基于MWC 多測(cè)量向量的高效恢復(fù)算法

朱嘉微，符博娟，李健

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，成都 610065）

0 引言

隨著無(wú)線通信的快速發(fā)展，通信頻點(diǎn)越來(lái)越高，傳統(tǒng)的信號(hào)采樣率由于受限于Nyquist 采樣定理已成為制約信號(hào)處理發(fā)展的一個(gè)瓶頸。壓縮感知（Compressed Sensing,CS）理論的出現(xiàn)打破了Nyquist 采樣率的瓶頸，可以利用低于Nyquist 采樣率的速率對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行采樣還原，而調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器（Modulated Wideband Converter,MWC）真正意義上實(shí)現(xiàn)了模擬信號(hào)的欠Nyquist 采樣及還原，在分布式電磁頻譜感知領(lǐng)域有很廣闊的應(yīng)用前景[1-3]。準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性是頻譜感知技術(shù)中的關(guān)鍵，下面針對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行深入研究并提出改進(jìn)方法。

基于MWC 的頻譜感知主要分為三個(gè)階段：一是寬帶稀疏信號(hào)的采樣，二是采樣信號(hào)的降維處理，三是利用采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)，其中降維處理過(guò)程是恢復(fù)過(guò)程的關(guān)鍵，既要求降低采樣數(shù)據(jù)的維度，又要保持信號(hào)的原始信息不被丟失。目前已有關(guān)于MWC 采樣數(shù)據(jù)降維處理技術(shù)，在文獻(xiàn)[4]中就提出ReMBo（Reduce MMV and Boost）的算法，該算法通過(guò)將一維隨機(jī)向量與采樣值矩陣相乘，將多測(cè)量模型轉(zhuǎn)為單測(cè)量模型，然后再利用壓縮感知中的恢復(fù)算法求解最優(yōu)稀疏解，可以有效提升恢復(fù)速率。文獻(xiàn)[5]中提出RSMV（Reduced Single Measurement Vector）模型，該模型通過(guò)把壓縮采樣值矩陣按行加為一列的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)降維，并且利用OMP 算法結(jié)合頻譜切片的分布特性成功恢復(fù)出頻域支撐集。但是這兩個(gè)算法都會(huì)減少信號(hào)的信息，進(jìn)而降低信號(hào)的重構(gòu)率。文獻(xiàn)[6]使用特征值分解達(dá)到降維的效果，轉(zhuǎn)換為多測(cè)量向量MMV(Multiple Measurement Vector)。雖然在一定程度上抗噪，但實(shí)時(shí)性較差。如何有效減少信號(hào)恢復(fù)時(shí)間，又能不影響對(duì)信號(hào)的感知能力是本文的主要技術(shù)關(guān)鍵。因此，本文提出一種基于MWC 的多測(cè)量向量模型，簡(jiǎn)稱為RMMV（Reduced Multiple Measurement Vector）模型。將采樣值矩陣按行加為多列得到新的采樣值替換矩陣，這里的采樣矩陣的列數(shù)會(huì)對(duì)后端恢復(fù)率和恢復(fù)時(shí)間有比較大的影響，所以要適當(dāng)?shù)剡x擇合適的列數(shù)。最后利用壓縮感知中的OMP 恢復(fù)算法找到信號(hào)的頻域支撐集。

1 MWC模型

MWC 針對(duì)的是稀疏寬帶多子帶信號(hào)x(t)[6]，其傅里葉變換X(f)帶限于F=(-fNyquist,fNyquist)，信號(hào)模型如圖1所示，在F 范圍內(nèi)，一共存在N 個(gè)不相交的稀疏子帶，其中最大子帶帶寬為B。

圖1 多頻帶稀疏信號(hào)頻譜圖

MWC 原理框圖如圖2 所示，每個(gè)采樣通道都經(jīng)過(guò)偽隨機(jī)混頻、低通濾波和ADC 均勻采樣三個(gè)過(guò)程才能得到壓縮采樣數(shù)據(jù)。其中，混頻器和低通濾波器必須嚴(yán)格滿足設(shè)計(jì)需求，才能使各個(gè)子頻帶在整個(gè)頻域內(nèi)擴(kuò)散，并且能在期待的基帶范圍內(nèi)搬移形成混疊。偽隨機(jī)信號(hào) pi(t)的循環(huán)頻率 fp=1/Tp決定了頻段分割、搬移的帶寬大小，而低通濾波器的截止頻率與低速ADC的采樣頻率 fs=1/Ts相關(guān)。

圖2 MWC原理框圖

偽隨機(jī)序列 pi(t)是以M 為間隔變化±1 交替變換的序列，目的是使原稀疏多子帶信號(hào)頻譜擴(kuò)展至整個(gè)頻帶中，pi(t)是周期信號(hào)，滿足 pi(t+nTp)=pi(t)。對(duì)于第i 個(gè)通道，其傅里葉展開(kāi)式為：

其中傅里葉系數(shù)有如下表達(dá)式：

則經(jīng)過(guò)混頻后信號(hào)的頻域傅里葉變換可表示為：

經(jīng)過(guò)低通濾波器后，保留低頻部分的全局頻譜切片，然后進(jìn)行低通采樣，則第i 個(gè)通道的壓縮采樣序列yi[n]的離散時(shí)間傅里葉變換表示為：

這里的L0是在頻率Fs范圍中包含所有非零頻譜切片的最小整數(shù)值，可以通過(guò)以下公式計(jì)算：

其中 fNyquist表示信號(hào)的奈奎斯特帶寬，fs為系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的采樣率。

2 基于RMMV的恢復(fù)算法

RMMV 算法的核心是將壓縮采樣值矩陣y[n]按行均勻加為k 列，得到一個(gè)新的采樣值矩陣Vˉ，如果能夠證明新的采樣值矩陣Vˉ不改變信號(hào)的支撐集，則說(shuō)明RMMV 算法是可行的。

假設(shè) yi[n] 是第i 個(gè)通道的采樣值，則把 MWC y[n]=Az[n]轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

得到新的第1 個(gè)通道的壓縮采樣值：

將m 個(gè)通道的壓縮采樣值都加為k 列，可以得到：

這就是我們得到的新的RMMV 模型，其壓縮感知形式為：

在文獻(xiàn)[6]提到采樣值經(jīng)過(guò)特征值分解降維后有比較好的抗噪性能，而本文的RMMV 算法沒(méi)有經(jīng)過(guò)特征值分解部分，抗噪性能有所下降。在圖1 的MWC 頻譜圖中，由于 fp≤B，信號(hào)的整個(gè)頻譜被平分為L(zhǎng) 個(gè)頻譜切片后，每個(gè)子帶的頻譜一般占據(jù)兩個(gè)切片，而且某一部分的頻譜切片所占能量較多，而占用能量較小的切片位置會(huì)受到噪聲影響導(dǎo)致丟失，在一次迭代中就能找到最大頻譜切片的位置以及其對(duì)稱頻帶位置，并且可以將它相鄰左右的頻帶位置加入到支撐集中。具體的RMMV 恢復(fù)算法流程如下：

輸入：將y[n]按行相加為k 列作為測(cè)量值矩陣Vˉ，殘差 R 為 Vˉ，測(cè)量矩陣 A，索引值向量 Sˉ為[]，設(shè)置初始迭代值t 為0，原信號(hào)稀疏度為K=N；

步驟2：接著找到λt的對(duì)稱頻譜位置以及它們的相鄰頻譜切片索引值加入到索引值向量Sˉ中；

步驟3：根據(jù)索引值向量Sˉ中的值把對(duì)應(yīng)的測(cè)量矩陣A 中的列取出組成矩陣ASˉ，并求出其偽逆

步驟 5：更新殘差 Ri=R-A×，t++ ；

步驟6：如果t ≥K 或殘差Ri滿足停止迭代的條件，停止迭代，否則返回步驟1。

輸出：支撐集的索引值向量Sˉ

在步驟2 中，這里的選擇索引值的方法是求得殘差與測(cè)量矩陣最大內(nèi)積的索引值，然后找出其對(duì)稱位置的索引值，最后把它們相鄰索引值都加入到索引值向量中，這樣可以快速找到所有的索引值，節(jié)省了恢復(fù)時(shí)所需時(shí)間，這種把相鄰頻譜切片位置加入到支撐集有利于提高RMMV 恢復(fù)算法的魯棒性。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

為了體現(xiàn)抗噪性能，在原始信號(hào)中加入高斯白噪聲。其中子帶數(shù)N 為6，能量系數(shù)Ei={1,2,3}，時(shí)間延時(shí)τi={0.4,0.7,0.9}μs，子帶帶寬 B=50MHz，子帶載頻 fi為[0.5GHz]內(nèi)的隨機(jī)值。

實(shí)驗(yàn)仿真了不同列數(shù)下的RMMV 算法與原MMV算法在恢復(fù)性能上的比較，如圖3 所示，通道數(shù)為50，信噪比從-10dB 到25dB，圖中RMMV(k)表示將采樣值矩陣降維至k 列，從圖中可以看出，RMMV 算法在采樣值矩陣列數(shù)為2 時(shí)，其對(duì)信號(hào)的恢復(fù)率在低信噪比下低于原始MMV 方法，因?yàn)樵椒ń?jīng)過(guò)了特征值分解的部分，這部分有降噪的功能，能有效提高恢復(fù)性能，而將采樣值矩陣降為2 列會(huì)嚴(yán)重破壞原始信號(hào)的信號(hào)特征，將有效的信息丟失，造成恢復(fù)過(guò)程對(duì)噪聲較為敏感。但是信噪比達(dá)到4dB 后，恢復(fù)性能就與原方法差不多，甚至比原方法的恢復(fù)率要高一些。但對(duì)于列數(shù)大于等于4 時(shí)，RMMV 算法在不同信噪比下對(duì)信號(hào)的恢復(fù)率均高于原MMV 方法，可見(jiàn)，列數(shù)的增加可以有效提高算法的抗噪性能，但是列數(shù)不能無(wú)限增加，這樣會(huì)增加后端的計(jì)算負(fù)擔(dān)，因此，對(duì)采樣值矩陣降維選擇合適的維度有利于提高恢復(fù)準(zhǔn)確性和恢復(fù)速率。

為了檢驗(yàn)我們提出的RMMV 算法在恢復(fù)速率上的性能，把壓縮采樣值矩陣y[n]加為4 列、6 列和8 列以后，我們對(duì)此與原MMV 算法進(jìn)行了對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，如下圖所示，通道數(shù)m 從 20 到 50，信噪比 SNR 為30dB。從圖中可以看出RMMV 算法降維后的列數(shù)越少，信號(hào)的平均恢復(fù)時(shí)間越少，大幅度地提升了恢復(fù)速

圖3 不同信噪比下算法恢復(fù)對(duì)比圖

圖4 不同算法的恢復(fù)時(shí)間對(duì)比圖

仿真實(shí)驗(yàn)的原始信號(hào)是寬帶稀疏多子帶調(diào)制信號(hào)x(t)，其信號(hào)的時(shí)域模型表示為：度，此外，RMMV 算法中當(dāng)對(duì)采樣值壓縮為8 列時(shí)，其平均恢復(fù)時(shí)間仍然大大低于原MMV 算法。因此，針對(duì)需要快速恢復(fù)支撐集的場(chǎng)景，我們所提出的RMMV 算法具有較大的優(yōu)勢(shì)，具有較好的實(shí)時(shí)性，可應(yīng)用于跳頻信號(hào)檢測(cè)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先介紹了用于實(shí)現(xiàn)頻譜感知的MWC 體系，接著，詳細(xì)介紹了RMMV 算法模型，這個(gè)算法是把壓縮采樣值矩陣y[n]通過(guò)加為k 列的方式跳過(guò)了特征值分解部分，也分析了如何選擇合適的k 來(lái)達(dá)到恢復(fù)時(shí)間和恢復(fù)成功率之間的平衡。這個(gè)算法可以有效降低CTF 恢復(fù)時(shí)間，還可以通過(guò)控制k 的取值在一個(gè)比較低的范圍，減少參與后端恢復(fù)的Vˉ矩陣的列數(shù)，進(jìn)一步降低算法的運(yùn)行時(shí)間。最終實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了RMMV 算法確實(shí)可以消除通道對(duì)恢復(fù)時(shí)間的影響，還在一定程度上提升恢復(fù)速率，對(duì)恢復(fù)成功率也有一定的提升效果。