短小精悍 思索不斷

摘 要：2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ（理科）21題是壓軸題，考查的是導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，應(yīng)該說(shuō)這道題受到關(guān)注最多。對(duì)于學(xué)生而言挑戰(zhàn)高考題又可以讓同學(xué)們感受到當(dāng)下所學(xué)知識(shí)的重要，還能和高考拉近距離。整節(jié)課利用探究的方式得到了不同的方法，最后用幾何畫(huà)板讓同學(xué)們直觀地感受了兩個(gè)函數(shù)的圖象的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：微課；高考；導(dǎo)數(shù)；直接法；構(gòu)造法；分離參數(shù)法

2018年高考落下帷幕已經(jīng)有一段時(shí)間，但是那些不論經(jīng)歷過(guò)高考還是即將經(jīng)歷高考的人，都在密切地關(guān)注著有關(guān)高考的一切。筆者所執(zhí)教的高三學(xué)生已經(jīng)進(jìn)入了第一輪的復(fù)習(xí)階段，非常需要來(lái)一次大練兵。于是在進(jìn)行導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)的時(shí)候選擇了學(xué)生最為關(guān)心的壓軸題進(jìn)行賞析，這樣既讓學(xué)生感受到高考并不可怕，更能感受到平時(shí)學(xué)習(xí)中積累的重要性。

2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ（理科）21題：已知函數(shù)f（x）=ex-ax2。

（1） 若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1；

（2） 若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a。

當(dāng)2018年高考題出現(xiàn)在電子屏幕上時(shí)，同學(xué)們士氣高漲！第（1）小題同學(xué)們很快就有了答案，第二問(wèn)激發(fā)了同學(xué)們挑戰(zhàn)的熱情，同學(xué)們一致表示，骨頭雖然難啃，但還是要挑戰(zhàn)！最終通過(guò)師生共同合作，得到了以下解法。

一、 解法一：（直接法）

因?yàn)閒′（x）=ex-2ax，則令g（x）=f′（x）=ex-2ax，則g′（x）=ex-2a，

①當(dāng)2a≤1，即a≤12時(shí)，g′（x）≥0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增，則有g(shù)（x）>g（0）=1>0，進(jìn)而f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且f（x）>f（0）=1>0，沒(méi)有零點(diǎn)；

②當(dāng)2a>1，即a>12時(shí)，令g′（x）>0，得x>ln（2a），此時(shí)g（x）單調(diào)遞增；

令g′（x）<0，得0

則g（x）min=g（ln（2a））=eln（2a）-2aln（2a）=2a（1-ln（2a）），

當(dāng)120，從而f′（x）>0，沒(méi)有零點(diǎn)。當(dāng)a>e2時(shí)g（x）min<0，

又g（0）=f′（0）=1>0，g（1）=f′（1）=e-2a<0，則存在x1∈（0，1），使g（x1）=f′（x1）=0，

又g（2a）=f′（2a）=e2a-4a2>（2a）2-4a2=0，則存在x2∈（ln（2a），2a），使g（x2）=f′（x2）=0，

這就是說(shuō)：x∈（0，x1）時(shí)f（x）單調(diào)遞增；x∈（x1，x2）時(shí)f（x）單調(diào)遞減；x∈（x2，+∞）時(shí)f（x）單調(diào)遞增。那么f（x）的零點(diǎn)就完全取決于f（x2）的值。

f（x2）=ex2-ax22，又f′（x2）=ex2-2ax2=0，則f（x2）=2ax2-ax22=ax2（2-x2），

當(dāng)x2<2時(shí)，f（x2）>0，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)x2=2時(shí)，f（x2）=0，此時(shí)a=e24，僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x2>2時(shí)，f（x2）<0，但f（4a）=e4a（1-16a3e4a）=e4a（1-16a3（e2a）2）>e4a（1-16a3（2a）4）=e4a（1-1a）>0，故有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意。綜上可知，a=e24為所求。

二、 解法二：（分離參數(shù)法）

f（x）=ex-ax2在（0，+∞）有一個(gè)零點(diǎn)，即ex-ax2=0只有一個(gè)正根

相當(dāng)于a=exx2只有一個(gè)正根，即直線y=a與y=exx2只有一個(gè)交點(diǎn)。

令h（x）=exx2，則h′（x）=（x-2）exx3，

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）<0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）>0。

所以h（x）在（0，2）單調(diào)增減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，

故h（2）=e24是h（x）在（0，+∞）的最小值，所以當(dāng)a=e24時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)。

三、 解法三：（構(gòu)造法）

設(shè)函數(shù)h（x）=1-ax2e-x。

f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)。

（i）當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）>0，h（x）沒(méi)有零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)a>0時(shí)，h′（x）=ax（x-2）e-x。

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h′（x）<0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）>0。

所以h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增。

故h（2）=1-4ae2是h（x）在[0，+∞）的最小值。

①若h（2）>0，即a

②若h（2）=0，即a=e24，h（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)；

③若h（2）<0，即a>e24，由于h（0）=1，所以h（x）在（0，2）有一個(gè)零點(diǎn)，

由（1）知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2

所以h（4a）=1-16a3e4a=1-16a3（e2a）2>1-16a3（2a）4=1-1a>0。

故h（x）在（2，4a）有一個(gè)零點(diǎn)，因此h（x）在（0，+∞）有兩個(gè)零點(diǎn)。

綜上可知a=e24為所求。

最后同學(xué)們又踴躍的發(fā)表了自己的看法，分析幾種方法的優(yōu)劣以及自己的喜好，有人覺(jué)得構(gòu)造法更好，有人覺(jué)得分離參數(shù)法更快捷。其實(shí)從方法本身來(lái)講，沒(méi)有好壞之分，因?yàn)閷?duì)學(xué)生而言，將來(lái)還會(huì)碰到很多題目，這幾種方法一定都有他的用武之地。

一節(jié)課很快結(jié)束了，同學(xué)獨(dú)立思考、熱烈討論和通力合作，進(jìn)行了思想和思想的碰撞，讓這個(gè)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題已經(jīng)超過(guò)了它本身的意義。對(duì)于這個(gè)高考題引起的思考，對(duì)于筆者來(lái)講，不僅僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)了這個(gè)數(shù)學(xué)題，更多的是讓學(xué)生增加了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，以及對(duì)高考的進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)還增強(qiáng)同學(xué)間的友誼以及師生間的和諧。

參考文獻(xiàn)：

《2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ》.

作者簡(jiǎn)介：

卞蕾，中級(jí)職稱，甘肅省蘭州市，蘭州市五十一中。