用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題的應(yīng)用探討

鄭 勝

（福建省三明市將樂縣第四中學(xué)，福建三明 350300）

引 言

在數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中，所謂數(shù)學(xué)思想，就是通過對數(shù)學(xué)基本知識的學(xué)習(xí)和理解，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的高度概括和認(rèn)識。數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)比較重要的思想，它能把抽象的問題具體化，從而簡化解決問題的過程。最值問題是初中數(shù)學(xué)中最常見的一類問題，利用數(shù)形結(jié)合思想能夠提高解決這類問題的速度和準(zhǔn)確性。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)中最基本的兩個概念就是數(shù)與形，這兩個概念是對現(xiàn)實(shí)世界中客觀事物的抽象反映，貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)過程。從廣義上來說，我們可以將“數(shù)”理解為數(shù)學(xué)的文字特征，如數(shù)字、概念、數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定理等；“形”，我們可以將之理解為圖形表征，如圖像、實(shí)物等，數(shù)和形往往是密不可分的。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題，通過對數(shù)字和圖形進(jìn)行處理，將抽象問題具體化，將復(fù)雜問題簡單化。數(shù)形結(jié)合思想是一種解決數(shù)學(xué)問題的思想方法，它是通過分析數(shù)學(xué)問題的代數(shù)和集合意義，通過數(shù)與形的結(jié)合，運(yùn)用抽象思維和形象思維解決數(shù)學(xué)問題的方法[1]。

二、初中數(shù)學(xué)最值問題

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，最值（最大值和最小值）是一類比較常用到數(shù)形結(jié)合思想的問題，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較重要的內(nèi)容之一。最值問題的解決需要學(xué)生具有廣闊的知識面，并能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。解決最值問題要求學(xué)生不僅具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識，還要具有靈活的思維，掌握解決問題的實(shí)質(zhì)方法，具有創(chuàng)新意識，有數(shù)形結(jié)合的思想意識。

最值問題可以分為兩種類型：第一種是代數(shù)中最大值和最小值的問題，如在現(xiàn)實(shí)生活中我們常常遇到的，利益最大、距離最短、花費(fèi)最少、面積最大等問題，都是代數(shù)類最值問題。代數(shù)式的最值問題又可以分為三小類：第一類是關(guān)于方程未知數(shù)和函數(shù)變量的最值問題；第二類是求代數(shù)式的最值問題；第三類是關(guān)于數(shù)論的最值問題。第二種最值問題是幾何最值問題，如在幾何圖形中有一個元素做規(guī)律的運(yùn)動，這一元素在一定范圍內(nèi)變化，而與這一元素相關(guān)的量也將隨之發(fā)生變化，這個變化的量存在最大值和最小值。幾何最值問題又可細(xì)分為四小類：第一類是關(guān)于線段的最值問題；第二類是關(guān)于面積的最值問題；第三類是關(guān)于角度的最值問題；第四類是關(guān)于幾何量的最值問題[2]。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解決最值問題中的具體應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)最值問題主要考查學(xué)生的綜合解題能力，對學(xué)習(xí)水平要求較高，而有效利用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?fù)雜、抽象的最值問題變?yōu)楹唵?、具體的問題。最值問題類型多樣，解決的方法也很多，如何快速、正確地解決最值問題是學(xué)生比較關(guān)心的問題。在眾多解決方法中，數(shù)形結(jié)合的方法是解決最值問題最好的方法，它能將最值問題轉(zhuǎn)化為直觀的形，也能將最值問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)，如以數(shù)化形，以形換數(shù)等數(shù)形結(jié)合的方法。在求最值的過程中，通過數(shù)形結(jié)合、數(shù)形互變能夠豐富學(xué)生對最值問題的認(rèn)識，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美好體驗(yàn)[3]。

（一）以數(shù)化形，數(shù)形結(jié)合解決最值問題

在數(shù)學(xué)最值的學(xué)習(xí)過程中，有些數(shù)量關(guān)系比較抽象，只有簡單、抽象的數(shù)據(jù)材料，在這種情況下，教師只講解抽象的數(shù)據(jù)，無法讓學(xué)生真正理解問題，因?yàn)閷W(xué)生的思維能力有限，對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識比較模糊，難以正確理解所給的信息，無法體驗(yàn)問題的真正意圖。而這時就需要教師以數(shù)化形，將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)換為具體的形象，通過直觀形象的呈現(xiàn)使學(xué)生對問題有正確的表征，從而在頭腦中勾勒出關(guān)于問題的具體畫面，并在直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，提高解決問題的效率。

例1：求y=|2x|+x-1的最小值。

在這道題中，單純通過一次函數(shù)的式子去求解y的最小值是很難的，教師單純地講解函數(shù)式也無助于學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解，這時，教師就可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，將數(shù)學(xué)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，讓學(xué)生在函數(shù)圖像的幫助下，主動地感知函數(shù)圖像的變化趨勢、增減、最小值的情況。所以，教師可以讓學(xué)生做出y=|2x|+x-1的圖像（如圖1），以觀察它的增減性。

圖1

通過圖像我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＞0時，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x=0時，y=-1是最小值。

（二）以形換數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決最值問題

圖像有直觀、形象的特點(diǎn)，能夠幫助人理解問題，但是只有圖形，而沒有定量也很難快速解決問題。有些復(fù)雜的圖形，需要借助“數(shù)”將問題數(shù)字化，從而挖掘出問題背后的數(shù)量關(guān)系。

例2：某村在修一條水渠，水渠的橫斷面為等腰梯形（如圖2），腰與水平線的角為60°，要求水進(jìn)入渠內(nèi)后水渠橫截面的兩腰和渠底總長為6，問渠中水量的高度為多少時，水流量最大？

圖2

在本題中，借助等腰梯形的圖形，將面積最大化的問題通過圖形幫助學(xué)生理解，求水流量最大也即梯形面積最大值。畫出等腰梯形的圖形，設(shè)等腰梯形的腰為x，下底邊為y，橫斷面積為S，根據(jù)兩腰和渠底總長為6，則2x+y=6，h=xsin60°，所以

當(dāng)x=2時，面積最大為此時

結(jié) 語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，利用數(shù)形結(jié)合思想，能夠以數(shù)化形，以形換數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想解決最值問題，能夠?qū)⒕唧w和抽象，簡單和復(fù)雜互換，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力、學(xué)習(xí)效率。