考慮非均質(zhì)性的致密儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)

郭 昊，魏 旭，張永平，王海濤，鄧大偉，朱興旺

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2.中國(guó)石油大慶油田有限責(zé)任公司采油工程研究院，黑龍江大慶163454）

致密儲(chǔ)層的低滲透特性使其無(wú)法在鉆完井之 后直接投入生產(chǎn)［1］，需要采取適當(dāng)?shù)脑霎a(chǎn)措施。提升水平井鉆井技術(shù)［2］以及采取水力壓裂增產(chǎn)措施是提升該類(lèi)儲(chǔ)層產(chǎn)能的重要方法［3-8］，有必要對(duì)其進(jìn)行深入研究。水力壓裂技術(shù)的研究方法主要包括3方面：理論研究、實(shí)驗(yàn)研究以及數(shù)值模擬研究。較常見(jiàn)的數(shù)值模擬方法包括邊界元法、有限元法、有限差分法以及離散元法等。CHEN等［9］應(yīng)用有限差分法解決斷裂力學(xué)問(wèn)題。有限元法也能夠解決裂縫問(wèn)題，許多基于有限元的方法已被開(kāi)發(fā)用于解決這類(lèi)問(wèn)題，例如具有自適應(yīng)網(wǎng)格的常規(guī)有限元法［10］、粘結(jié)單元法［11］、節(jié)點(diǎn)力釋放法、嵌入式不連續(xù)法［12］和擴(kuò)展有限單元法等［13］。這些方法主要是將裂縫模型嵌入網(wǎng)格中，但在處理裂縫延伸時(shí)有很大難度。因?yàn)槌Ｒ?guī)有限元法不能描述單元內(nèi)的不連續(xù)表面，裂縫必須沿著單元邊界或給定的路徑延伸，在一定程度上限制了裂縫的延伸。這些數(shù)值模擬方法有個(gè)共同點(diǎn)，就是需要?jiǎng)澐志W(wǎng)格。但在求解過(guò)程中的網(wǎng)格變形、沙漏效應(yīng)嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

物質(zhì)點(diǎn)法（MPM）是一種無(wú)網(wǎng)格數(shù)值模擬法，用來(lái)解決動(dòng)態(tài)固體力學(xué)問(wèn)題。它可以用來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的動(dòng)態(tài)有限元法。在MPM中，將材料離散為一組質(zhì)點(diǎn)。背景網(wǎng)格與質(zhì)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，由網(wǎng)格控制邊界條件，背景網(wǎng)格只是作為計(jì)算工具，質(zhì)點(diǎn)信息與背景關(guān)聯(lián)，在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)求解動(dòng)量方程。方程式求解成功后，基于所有的質(zhì)點(diǎn)屬性如位置、速度、加速度和應(yīng)力狀態(tài)等，對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行更新。MPM結(jié)合了拉格朗日（質(zhì)點(diǎn)）和歐拉（網(wǎng)格）的優(yōu)點(diǎn)，已證明可用于解決裂縫延伸問(wèn)題，包括在塑性或粘性變化影響下的大應(yīng)變或旋轉(zhuǎn)。但目前該方法很少用于水力壓裂方面的研究。在考慮儲(chǔ)層非均質(zhì)性的基礎(chǔ)上，對(duì)大慶油田某地區(qū)致密儲(chǔ)層水平井的改造效果進(jìn)行評(píng)價(jià)分析，模擬結(jié)果與井下微地震監(jiān)測(cè)情況進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證所提出方法的準(zhǔn)確性。

1 物質(zhì)點(diǎn)方程

1.1 控制方程

假設(shè)區(qū)域Ω受牽引力和位移邊界條件的影響，其控制方程為［14］：

壓裂液在儲(chǔ)層中的流動(dòng)滿足質(zhì)量守恒方程，即（1）式。

以虛擬位移δu（iδui|Γu=0）為測(cè)試函數(shù)，動(dòng)量方程（2）和牽引邊界方程（3）的弱形式為：

在斷裂力學(xué)中，主要的問(wèn)題是對(duì)裂縫應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行分析。為了表征裂縫尖端的應(yīng)力場(chǎng)各向異性，并預(yù)測(cè)裂縫的延伸情況，假設(shè)裂縫延伸過(guò)程中能量是均衡的，能量釋放率控制裂縫的延伸。當(dāng)能量釋放率超過(guò)臨界韌性（裂縫表面吸收能）時(shí)，裂縫延伸。在物質(zhì)點(diǎn)法中，根據(jù)局部應(yīng)力和裂縫面的J積分來(lái)計(jì)算能量釋放率［15］，J積分表達(dá)式為：

假設(shè)人工壓裂的裂縫延伸角度主要受最大水平主應(yīng)力方向的影響。該假設(shè)基于物體在剪切力方向上阻止裂縫形成，使得裂縫走向發(fā)生變化，形成Ⅰ型裂縫?；谶@個(gè)理論，裂縫走向與水平軸夾角的表達(dá)式為：

1.2 方程離散及求解

在求解動(dòng)量方程時(shí)，質(zhì)點(diǎn)和背景網(wǎng)格完全固定連接，隨背景網(wǎng)格一起運(yùn)動(dòng)，因此可通過(guò)建立在背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的有限元形函數(shù)N（Ix）i來(lái)實(shí)現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)和背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間信息的映射。用帶有下標(biāo)I的量來(lái)表示背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的變量，用帶有下標(biāo)p的量來(lái)表示質(zhì)點(diǎn)攜帶的變量，則質(zhì)點(diǎn)p的位移uip可以由背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移uiI插值而得到，即在MPM中，區(qū)域Ω被離散化為質(zhì)點(diǎn)集合，并且背景網(wǎng)格用于求解動(dòng)量方程。在每個(gè)時(shí)間步中，質(zhì)點(diǎn)都附著在背景網(wǎng)格上。因此，可以通過(guò)內(nèi)插網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移來(lái)獲得粒子位移，其表達(dá)式為：

以弱形式（6）中的粒子作為正交點(diǎn)，應(yīng)用虛擬位移（δuiI）可得到背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)動(dòng)量方程為：

采用中心差分法［16］求解背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)動(dòng)量，可得tn+1/2時(shí)刻的背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)動(dòng)量為：

通過(guò)背景網(wǎng)格形函數(shù)將積分結(jié)果映射回質(zhì)點(diǎn)以更新質(zhì)點(diǎn)的位置和速度，即分別利用背景網(wǎng)格的加速度場(chǎng)和速度場(chǎng)更新質(zhì)點(diǎn)的速度和位置，則：

2 儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)模型的建立及分析

2.1 模型的建立

根據(jù)已完鉆水平井的井眼軌跡，選取參數(shù)包括：儲(chǔ)層滲透率為0.29 mD，泄流面積為100 000 m2，楊氏模量為55 GPa，泊松比為0.26，巖石密度為2.60 g/cm3，斷裂韌性為15 J/m2，最大水平主應(yīng)力為50 MPa，最小水平主應(yīng)力為40 MPa，各向異性系數(shù)為1.08，水平井與南北夾角為45°，施工排量為10 m3/min，最大加砂濃度為25%?；谖镔|(zhì)點(diǎn)法，建立儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)模型（圖1）。通過(guò)求解動(dòng)量方程（（2）式），利用背景網(wǎng)格的加速度場(chǎng)和速度場(chǎng)更新質(zhì)點(diǎn)的速度和位置（（18）式和（19）式）來(lái)計(jì)算裂縫的延伸情況。根據(jù)J積分計(jì)算結(jié)果，即（7）式和（8）式，確定壓裂裂縫附近產(chǎn)生的應(yīng)變，從而對(duì)儲(chǔ)層改造效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。

圖1 儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)模型Fig.1 Schematic of the mathematical model to evaluate the formation stimulation

2.2 壓裂施工段數(shù)

目前為止，壓裂施工段數(shù)的選取并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，所建立的儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)模型考慮了地質(zhì)參數(shù)與施工參數(shù)，最大可能地還原儲(chǔ)層真實(shí)情況，從而需要對(duì)壓裂施工段數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。由壓裂施工段數(shù)對(duì)儲(chǔ)層改造面積的影響（圖2）可見(jiàn)，儲(chǔ)層改造面積比例隨著壓裂段數(shù)的增加而逐漸增加，但整體上升趨勢(shì)逐漸減緩，當(dāng)壓裂段數(shù)達(dá)到15段時(shí)，繼續(xù)增加壓裂段數(shù)，儲(chǔ)層改造面積的比例提升不再明顯。由儲(chǔ)層改造面積增長(zhǎng)比例（圖2b）可見(jiàn)，壓裂段數(shù)從10段增長(zhǎng)到12段時(shí)，增幅比例較大且保持在0.04，這表明，該儲(chǔ)層條件下，若采用小于12段壓裂，會(huì)嚴(yán)重限制儲(chǔ)層改造效果的提升。當(dāng)壓裂段數(shù)超過(guò)12段時(shí)，儲(chǔ)層改造面積的增長(zhǎng)比例持續(xù)下降，達(dá)到15段后繼續(xù)增加壓裂段數(shù)，其儲(chǔ)層改造面積增幅比例小于0.01。結(jié)合圖2a和2b可最終得出，該井選取15段壓裂較為合理，此時(shí)儲(chǔ)層改造面積比例為0.87。

2.3 裂縫形態(tài)

在考慮儲(chǔ)層非均質(zhì)性的情況下，由水平井井筒左右兩側(cè)裂縫半長(zhǎng)與設(shè)計(jì)裂縫半長(zhǎng)的對(duì)比（圖3）可以明顯看出，左右裂縫半長(zhǎng)相差很大，裂縫半長(zhǎng)的整體變化規(guī)律與儲(chǔ)層改造面積的變化規(guī)律基本相同，在假設(shè)為均質(zhì)的前提下，該區(qū)塊的研究結(jié)果會(huì)與實(shí)際情況產(chǎn)生嚴(yán)重的偏離。對(duì)于6—10段較均質(zhì)的儲(chǔ)層，其裂縫半長(zhǎng)均小于設(shè)計(jì)裂縫半長(zhǎng)，產(chǎn)生這種情況的主要原因是對(duì)于非均質(zhì)儲(chǔ)層，水平井井筒一側(cè)裂縫可能很難有效延伸，使得地面注入的壓裂液流向更容易產(chǎn)生裂縫的另一側(cè)，從而產(chǎn)生一側(cè)裂縫半長(zhǎng)特別長(zhǎng)，另一側(cè)裂縫半長(zhǎng)較短的情況；而對(duì)于儲(chǔ)層較為均質(zhì)的情況，能量均勻分布在水平井井筒兩翼裂縫縫尖上，因此兩翼裂縫半長(zhǎng)很相近，裂縫半長(zhǎng)與設(shè)計(jì)半長(zhǎng)相近。

圖2 壓裂施工段數(shù)對(duì)儲(chǔ)層改造面積的影響Fig.2 Influence of the number of fracturing stage on the stimulated reservoir area

圖3 考慮非均質(zhì)性的水平井井筒兩側(cè)裂縫半長(zhǎng)分布Fig.3 Distribution of fracture half-length on two wings of horizontal well in the consideration of heterogeneity

2.4 儲(chǔ)層改造效果

壓裂施工能有效增加儲(chǔ)層的改造面積，最終提升油氣井的產(chǎn)量。而對(duì)儲(chǔ)層改造效果一直缺乏合理準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)方法。根據(jù)所建立的儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)模型，對(duì)15段裂縫的改造效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。因?yàn)槟Ｐ涂紤]儲(chǔ)層非均質(zhì)性，所以對(duì)水平井井筒左側(cè)和右側(cè)的儲(chǔ)層改造情況分別進(jìn)行研究。1—5段兩翼不對(duì)稱(chēng)，東側(cè)改造效果好；6—11段兩翼較為對(duì)稱(chēng)，但西側(cè)改造效果好于東側(cè)；12—15段西側(cè)改造效果好（圖1）。由圖4可見(jiàn)，6—10段水平井井筒左右兩側(cè)的儲(chǔ)層改造面積相差不大，表明6—10段附近區(qū)域儲(chǔ)層較為均質(zhì)。1—5段和11—15段水平井井筒左右兩側(cè)的儲(chǔ)層改造面積差距很大，表明儲(chǔ)層非均質(zhì)性強(qiáng)。對(duì)于強(qiáng)非均質(zhì)儲(chǔ)層采用均質(zhì)模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果會(huì)存在很大誤差。應(yīng)用所建模型可知，如果在左右兩側(cè)儲(chǔ)層改造面積相同的部位（圖1中的黑色實(shí)線）布置水平井井筒，則其左右兩側(cè)近似為均質(zhì)情況，可避免儲(chǔ)層非均質(zhì)性對(duì)儲(chǔ)層改造效果的影響，使儲(chǔ)層改造效果得以改善。

圖4 儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)Fig.4 Evaluation of the formation stimulation

為進(jìn)一步對(duì)儲(chǔ)層的非均質(zhì)性進(jìn)行研究，選取非均質(zhì)性較為嚴(yán)重的1—5段進(jìn)行詳細(xì)分析，應(yīng)用（7）式分別計(jì)算1—5段的J積分變化情況（圖5）。J積分是與裂縫延伸路徑無(wú)關(guān)的積分，主要表示裂縫尖端產(chǎn)生的應(yīng)變場(chǎng)的平均值。由圖5可見(jiàn)，無(wú)因次時(shí)間小于0.5時(shí)，J積分的值為0。當(dāng)無(wú)因次時(shí)間達(dá)到0.5時(shí)，J積分的值開(kāi)始逐漸增加。J積分的值從大到小排序?yàn)榈?段、第5段、第2段、第4段及第1段。與5段裂縫的儲(chǔ)層改造面積（左右裂縫半長(zhǎng)的改造面積之和）的大小排序相同。這表明可以通過(guò)計(jì)算J積分的大小來(lái)比較各壓裂段之間的儲(chǔ)層改造效果。每段的J積分曲線波動(dòng)情況不同且均出現(xiàn)無(wú)規(guī)律的增減，水平井井筒兩側(cè)的儲(chǔ)層改造面積之差越大，儲(chǔ)層非均質(zhì)性越強(qiáng)，J積分曲線波動(dòng)越明顯。產(chǎn)生這種情況的主要原因是由于水平井井筒一側(cè)相對(duì)容易產(chǎn)生應(yīng)變而另一側(cè)相對(duì)困難，導(dǎo)致能量分布不均勻，J積分變化無(wú)規(guī)律。因此，可以根據(jù)J積分曲線的復(fù)雜程度，評(píng)價(jià)儲(chǔ)層的非均質(zhì)性。

圖5 J積分變化情況Fig.5 Changes of J integral

2.5 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，將差應(yīng)力場(chǎng)模擬情況與微地震檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比（圖6），差應(yīng)力場(chǎng)與微地震檢測(cè)信號(hào)一致，儲(chǔ)層非均質(zhì)性較強(qiáng)的1—5段（圖6a和6b中黑圈部分），其相似度仍然很高，因此，所建非均質(zhì)模型的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，與實(shí)際情況相似度很高，適合作為該類(lèi)非均質(zhì)儲(chǔ)層的數(shù)值模型。

圖6 差應(yīng)力場(chǎng)與微地震檢測(cè)信號(hào)對(duì)比Fig.6 Comparison between in-situ differential stress field and microseismic detection signal

3 結(jié)論

根據(jù)物質(zhì)點(diǎn)法特性，建立非均質(zhì)儲(chǔ)層改造效果評(píng)價(jià)模型，對(duì)儲(chǔ)層改造效果進(jìn)行分析，并對(duì)壓裂施工段數(shù)選取情況進(jìn)行研究。最終可以得到如下結(jié)論：①壓裂過(guò)程中，儲(chǔ)層的非均質(zhì)性必須考慮，所建模型能有效預(yù)測(cè)及評(píng)價(jià)儲(chǔ)層改造效果。②通過(guò)計(jì)算J積分，可以比較各段儲(chǔ)層改造面積，并且可以根據(jù)J積分曲線的復(fù)雜程度，評(píng)價(jià)儲(chǔ)層的非均質(zhì)性。③壓裂施工段數(shù)在一定程度上可以增加儲(chǔ)層的改造面積，但是當(dāng)段數(shù)達(dá)到一定程度時(shí)，儲(chǔ)層改造面積增幅顯著降低。④不考慮儲(chǔ)層非均質(zhì)性，會(huì)嚴(yán)重降低儲(chǔ)層改造效果，且水平井井筒兩翼裂縫半長(zhǎng)分布不均勻。

符號(hào)解釋?zhuān)害浮獏^(qū)域；ρ——密度，kg/m3；X——拉格朗日坐標(biāo)；t——當(dāng)前時(shí)間，s；J——雅可比行列式；ρ0——初始密度，kg/m3；σij,j——柯西應(yīng)力，Pa；bi——單位質(zhì)量的體力，N/kg；i——加速度，m/s2；下標(biāo) i，j——愛(ài)因斯坦公式中空間變量的分量；ω˙int——單位質(zhì)量的內(nèi)能，J；Dij——變形率張量，m；σij——ij方向的柯西應(yīng)力張量，Pa；——物質(zhì)點(diǎn)速度，m/s；u˙0i——初始速度，m/s；ui——物質(zhì)點(diǎn)位移，m；u0i——初始位移，m；n′j——無(wú)因次單位外法線方向；σji——ji方向的柯西應(yīng)力張量，Pa； ˉti——面力，N；uˉi——質(zhì)點(diǎn)邊界速度，m/s；Γt和Γu——Ω的無(wú)因次牽引邊界和位移邊界；δ——Dirac函數(shù)；ui,j——質(zhì)點(diǎn)在愛(ài)因斯坦公式中空間變量的分量位移，m；Γ——圍繞裂縫尖端的任意積分輪廓；Jm——J積分，J/m2；m——其值為1，2，分別表示水平井井筒左側(cè)和右側(cè)；k——積分點(diǎn)，個(gè)；nj——積分點(diǎn)總數(shù)，個(gè)；W——通過(guò)積分dW=σijdεij得到的應(yīng)力功密度，J/m2；εij——應(yīng)變；E——?jiǎng)幽苊芏?，J/m2，其值為2；nm——圍繞裂縫尖端的任意積分輪廓（Γ）或圍繞裂縫尖端的具有最大半徑ε的積分輪廓（Γε）單位法向量的第m個(gè)分量，m2；xm——質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)；?ui/?xm——位移梯度；G——能量釋放率；J1——水平井井筒左側(cè)J積分，J/m2；J2——水平井井筒右側(cè)J積分，J/m2；θ——裂縫走向與水平軸的夾角，（°）；KⅠ——Ⅰ型裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa· m；KⅡ——Ⅱ型裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa· m；uip——質(zhì)點(diǎn)p的位移，m；NIp——在粒子p的位置處評(píng)估的節(jié)點(diǎn)I的形狀函數(shù)；uiI——背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移，m；下標(biāo)p——質(zhì)點(diǎn)；I——網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)；p˙i——節(jié)點(diǎn)動(dòng)量，kg·m/s；mI——背景網(wǎng)格的總質(zhì)量矩陣；u¨iI——粒子的加速度，m/s2；fiIint——背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)內(nèi)力，N；fext——背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)外力,N;p——第I個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)在i方iIiI向的動(dòng)量，kg·m/s；viI——網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)I處的速度，m/s；np——質(zhì)點(diǎn)數(shù)量，個(gè)；mp——背景網(wǎng)格的質(zhì)量矩陣；ρp——p點(diǎn)密度，kg/m3；NIp,j——p點(diǎn)的形函數(shù)；σijp——p點(diǎn)的應(yīng)力張量，Pa；bip——p點(diǎn)的體力，N；Δtn——時(shí)間間隔時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度，m/s；ng——網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，個(gè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置；——tn時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置。