尾坐式飛行器增益調度控制器設計和比較

楊 碩 楊柳慶 張 勇 郭 錦

(1.南京航空航天大學 自動化學院，南京 210016；2.南京航空航天大學 無人機研究院，長空科技集團，南京 210016)

1 引 言

尾坐式飛行器的由于其特殊的起降方式，使得其控制器設計與傳統(tǒng)固定翼飛機存在一定差異，控制器設計的挑戰(zhàn)主要是在于垂直起飛和水平飛行之間的過渡段控制器設計。因為飛行轉換過程中的大范圍非線性段的劇烈變動，單一的控制器難以做到有效控制。

在尾坐式垂直起降的過渡轉換控制策略上，可以將整個過程視作一個動態(tài)的非線性模型，通過分別使用總能量控制達到緩慢平穩(wěn)的跟蹤響應[2～4]。T-wing尾坐式飛行器針對其數(shù)學建模，以及其動態(tài)方程進行反饋線性化，設計線性控制器[5]。在以普通單旋翼固定翼飛行器為對象，研究并設計這種飛行器在垂直起飛和垂平過渡這兩個階段的數(shù)學模型和控制器設計，分別以LQR和H∞進行控制器的設計和驗證[6,7]。文獻8中，作者針對尾坐式飛行的垂平過渡過程，對其數(shù)學模型進行了二維平面的簡化，推導出了一個簡化的二維物理模型，并在此基礎上開發(fā)了一個基于對飛行器高度和位置變化進行跟蹤的過渡控制器[8]。文獻9中，使用基于梯度的算法來產(chǎn)生一個轉換過渡的最優(yōu)軌跡，將轉換飛行過渡過程建模為具有不同目標函數(shù)的最優(yōu)控制問題[9]。文獻10中，在控制器設計中使用了增益調度技術，針對飛行器轉換過渡飛行過程中的工作點進行線性化分析，針對每個點設計LQR線性反饋控制律增益調度策略[10]。文獻11中，針對LPV模型中包含的各個LTI對象使用變化的參數(shù)ρ來導出，針對LTI設計線性控制器，設計增益調度策略進行縱向過渡控制[11]。文獻9～10的仿真由于使用的是基于模型的LQ調節(jié)策略對跟蹤指令總是存在一定誤差。

本文主要針對尾坐式飛行器處于過渡過程中的縱向模型進行研究，結合增益調度方法和LQR、H∞控制器設計其轉換過渡過程的縱向控制器，同時討論和研究尾坐式飛行器轉換過程中的數(shù)學模型和轉換策略。在基于增益調度的LQR和H∞控制器進行仿真驗證。在更接近尾坐式飛行器物理特性的情況下進行控制器設計和驗證。通過LQR的控制器和H∞控制器的對比實驗，驗證控制器的有效性和控制效果。

2 增益調度LQR控制器設計

根據(jù)飛行器模型提取其縱向運動學模型，進行過渡控制器設計。以機體坐標系作為參考，飛行器的縱向運動方程組表示如公式(1)所示。

(1)

式中:T——發(fā)動機推力;D——飛行器所受阻力;L——飛行器升力;M——俯仰力矩。

針對整個過度轉換過程中大范圍非線性過程，采用了基于多線性系統(tǒng)的增益調度技術，其主要過程為：

(1)在各個離散點配平線性化，建立其LPV模型。

(2)在每個點上，計算線性反饋控制器K。

(3)增益調度每個線性控制器。

對飛行器的縱向運動過程配平線性化并用狀態(tài)空間矩陣表示，根據(jù)航跡傾斜角γ=ρ中，確定所有狀態(tài)的初始條件和狀態(tài)空間矩陣，可以創(chuàng)建一組狀態(tài)空間模型[A(ρ),B(ρ),C(ρ),D(ρ)]，在每一個γ=ρ的點中，為了穩(wěn)定控制系統(tǒng)，計算其控制器K(ρ)，以使系統(tǒng)在γ=ρ的所有取值范圍內(nèi)保持穩(wěn)定控制。根據(jù)系統(tǒng)γ的變化，對所有控制器進行內(nèi)插和排序，根據(jù)飛行器的航跡傾斜角對各個線性控制器進行選取。針對飛行器的縱向數(shù)學模型的控制問題，首先針對已有的的非線性數(shù)學模型利用小擾動原理將其線性化，可以得到飛行器在給定平衡點配平后LTI模型，根據(jù)配平得到的數(shù)學模型進行下一步的控制器設計工作。

線性二次型調節(jié)器控制技術(Linear Quadratic Reglator，簡稱LQR)問題是現(xiàn)代控制理論中的一個具有重要地位的問題。由于這種控制器的設計方法和控制性能指標易于處理和分析，在控制諸如小型飛行器，機器人，倒立擺等方面廣為應用。尤其因為這種控制器因為在固定翼無人機和多軸飛行器上的廣泛使用，同時還能達到良好的控制效果，使用LQR結合增益調度技術設計尾坐式飛行器的轉換過渡飛行縱向控制器。

(2)

式中：Q——半正定矩陣;R——正定矩陣;x——狀態(tài)變量;u——輸入變量；積分項xTQx代表系統(tǒng)的控制精度，這一項的積分值越小，代表控制的精度越高；積分項uTRu這一項代表系統(tǒng)所消耗的控制能

量。在具體的設計時，首先分析飛行器縱向模型的幾個參數(shù)，初步選取Q和R，通過計算得到反饋控制器K，驗證其在對應參數(shù)的非線性模型中是否符合設計要求，如果符合則記錄進對應參數(shù)的增益調度表1中，如果不符合則重新設計，直到完成選取的增益調度參數(shù)配平點的所有控制器設計完成后，將整個增益調度控制器代入飛行器縱向模型中進行轉換過程的仿真驗證。

針對飛行器的縱向數(shù)學模型的控制問題，首先針對已有的的非線性數(shù)學模型利用小擾動原理將其線性化，可以得到飛行器在給定平衡點配平后的小擾動線性化狀態(tài)空間矩陣。

表1 過渡飛行切換配平工作點Tab.1 Transition flight switching trimming work point

以航跡角γ=0°的時候為例，根據(jù)相關氣動參數(shù)帶入非線性模型中進行數(shù)值仿真，通過使用matlab中自帶的linmod()函數(shù)和trim()函數(shù)選取相應的配平點進行配平線性化操作，得到如下飛行器的縱向狀態(tài)空間矩陣用以控制器設計參考。

在LQR控制器設計中同樣使用matlab軟件中的LQR()函數(shù)進行控制器設計，選取合適的Q、R和

飛行器縱向狀態(tài)空間矩陣作為函數(shù)參數(shù)得到以下LQR控制器

同樣的方式針對選取配平點進行配平線性化和設計控制器，并將控制器記錄進增益調度表中，直到獲得完整轉換過程的增益調度控制器后完成設計。

3 增益調度H∞控制器設計

在此控制器的設計中，采用針對單通道回路進行控制器設計的方式，以達到更精確有效控制飛行航跡角的目的。針對已有的縱向模型進行解耦求的其航跡角通道的傳遞函數(shù)，進行H∞控制器的設計并驗證。

H∞控制器的設計過程，首先討論H∞標準設計問題，如圖為標準控制系統(tǒng)結構圖。

圖1 標準控制系統(tǒng)結構圖Fig.1 Standard control system structure

圖中的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的狀態(tài)空間矩陣表示如公式(3)。

(3)

式中:x——狀態(tài)向量；z——被控輸出信號；y——量測輸出信；u——控制信號；w——外部輸入信號；圖中的K(s)就是需要求取的控制器。表示同一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以用如下狀態(tài)空間矩陣描述，即為公式(4)。

(4)

H∞標準控制問題的描述：通過設計有理控制器K(s)，使得增廣被控對象G(s)穩(wěn)定，同時使得閉環(huán)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)<1。為了保證系統(tǒng)的魯棒性和系統(tǒng)性能，將問題轉化為混合靈敏度問題進行求解?？紤]如下所示反饋系統(tǒng)，根據(jù)混合靈敏度的設計思路，通過在頻率域內(nèi)選擇合適的加權函數(shù)W1(s)、W2(s)和W3(s)，令閉環(huán)系統(tǒng)達到控制要求。如圖2所示。

圖2 混合靈敏度問題結構圖Fig.2 Mixed sensitivity problem structure diagram

根據(jù)混合靈敏度問題定義的開環(huán)增廣控制對象為公式(5)。

(5)

在混合靈敏度問題中求解各個LTI模型對應的控制器K(s)，令閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。再將各個離散點的LTI模型對應的控制器基于增益調度策略進行線性內(nèi)插和排列，構成航跡角-升降舵通道的SISO控制器，以PI控制器作為空速通道控制器，構建過渡轉換飛行控制，代入縱向模型中進行仿真驗證。

此處仍舊以航跡角γ=0°的時候為例，將獲得的縱向狀態(tài)空間模型進行解耦，提取出其中的航跡角-升降舵通道，并以傳遞函數(shù)的形式表達如下

H∞控制器設計中使用了matlab軟件中的hinfsyn()函數(shù)，選取加權函數(shù)W1(s)、W2(s)和W3(s)，對該通道的傳遞函數(shù)模型進行計算得到如下的H∞控制器

Ck=[-353558-160816178-346050397-28494330761868547728]

Dk=[0]

之后根據(jù)增益調度調度規(guī)則在轉換過程的各個配平點不斷重復此過程直到完成增益調度控制器的設計。

4 仿真分析

仿真數(shù)據(jù)從航跡角γ、俯仰角δ、俯仰角速度q、攻角α和空速v五個方面進行分析，階躍信號下垂平過度驗證仿真的結果如圖3所示。

圖3c 階躍信號下俯仰角速度變化圖 圖3d 階躍信號下攻角變化圖Fig.3c Pitch angular velocity of step signal Fig.3d Attack angle of step signal

圖3e 階躍信號下空速變化圖Fig.3e Space velocity of step signal

由圖中結果可以看出，在以分段式的階躍信號作為過渡指令進行仿真時，增益調度H∞控制器的對指令信號具有更快的動態(tài)響應性能，盡管存在一定超調量，但仍在可以接受的范圍內(nèi)，由此帶來的是俯仰角，攻角，俯仰角速度的轉換過程中會產(chǎn)生更劇烈的變化；增益調度LQR控制的動態(tài)響應較增益調度的H∞控制器穩(wěn)定更慢，但是轉換過程中的各項數(shù)據(jù)更為緩慢平衡，劇烈變化較少。在斜坡信號下的平垂過度仿真結果如圖4所示。

在使用斜坡信號進行平垂過渡的仿真中，增益調度H∞控制器能夠做到基本沒有誤差地跟蹤航跡傾斜角指令，而增益調度LQR卻會在轉換過程中一直存在一個誤差，直到垂直狀態(tài)一會之后才消除；而在俯仰角，俯仰角速度，攻角這幾項數(shù)據(jù)中，體現(xiàn)出的仍舊是增益調度H∞控制具有的更強動態(tài)特性。

圖4a 斜坡信號下航跡角變化圖 圖4b 斜坡信號下俯仰角角變化圖 Fig.4a Track angle of ramp signal Fig.4b Pitch angle of ramp sign

圖4c 斜坡信號下俯仰角速度變化圖 圖4d 斜坡信號下攻角變化圖Fig.4c Pitch signal of ramp signal Fig.4d Angle of attack of ramp signal

圖4e 斜坡信號下空速變化圖Fig.4e Airspeed of ramp signal

5 結束語

本文針對尾坐式無人飛行器的力和力矩產(chǎn)生機制進行分析，通過同時考慮空速和螺旋槳尾流同時作用產(chǎn)生的力矩建立尾坐式飛行器的數(shù)學模型，并在此基礎上，解耦出其縱向動力學模型。并根據(jù)縱向動力學根據(jù)小擾動線性化原理，在選取的配平點上計算出LTI模型和LPV模型。通過已有的線性化模型，建立增益調度控制策略，在LQR控制器和H∞控制器的基礎上建立尾坐式飛行器的縱向過渡轉換控制器，并進行仿真驗證。

仿真結果表明，基于增益調度控制策略的兩種過渡轉換控制器都能得到穩(wěn)定的轉換過渡效果，但是增益調度的LQR控制器是直接基于穩(wěn)態(tài)問題的設計方式進行設計，沒有根據(jù)其跟蹤問題進行設計，在斜坡信號進行跟蹤時會有跟蹤誤差存在，但仍舊能夠穩(wěn)定完成過渡轉換。而使用SISO的增益調度H∞控制器進行轉換就不存在更懂誤差，且具有更好的動態(tài)特性和穩(wěn)定性，與LQR比起來具有更好的控制效果。

雖然該方法的有效性得到驗證，但仍然存在某些問題。 該方法可以得到一個穩(wěn)定有效的過渡控制器，由于本文只使用數(shù)值模擬仿真，所以在應用時仍舊有必要對實際飛行器進行飛行測試。