huì)有所出入。因此要在成本性態(tài)條件下進(jìn)行盈虧平衡分析，先要把成本與銷量的關(guān)系明確出來(lái)。

1.1 單一產(chǎn)品的盈虧平衡成本性態(tài)分析

對(duì)于企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品的情況。假設(shè)企業(yè)在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)條件保持不變，收集這段時(shí)間上不同時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的銷售量及其總成本，作出銷量—總成本的散點(diǎn)圖，觀察這些點(diǎn)的分布，如果這些點(diǎn)呈現(xiàn)線性趨勢(shì)，則成本與銷售量之間存在直線相關(guān)，用C=a+bx 表示，其中C 表示總成本，x 表示銷售量，a、b 是系數(shù)，其經(jīng)濟(jì)含義為固定成本和單位變動(dòng)成本，對(duì)模擬直線采用最小二乘法則可以把a(bǔ)、b 表示出來(lái)。

則本量利模型為

盈虧平衡點(diǎn)為

其中Q 為利潤(rùn)，p 為單價(jià)，C 為總成本，a 為固定成本，bx 為變動(dòng)成本，x0為盈虧平衡點(diǎn)處的銷售量，S0為盈虧平衡點(diǎn)處的銷售額，cmr 為產(chǎn)品貢獻(xiàn)毛益率。

1.2 多種產(chǎn)品的盈虧平衡成本性態(tài)分析

企業(yè)生產(chǎn)多種產(chǎn)品，要考慮總成本與這些產(chǎn)品銷售量之間的關(guān)系，是否呈現(xiàn)線性關(guān)系，是否滿足成本性態(tài)，可以用多元線性回歸來(lái)擬合。

假設(shè)企業(yè)在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)條件保持不變， 收集不同時(shí)間點(diǎn)上總成本C 與各產(chǎn)品銷售量yi的數(shù)據(jù)，用（Cj，yj1，yj2，…，yjn）表示。其中Cj表示第j 時(shí)間點(diǎn)上的總成本，yji表示第j 時(shí)間點(diǎn)上第i 種產(chǎn)品的銷售量，j=1,2，…，m，i=1,2，…，n。

檢驗(yàn)總成本C 是否可以用各產(chǎn)品銷售量yi線性表示出來(lái)。用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS 進(jìn)行線性回歸[4]，得到模型擬合度R2，若R2值接近于1，說(shuō)明總成本C 可以用各產(chǎn)品銷售量yi線性表示出來(lái)，而且R2值越接近于1，擬合度越好。但各產(chǎn)品間有可能存在共線性，可能一種產(chǎn)品的良好收益會(huì)遮掩其他產(chǎn)品的不良情況。在這種情況下可以采用逐步回歸法進(jìn)行成本擬合，這樣可以消除多重共線性。分別作C 與yi的一元線性回歸，i=1,2，…，n。得到擬合度Ri2，按Ri2值從大到小依次把對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷售量選入回歸模型，每選入一種產(chǎn)品的銷售量，就要進(jìn)行檢驗(yàn)。用F 值作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，若F≥F臨界值，則回歸模型增加這種產(chǎn)品銷售量作為解釋變量。否則剔除。

通過(guò)逐步增加產(chǎn)品銷售量作為解釋變量，在一定的生產(chǎn)條件下，成本與多產(chǎn)品銷售量之間的關(guān)系就變成：

其中x1,x2，…，xk-1，xk為逐步回歸保留的產(chǎn)品銷售量，a，b1,b2，…，bk-1，bk為回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義分別為固定成本、單位變動(dòng)成本和變動(dòng)成本總額。

其中bk+1=bk+2=…=bn=0，pi為i 第種產(chǎn)品的銷售單價(jià)。

模型的經(jīng)濟(jì)含義為利潤(rùn)=銷售收入總額-變動(dòng)成本總額-固定成本

若用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS 進(jìn)行線性回歸，得到的模型擬合度R2不接近1，則總成本C 與各產(chǎn)品銷售量yi之間不存在或存在但弱線性相關(guān)，那么基于成本性態(tài)的多產(chǎn)品盈虧平衡分析就有失偏頗。

2 基于多元線性回歸的盈虧平衡分析

2.1 多產(chǎn)品基于線性回歸的盈虧平衡建模

線性回歸驗(yàn)證多產(chǎn)品的成本與銷量是成本性態(tài)下，其對(duì)應(yīng)的本量利模型為：

其中mi為第i 種產(chǎn)品的貢獻(xiàn)毛益。

該公式經(jīng)濟(jì)含義為利潤(rùn)=銷售收入總額-變動(dòng)成本總額-固定成本=貢獻(xiàn)毛益總額-固定成本。其中貢獻(xiàn)毛益是銷售收入與變動(dòng)成本的差額。也就是說(shuō)貢獻(xiàn)毛益是補(bǔ)償固定成本的[5]，若補(bǔ)償之后有剩余，企業(yè)才會(huì)獲利；若無(wú)法補(bǔ)償，即貢獻(xiàn)毛益小于固定成本，則企業(yè)虧損；若貢獻(xiàn)毛益等于固定成本，則企業(yè)處在不盈不虧、利潤(rùn)為零狀態(tài)。

對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō)，貢獻(xiàn)毛益越快補(bǔ)償固定成本，企業(yè)越快達(dá)到保本狀態(tài)，越快轉(zhuǎn)虧為盈[6]。盈虧平衡點(diǎn)作為轉(zhuǎn)虧為盈的臨界點(diǎn)顯得尤為重要?；诙嘣€性回歸的盈虧平衡建模如下。

（2） 建立累計(jì)銷售收入與固定成本和貢獻(xiàn)毛益率差對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)：

假設(shè)坐標(biāo)點(diǎn)A,B,O 3 點(diǎn)在同一直線上，則有：

2.2 多產(chǎn)品基于線性回歸的盈虧平衡圖分析

把用插值法得到的多產(chǎn)品盈虧平衡模型通過(guò)坐標(biāo)圖形體現(xiàn)出來(lái)。橫軸代表累計(jì)銷售收入縱軸代表如圖1。

圖1 多產(chǎn)品盈虧平衡分析圖

可以看到，隨著累計(jì)銷售收入的不斷增長(zhǎng)，企業(yè)累計(jì)貢獻(xiàn)毛益不斷補(bǔ)償固定成本， 固定成本減去貢獻(xiàn)毛益的差越來(lái)越低，從正數(shù)逐漸變?yōu)樨?fù)數(shù)，企業(yè)逐漸從虧損轉(zhuǎn)為盈利。在此過(guò)程中，累計(jì)貢獻(xiàn)毛益補(bǔ)償固定成本的速度越來(lái)越慢。這是因?yàn)槲覀兊淖鴺?biāo)點(diǎn)是按貢獻(xiàn)毛益率從大到小排列。前期補(bǔ)償較快， 逐漸補(bǔ)償速度放慢， 直至補(bǔ)償完畢，轉(zhuǎn)虧為盈。求解盈虧平衡點(diǎn)時(shí)，盡量選取一定生產(chǎn)條件下時(shí)間點(diǎn)比較密集、樣本容量大的觀測(cè)值，這樣應(yīng)用線性插值法進(jìn)行迭代時(shí)，擬合值應(yīng)用的兩點(diǎn)是盈虧平衡點(diǎn)兩側(cè)最鄰近的點(diǎn)， 兩點(diǎn)因?yàn)樨暙I(xiàn)毛益補(bǔ)償速度緩慢， 相差不是甚遠(yuǎn)，擬合度較高，較合情理。

從企業(yè)經(jīng)營(yíng)決策的角度看， 求解多產(chǎn)品盈虧平衡點(diǎn)的思路可以看做是企業(yè)在實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的過(guò)程中，按貢獻(xiàn)毛益率的大小順序生產(chǎn)銷售，可以快速的使企業(yè)從初始投入很快保本，直至獲利。

3 基于線性回歸的盈虧平衡分析拓展

3.1 產(chǎn)銷不一致的盈虧平衡分析

用上述方法得到的盈虧平衡模型是建立在產(chǎn)銷平衡基礎(chǔ)上的， 它的前提條件是先將產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化，即按貢獻(xiàn)毛益率大小安排生產(chǎn)，盡早達(dá)到固定成本。現(xiàn)實(shí)中往往產(chǎn)銷不一致[8]。

（1）全部產(chǎn)量均大于銷量。這種情況下，可以按銷售量計(jì)算銷售收入，按產(chǎn)量計(jì)算變動(dòng)成本等，其他思路一致。

（2）全部產(chǎn)量均小于其銷量時(shí)，首先考慮擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，按其實(shí)際情況進(jìn)行決策。如若只維持現(xiàn)狀，則按每種產(chǎn)品的實(shí)際產(chǎn)量來(lái)分別計(jì)算銷售收入、變動(dòng)成本、貢獻(xiàn)毛益等，再利用上述思路計(jì)算盈虧平衡點(diǎn)。

（3）當(dāng)全部產(chǎn)品的產(chǎn)量，有的大于銷量，有的小于銷量，有的等于銷量時(shí)，若不考慮某些產(chǎn)品的擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模和剩余生產(chǎn)能力，可結(jié)合（1）、（2）兩種情況。即產(chǎn)量大于銷量的產(chǎn)品，按銷量計(jì)算銷售收入，按產(chǎn)量計(jì)算變動(dòng)成本；產(chǎn)量小于銷量的產(chǎn)品，按產(chǎn)量計(jì)算銷售收入和變動(dòng)成本；產(chǎn)量等于銷量的產(chǎn)品，按產(chǎn)量或者銷量計(jì)算銷售收入和變動(dòng)成本，然后再結(jié)合起來(lái)應(yīng)用上述模型進(jìn)行盈虧平衡分析。

3.2 存在虧損[9]的盈虧平衡分析

盈虧平衡是企業(yè)在進(jìn)行經(jīng)營(yíng)決策時(shí)必須考慮的一個(gè)重要方面。在多產(chǎn)品生產(chǎn)的企業(yè)，由于固定成本、變動(dòng)成本等項(xiàng)目不是分的很清晰，導(dǎo)致常常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：即使存在嚴(yán)重的問(wèn)題，但一種產(chǎn)品良好的收益會(huì)掩蓋其他產(chǎn)品的不良情況，因此可以對(duì)每種產(chǎn)品使用對(duì)應(yīng)的盈虧平衡圖。但現(xiàn)實(shí)是多產(chǎn)品企業(yè)很難合理分?jǐn)偝杀尽?/p>

基于多元線性回歸的盈虧平衡分析通過(guò)逐步回歸， 把總成本分解成固定成本和變動(dòng)成本兩部分?？梢詫?duì)固定成本以收入占比[10]為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分?jǐn)?，然后作每種產(chǎn)品相應(yīng)的盈虧平衡圖，進(jìn)行本量利分析，這樣就可以判斷每種產(chǎn)品的收益是否良好。

若判斷出某種產(chǎn)品存在虧損，其他產(chǎn)品處于良好狀態(tài)，可以作出企業(yè)決策：

（1）在現(xiàn)有生產(chǎn)條件下繼續(xù)生產(chǎn)。如果虧損產(chǎn)品停下后，閑置下來(lái)的生產(chǎn)能力無(wú)法被用于其他方面，而且其貢獻(xiàn)毛益大于零，就要繼續(xù)生產(chǎn)，這是因?yàn)樘潛p產(chǎn)品的貢獻(xiàn)毛益可以補(bǔ)償一部分固定成本，若停產(chǎn)則無(wú)貢獻(xiàn)毛益，其承擔(dān)的固定成本轉(zhuǎn)嫁到別的獲利產(chǎn)品上，使的盈利產(chǎn)品的負(fù)擔(dān)加重，利潤(rùn)降低。

（2）按企業(yè)生產(chǎn)能力適當(dāng)增產(chǎn)虧損產(chǎn)品。企業(yè)若有剩余生產(chǎn)能力，而且虧損產(chǎn)品貢獻(xiàn)毛益大于零，可以適當(dāng)增產(chǎn)虧損產(chǎn)品，這樣可以提高虧損產(chǎn)品的貢獻(xiàn)毛益，使其可以補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的固定成本，達(dá)到盈虧平衡點(diǎn)，甚至獲利。

（3）停產(chǎn)虧損產(chǎn)品，轉(zhuǎn)產(chǎn)。若企業(yè)有剩余生產(chǎn)能力，虧損產(chǎn)品貢獻(xiàn)毛益大于零，停產(chǎn)虧損產(chǎn)品，進(jìn)行轉(zhuǎn)產(chǎn)帶來(lái)的貢獻(xiàn)毛益大于虧損產(chǎn)品的貢獻(xiàn)毛益，則轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣可以補(bǔ)償固定成本的值更大。

（4）虧損產(chǎn)品停產(chǎn)。若虧損產(chǎn)品的貢獻(xiàn)毛益小于零，不能補(bǔ)償其應(yīng)當(dāng)承擔(dān)的固定成本，則停產(chǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)逐步回歸將成本按產(chǎn)品貢獻(xiàn)毛益率大小進(jìn)行分?jǐn)偅?得到成本與銷量的多元線性回歸模型，并按累計(jì)貢獻(xiàn)毛益對(duì)固定成本補(bǔ)償?shù)目炻M(jìn)行盈虧平衡分析。得到企業(yè)在實(shí)際經(jīng)營(yíng)時(shí)盡量先安排貢獻(xiàn)毛益率大的產(chǎn)品進(jìn)行生產(chǎn)，這樣可以盡快彌補(bǔ)固定成本，實(shí)現(xiàn)盈利，即在實(shí)際生產(chǎn)中，企業(yè)應(yīng)遵循貢獻(xiàn)毛益率大小順序的原則開(kāi)展生產(chǎn)，快速保本，達(dá)到獲利。同時(shí)對(duì)基于多元線性回歸的盈虧平衡分析作了產(chǎn)銷不一致和虧損狀態(tài)時(shí)的拓展，以期有助于企業(yè)實(shí)際經(jīng)營(yíng)決策。