教育技術(shù)裝備內(nèi)知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)和發(fā)展（續(xù)一）

新喬 趙曉寧 任熙俊

（接上期）

4 數(shù)學(xué)方法：工具、語(yǔ)言及表達(dá)形式

用數(shù)學(xué)方式研究人們?nèi)粘Ｉ钪幸子诶斫獾暮暧^世界，以及揭示后來的X射線、放射性和電子等人們沒有直接經(jīng)驗(yàn)的微觀現(xiàn)象，表明人們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)在不斷深入，也指導(dǎo)著科學(xué)教育的發(fā)展。[6]

牛頓時(shí)代，科學(xué)一般都被認(rèn)為是“自然哲學(xué)”，其中只有光學(xué)和數(shù)學(xué)才被看作獨(dú)立的學(xué)科。這種區(qū)分反映在所用的儀器上，它們被分成“哲學(xué)的”“光學(xué)的”和“數(shù)學(xué)的”三類。數(shù)學(xué)對(duì)教育技術(shù)裝備的影響是普遍、深刻而又具體的，無論是發(fā)明、制造還是應(yīng)用。數(shù)學(xué)內(nèi)容、形式和方法全面融入、貫穿了整個(gè)教育技術(shù)裝備知識(shí)體系，構(gòu)成教育技術(shù)裝備知識(shí)體系的基本內(nèi)核和主要內(nèi)在依據(jù)，如同材料、工藝、結(jié)構(gòu)一樣，它的影響無處不在。可以說，沒有數(shù)學(xué)就沒有教育技術(shù)裝備的持久深入發(fā)展，包括它的體系化、知識(shí)化和教學(xué)屬性。

實(shí)驗(yàn)方法與數(shù)學(xué)形式：科學(xué)方法和唯一的理性話語(yǔ)形式? 近代科學(xué)形式分為數(shù)理科學(xué)與歸納科學(xué)兩種形式。庫(kù)恩在《必要的張力》一書中認(rèn)為，物理科學(xué)發(fā)展中表現(xiàn)出數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和實(shí)驗(yàn)傳統(tǒng)的對(duì)立。數(shù)理科學(xué)的代表人物主要有哥白尼、笛卡爾、伽利略、開普勒、牛頓等，分別在天文學(xué)、動(dòng)力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)和聲學(xué)方面取得重大成就。歸納科學(xué)的代表人物主要有吉爾伯特、波義耳、胡克、富蘭克林、卡文迪許、庫(kù)侖、拉瓦錫等，分別在電學(xué)、磁學(xué)、熱學(xué)、化學(xué)方面取得重大突破。

自然的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是近代科學(xué)的先驅(qū)們深信不疑的真理，它的數(shù)學(xué)化的根源是自然內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系。雖然頂尖的分析學(xué)者都沒有闡述一套明確的數(shù)學(xué)哲學(xué)，但在他們對(duì)諸如普遍性和純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系那樣一些論題的處理中，仍然明顯表現(xiàn)出一種隱含的哲學(xué)態(tài)度，數(shù)學(xué)的每一部分被理解為是在某種客觀的意義上被給予的;它的應(yīng)用范圍和確定性都由這種客觀本性所導(dǎo)出，而不是數(shù)學(xué)家所采用的特定方法或者概念組合的結(jié)果。數(shù)學(xué)的普遍性是它的對(duì)象的普遍特征的結(jié)果，不論這些對(duì)象是代數(shù)公式還是幾何圖形。[3]275

通過數(shù)學(xué)，人們能夠以完全客觀的方式來了解宇宙的秘密。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不僅發(fā)展了新的、不同形式的微積分、解析幾何和其他先進(jìn)的數(shù)學(xué)體系，還使得如下的觀念深入人心：人類的語(yǔ)言在某種程度上是不完美的，一個(gè)真正理性的體系需要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（最初由霍布斯提出，他認(rèn)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言是唯一一種理性的話語(yǔ)形式。接著數(shù)學(xué)語(yǔ)言被諸如戈特弗里德·萊布尼茨和牛頓等思想家和科學(xué)家當(dāng)作新的物理語(yǔ)言來使用，認(rèn)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言是理性至高無上的象征）表述。同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的重視也預(yù)示著人類最終能夠通過數(shù)學(xué)語(yǔ)言全面地了解宇宙的本質(zhì)，反過來，這使得人們甚至更加重視自然科學(xué)知識(shí)的探索。[7]

意大利數(shù)學(xué)家利昂納多·斐波納契（意大利數(shù)學(xué)家，約1170—1250年）的工作彌補(bǔ)了古代遺著的一大缺陷。無論是古羅馬還是古希臘，所采用的數(shù)字都無法直接用于計(jì)算，人們?cè)谶M(jìn)行計(jì)算時(shí)必須借助于算盤之類的工具。阿拉伯?dāng)?shù)字原本是用來清算賬目的，特別是在14世紀(jì)引入復(fù)式簿記以后更是如此。斐波納契所著《計(jì)算手冊(cè)》（1202年）一書成功地普及了阿拉伯的十進(jìn)位數(shù)字系統(tǒng)，這種系統(tǒng)極為完美，因此一直沿用到現(xiàn)在。在其所著《平方手冊(cè)》（1225年）一書中還論述了阿拉伯?dāng)?shù)字在純數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。[8]42-43

到15世紀(jì)時(shí)又出現(xiàn)新的數(shù)學(xué)工具，兩位德國(guó)天文學(xué)家喬治·范·帕巴赫（1423—1461）和約翰尼斯·穆勒（1436—1476）提出三角學(xué)的方法，并且制作了最早的三角計(jì)算表和天文數(shù)據(jù)表?？死锼苟喔ァじ鐐惒迹?451—1506，意大利航海家、探險(xiǎn)家）于1492年發(fā)現(xiàn)美洲，為科學(xué)打開一個(gè)新大陸。他在航行途中經(jīng)常使用穆勒的天體位置表，從而不得不對(duì)世界的范圍作徹底的修正，并且擴(kuò)大到把所有的人類文化和前所未知的天然物種都包括在內(nèi)。[8]43

伽利略成功地建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)的數(shù)理科學(xué)的基礎(chǔ)。伽利略認(rèn)為，自然界是按密碼寫就的，解開密碼的鑰匙是數(shù)學(xué)。在接受建立在幾何簡(jiǎn)單性原理上的天文學(xué)時(shí)，伽利略同開普勒是一致的。對(duì)開普勒而言，天上的完美而永恒的運(yùn)動(dòng)為幾何分析提供了用武之地。伽利略提出幾何學(xué)也可以應(yīng)用于地上的運(yùn)動(dòng)的主張，最終意思是地球應(yīng)成為哥白尼體系中的一個(gè)天體物體。如果說伽利略在力學(xué)中致力于解決的基本問題是由哥白尼革命提出的，那么他在回答時(shí)形成的慣性原理，則為發(fā)展他青年時(shí)期的著作《論運(yùn)動(dòng)》所試圖發(fā)展的關(guān)于運(yùn)動(dòng)的數(shù)理科學(xué)提供了方法。[2]21

拉普拉斯不止一次指出，天文學(xué)的成就是分析的勝利，他指的是數(shù)學(xué)和力學(xué)的分析。數(shù)學(xué)分析，這種意思部分地出自牛頓之口。牛頓說過：“哲學(xué)的全部困難看來在于：應(yīng)該從運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象研究自然界的各種力，然后由這些力說明其余的現(xiàn)象?！迸ｎD的方法是分析的，他的原理是用某種分析和分解的方法從觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)中抽取出來的。從這樣建立的（可以修正的、具有“可能性”而不是“數(shù)學(xué)確定性”的）原理出發(fā)，然后再?gòu)臄?shù)學(xué)上證明其結(jié)果。牛頓這種“新的探索方法”，就避免了求助于假設(shè)和諸如笛卡兒關(guān)于接觸力那樣的形而上學(xué)的承諾。[3]304

1798年，亨利·卡文迪什測(cè)得了萬有引力定律常數(shù)值，同年發(fā)表論文《測(cè)定地球密度的實(shí)驗(yàn)》。他從物體之間的萬有引力的測(cè)量結(jié)果間接計(jì)算出地球的質(zhì)量，從而給出地球的密度。

17世紀(jì)就已經(jīng)有著名的實(shí)驗(yàn)家，包括法國(guó)的埃德梅·馬略?shī)W特、英國(guó)的羅伯特·波義耳，還有在其1704年的《光學(xué)》一書中用一種給人印象特別深刻的方式把實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)結(jié)合起來的牛頓[9]51。1687年，牛頓出版《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，第一次正式提出萬有引力定律，即兩個(gè)物體間的引力與它們的質(zhì)量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比。[6]

實(shí)驗(yàn)的還是數(shù)學(xué)的，實(shí)際上一直都存在爭(zhēng)論。一方面，伏爾泰及其《哲學(xué)通信》，英國(guó)哲學(xué)家培根、洛克和牛頓都曾說，不訴諸實(shí)驗(yàn)就不能從第一原理獲得關(guān)于物理世界的知識(shí);另一方面，直到整個(gè)18世紀(jì)，數(shù)學(xué)對(duì)于實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的重要性爭(zhēng)論仍未完全明朗。狄德羅、德·布豐，甚至還有本杰明·富蘭克林，都譴責(zé)物理學(xué)中過多地應(yīng)用數(shù)學(xué)，聲稱這會(huì)使科學(xué)家遠(yuǎn)離自然而錯(cuò)誤地信賴抽象形式?？锥嗳罹粽驹谶_(dá)朗貝爾一邊，聲稱除了數(shù)學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院沒有任何人在做有用的工作，都是毫無價(jià)值的“Physicaille”——

空談的戲法和漫無目的的沒事找事。這些爭(zhēng)論涉及實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)之間的適當(dāng)均衡，理智采取了一條中間路線，兩者都被認(rèn)為是處于理性范圍之內(nèi)，都是獲得知識(shí)所必要的，應(yīng)把實(shí)驗(yàn)和定量測(cè)量結(jié)合起來，讓理論不斷接受檢驗(yàn)。[9]50-51

進(jìn)入18世紀(jì)以后，在物理實(shí)驗(yàn)科學(xué)研究中，人們對(duì)熱、磁、電等現(xiàn)象的研究還是定性的。一般地說，如何建立聯(lián)系各個(gè)實(shí)驗(yàn)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，仍然是最不清楚的。18世紀(jì)末期，人們逐步采用定量的數(shù)學(xué)方法去研究這些現(xiàn)象，而這種數(shù)學(xué)方法還由于科學(xué)儀器精度的提高和物理學(xué)專業(yè)化程度的提高而得到進(jìn)一步的發(fā)展。新的儀器帶來的日益增長(zhǎng)的精密度突出了不同測(cè)量間的不一致，但是18世紀(jì)的物理學(xué)家很少有人關(guān)心怎樣對(duì)待這些不一致。18世紀(jì)的科學(xué)工作者在報(bào)告定量數(shù)據(jù)時(shí)，常常是不加評(píng)論地列出一長(zhǎng)串?dāng)?shù)字，而事實(shí)上這些數(shù)字只是他們的數(shù)值計(jì)算的產(chǎn)物;或者，他們?cè)谏俚皿@人的證據(jù)的基礎(chǔ)上宣稱一些普遍性的結(jié)論。如庫(kù)侖在他著名的1785年測(cè)定兩個(gè)帶電物體之間的力的定律的工作里，僅僅給出三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而其中的一組甚至同他所提出的平方反比定律并不很好地符合。

實(shí)驗(yàn)誤差的概念、數(shù)據(jù)的圖示以及統(tǒng)計(jì)方法的運(yùn)用則在19世紀(jì)得到發(fā)展[3]322。19世紀(jì)，實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步在科學(xué)和教育中普及，并深刻地影響了人們的思維方式。約瑟夫·布萊克、A.L.拉瓦錫和拉普拉斯等人對(duì)熱學(xué)的研究工作，T.邁耶、J.H.拉姆伯特和C.A.庫(kù)侖對(duì)靜電學(xué)的研究工作，都利用精細(xì)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和定量來作為衡量理論好壞的依據(jù)。靜電學(xué)的定量化，建立了靜電力的定律，這是精確實(shí)驗(yàn)檢測(cè)和定量化研究方法的結(jié)晶，也是從方法論角度尋求建立數(shù)學(xué)定律的一個(gè)范例。[4]15

數(shù)學(xué)方法和思維方式在更實(shí)際的廣闊主題范圍和事務(wù)中隨著時(shí)代發(fā)展得到不斷普及。隨著18世紀(jì)高深的數(shù)學(xué)（包括微積分）在法國(guó)的工科學(xué)校里第一次被列入教學(xué)計(jì)劃，成為后來教育廣泛遵循的一個(gè)范例，高等理論分析的可操作性和代數(shù)特征在一個(gè)更廣的范圍上反映在那些懂得數(shù)學(xué)本質(zhì)和應(yīng)用的“鮮明工具主義者”身上。之后在航海技術(shù)、實(shí)驗(yàn)物理學(xué)、工程學(xué)、植物學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、政府事務(wù)和保險(xiǎn)業(yè)務(wù)里，都表現(xiàn)出對(duì)于數(shù)量化和理性方法的日益重視。[3]265

數(shù)學(xué)分析：重要方法和依據(jù)? 物理學(xué)有一種應(yīng)用數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，曾在很長(zhǎng)時(shí)間并未被稱為物理學(xué)，而被稱為“混合數(shù)學(xué)”。在17世紀(jì)，物理學(xué)仍然被當(dāng)作思辨哲學(xué)的一部分，在學(xué)校里用拉丁語(yǔ)傳授;而數(shù)學(xué)則大多被作為實(shí)踐科目，用本國(guó)語(yǔ)傳授。如笛卡兒就是帶著數(shù)學(xué)只在機(jī)械藝術(shù)上有用這種印象從大學(xué)畢業(yè)的。[9]50

就數(shù)學(xué)上的傾向而言，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)只有能夠使其規(guī)律進(jìn)化成為定量分析的規(guī)律，才有價(jià)值[9]51。隨著實(shí)驗(yàn)哲學(xué)的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)分析的真正價(jià)值得以被揭示，分析的真正價(jià)值使得“科學(xué)革命”的巨大進(jìn)展成為可能。倫哈德·歐勒，偉大的分析學(xué)家，創(chuàng)造了預(yù)測(cè)大梁和柱子的彎曲度的數(shù)學(xué)理論，設(shè)計(jì)出船殼、風(fēng)帆、錨的最佳方案，提出多色棱鏡理論，也提出描述震動(dòng)繩和金屬盤運(yùn)動(dòng)的各種理論，設(shè)計(jì)了水輪機(jī)和渦輪機(jī)，還有許多其他應(yīng)用，但其重點(diǎn)始終放在數(shù)學(xué)與理論方面。新的分析法在天文學(xué)中的實(shí)踐效果可謂立竿見影，如提高了天文表的精確性，創(chuàng)立了關(guān)于地球和其他天體的運(yùn)動(dòng)及其形狀的新理論。[9]24

1）曲線研究。通過對(duì)依據(jù)一些力學(xué)運(yùn)動(dòng)定義的曲線的研究，數(shù)學(xué)和力學(xué)也取得進(jìn)展。這些曲線當(dāng)中最著名的是旋輪線。旋輪線早在17世紀(jì)就被帕斯卡（1623—1662）和惠更斯（1629—1695）研究過，是指在一個(gè)滾動(dòng)的圓輪上的一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。被研究過的其他類型曲線是懸鏈線（一根鏈子懸在固定兩點(diǎn)之間的形狀）、最速降線（一個(gè)物體在最短可能的時(shí)間內(nèi)從一個(gè)點(diǎn)滑到不在同一垂直線上的另一點(diǎn)的路徑）、漸伸線（當(dāng)繩子從另一條曲線展開繩子末端的另一頭的運(yùn)動(dòng)軌跡）和曳物線（物體被一根一端沿直線運(yùn)動(dòng)的繩拴住拖動(dòng)在一個(gè)有阻力的水平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡）。[9]30

很多問題促使數(shù)學(xué)家不斷去完善已知的許多方法，一些問題則引出完整的新的分析領(lǐng)域。變分學(xué)致力于發(fā)現(xiàn)類似最大化或最小化性質(zhì)的一些曲線或軌跡問題，這個(gè)學(xué)說始于牛頓試圖發(fā)現(xiàn)對(duì)液體阻力最小的固體的形狀。1696年，約翰·伯努利用它解決了最速降線的問題（證明了正確的曲線是旋輪線），使這個(gè)學(xué)說得以延續(xù)，而且由于伯努利兄弟約翰和雅可布（1654—1705）研究等周圖形（基于給定周長(zhǎng)，尋找最大面積的圖形），這個(gè)學(xué)說得到極大的發(fā)展。解決此類問題的這些方法被歐勒歸納在他的《尋找具有最大或最小特性曲線的藝術(shù)》（1744年）—書中，拉格朗日在1750年代和1788年出版的《分析力學(xué)》中對(duì)其做了進(jìn)一步的擴(kuò)展和補(bǔ)充。[9]30

關(guān)于擺線運(yùn)動(dòng)的闡釋嘗試也為數(shù)學(xué)家提供了新的機(jī)會(huì)。1746年，達(dá)朗貝爾首先發(fā)現(xiàn)并解決了波動(dòng)方程，而這為描述擺線運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)普遍適用的解法。這個(gè)問題要用到偏微分方程，即微分學(xué)中含有多個(gè)變量的方程，引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)函數(shù)本質(zhì)的一些問題研究。歐勒完善了上述理論，并且曾就數(shù)學(xué)函數(shù)的定義問題和達(dá)朗貝爾發(fā)生論辯。達(dá)朗貝爾認(rèn)為任何數(shù)學(xué)曲線，若想在微積分中充分地被描述，就必須像擺線一樣：是連續(xù)的，沒有任何斷裂或絞纏，并且是在兩個(gè)固定端點(diǎn)之間拉直。歐勒論辯說這些都是一些不必要的限制，數(shù)學(xué)函數(shù)能夠描述任何曲線，哪怕是“手畫的”一條線，只要函數(shù)按周期性的間隔定義。在這場(chǎng)特殊的論辯中，爭(zhēng)論很快就超越了物理學(xué)問題，轉(zhuǎn)向基本函數(shù)理論問題。[9]30

2）落體分析。對(duì)伽利略來說，重力或有重量性是物體的獨(dú)特性質(zhì)，并且他總是把重物向地心運(yùn)動(dòng)的傾向看作它們的固有運(yùn)動(dòng)。與此同時(shí)，伽利略確實(shí)成功地建立了關(guān)于運(yùn)動(dòng)的數(shù)理科學(xué)的基礎(chǔ)，給勻速運(yùn)動(dòng)和勻加速運(yùn)動(dòng)下了定義，并用數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)對(duì)二者進(jìn)行了描述。由于幾何學(xué)所代表的正是他心目中的科學(xué)典范，他用幾何比例而不是代數(shù)方程表達(dá)了他的結(jié)果，但是這些比例與涉及速度、加速度、時(shí)間和距離以及為今天的每一個(gè)力學(xué)新生所學(xué)習(xí)的、基本的運(yùn)動(dòng)方程是等價(jià)的：

v=at

s=1/2·at2

v2=2as

他也證明了，物體的所有相同的垂直平移運(yùn)動(dòng)，都經(jīng)歷了相同的加速過程，如果一個(gè)物體從靜止開始自由下落，而另一個(gè)物體也從靜止開始通過一個(gè)傾斜的平面下滑，通過傾斜平面下滑的物體也通過了相同的垂直距離（當(dāng)然這意味著沿著傾斜的平面，它的路徑更長(zhǎng)，并且運(yùn)動(dòng)所花費(fèi)的時(shí)間更多），它們獲得的垂直速度相等。[2]23

3）有關(guān)光的理論。

①斯奈爾（1580—1626，荷蘭科學(xué)家）定律。斯奈爾定律認(rèn)為，任何均勻的透明介質(zhì)都有其折射率n。設(shè)入射角為i，折射角為r，兩種介質(zhì)的折射率分別為n1及n2，它們之間存在下述關(guān)系：

n1sini=n2sinr

斯奈爾定律只考慮兩種不同介質(zhì)的折射率n1與n2的比值。在16世紀(jì)看來，所有的光線都是從地球大氣層以外傳播進(jìn)來的，因此可以假設(shè)以太的折射率為1，于是便能夠計(jì)算出任何其他透明介質(zhì)的折射率大約是1.5。這項(xiàng)工作的影響十分深遠(yuǎn)，尤其是玻璃在儀器設(shè)施中的廣泛應(yīng)用。

圖1中以一個(gè)平面來代表兩種介質(zhì)之間的界面，這是一種最簡(jiǎn)單的情況，如光線從空氣中進(jìn)入水中，或者進(jìn)入玻璃的一個(gè)平面。[8]54-55

折射是光學(xué)中非?；镜囊环N現(xiàn)象，也可以說是波的物理學(xué)中的一種基本現(xiàn)象?！叭绻麤]有16世紀(jì)的數(shù)學(xué)，17世紀(jì)的物理學(xué)將一事無成。”當(dāng)時(shí)德國(guó)的一位數(shù)學(xué)家雷蒂庫(kù)斯（1514—1576，曾經(jīng)促成了哥白尼的著作《天體運(yùn)行論》譯書的出版）領(lǐng)導(dǎo)著三角學(xué)領(lǐng)域的研究工作，他編制了正弦函數(shù)表，其中有的有效數(shù)字達(dá)到十進(jìn)位制的15位。暫且不談斯奈爾是怎樣發(fā)現(xiàn)他的定律的，除了他自己進(jìn)行的觀察以外，雷蒂庫(kù)斯的函數(shù)表顯然也肯定了這一定律的正確性。[8]55

②笛卡爾：反射、折射定律與正弦定理。笛卡爾把光歸到光的普遍原理中，這對(duì)其自然哲學(xué)的完善至關(guān)重要。事實(shí)上他所做的還不止這些，他還將更多的東西引入光學(xué)，認(rèn)為太陽(yáng)光的產(chǎn)生是漩渦中的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的必然結(jié)果。[2]54

反射定律很容易由網(wǎng)球的例子推斷出來。光的直線傳播與網(wǎng)球被球拍打出后的慣性運(yùn)動(dòng)相似。通過將球的運(yùn)動(dòng)分解成一個(gè)與反射表面平行的分運(yùn)動(dòng)（它不會(huì)因?yàn)榍虻膹椞淖儯┖痛怪钡姆诌\(yùn)動(dòng)（它的方向會(huì)反過來），笛卡爾輕易地證明了反射角與入射角相等（見圖2）。因?yàn)閹讉€(gè)世紀(jì)以來人們?cè)缫阎懒朔瓷涠?，所以無論認(rèn)為這樣的證明如何嚴(yán)密，它也很難說是一大成就。[2]54

笛卡爾這時(shí)開始寫他自己的《曲光學(xué)》（1637年），把自己有關(guān)光的理論更具體化。從根本上講，他認(rèn)為光是由透明媒質(zhì)瞬時(shí)地傳遞的一種壓力。在《曲光學(xué)》一書中，他運(yùn)用了盲人用來“看”東西的手杖這個(gè)比喻：當(dāng)手杖碰到一塊石頭，手杖底端的運(yùn)動(dòng)就由棍子傳到手上，于是盲人“看”到了路上的障礙物。既然自然界是一個(gè)充滿物質(zhì)的空間，可以認(rèn)為透明媒質(zhì)就是壓在眼睛上的實(shí)在的物質(zhì)。發(fā)光體產(chǎn)生的壓力給視網(wǎng)膜留下印象，引起光神經(jīng)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)被傳到大腦，大腦將其解釋為光。為了圓滿地解釋光，笛卡爾還運(yùn)用了另外兩個(gè)機(jī)械的類比，其中一個(gè)是把光比做網(wǎng)球的運(yùn)動(dòng)。他宣稱因?yàn)閴毫κ橇硪环N運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，因而它也會(huì)遵循一樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)則。毋庸贅述，他是想運(yùn)用這一類比來導(dǎo)出反射與折射定律。[2]54-55

然而，折射卻是另外一回事。如果說有折射定律，當(dāng)時(shí)人們也還不知道。笛卡爾用同樣的方法來研究折射，他用一塊布代替了反射面，這塊布代表折射的兩種媒質(zhì)的界面，球要從這一界面穿過（見圖2）。假設(shè)光在第二種媒質(zhì)中的傳播要慢于在第一種媒質(zhì)中的傳播。笛卡爾認(rèn)為所有的速度變化都發(fā)生在表面，而且所有的速度變化都與球通過時(shí)所具有的垂直運(yùn)動(dòng)相關(guān)。由這些前提得出結(jié)論，他進(jìn)而指出對(duì)光被折射到第二媒質(zhì)時(shí)的所有入射角來說，入射角的正弦與折射角的正弦成比例。[2]56

笛卡爾對(duì)發(fā)現(xiàn)“曲光”弧面，即可使光線折射并匯聚于焦點(diǎn)的折射表面的形狀感興趣。望遠(yuǎn)鏡的使用清楚地說明，球形透鏡不能使平行光線匯聚于焦點(diǎn)。人們既然早已知道光線匯聚于焦點(diǎn)，經(jīng)拋物柱面反射可匯聚于焦點(diǎn)，自然而然地會(huì)嘗試用其他圓錐面來代替拋物面鏡。通過研究橢圓面及雙曲面，笛卡爾可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)他在《曲光學(xué)》一書中所證明的內(nèi)容，即假設(shè)光按正弦定理折射，則橢圓面或雙曲面形透鏡可匯聚平行的光線。由于沒有人愿意磨制真的橢圓面狀或雙曲面狀的透鏡來檢測(cè)這個(gè)定理，這個(gè)證明本身也就不成為使人接受正弦定律的理由。[2]56-57

但另外一個(gè)經(jīng)過證明的結(jié)果則促使人們接受了正弦定理。在他的論文《氣象學(xué)》中，笛卡爾指出，一次虹從不會(huì)出現(xiàn)在高于41°37′的天空，而二次虹不會(huì)在低于51°37′

的天空出現(xiàn)。其證明的依據(jù)是正弦定理，而觀察也證實(shí)了這個(gè)結(jié)論[2]57。

（未完待續(xù)）

本文為全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度教育部重點(diǎn)課題“中國(guó)教育技術(shù)裝備發(fā)展史研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：DCA110188）部分研究成果“近代歐洲教育變革與教育技術(shù)裝備緣起：教育技術(shù)裝備的知識(shí)系統(tǒng)——內(nèi)環(huán)境建構(gòu)”（節(jié)選）。

作者：新喬、趙曉寧、任熙俊，《中國(guó)教育技術(shù)裝備》雜志社（100081）。