基于Sobol法的車(chē)身抬高量的全局敏感性分析

2

(1.山東理工大學(xué)交通與車(chē)輛工程學(xué)院， 山東淄博255049；2.山東管理學(xué)院機(jī)電學(xué)院， 山東濟(jì)南250357)

0 引言

在汽車(chē)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，不僅需要考慮轉(zhuǎn)向輕便性，還要考慮轉(zhuǎn)向回正性能。隨著助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的普及，汽車(chē)的轉(zhuǎn)向輕便性得以輕松地實(shí)現(xiàn)，但是汽車(chē)的轉(zhuǎn)向回正性能仍然需要通過(guò)前輪定位參數(shù)和主銷(xiāo)位置參數(shù)的合理設(shè)計(jì)來(lái)保證。文獻(xiàn)[1]中提到現(xiàn)實(shí)中的部分車(chē)輛存在車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)與主銷(xiāo)軸線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)的情況，該類(lèi)型車(chē)輛主銷(xiāo)位置最終產(chǎn)生的后傾拖距仍然保持與同類(lèi)汽車(chē)相近的數(shù)值，因而也保持與一般汽車(chē)大致相同的力反饋和角反饋，但其中并未就這一情況是否對(duì)車(chē)身抬高量有影響進(jìn)行分析。絕大部分文獻(xiàn)在計(jì)算重力引起的回正力矩時(shí)都是以車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)與主銷(xiāo)軸線(xiàn)存在交點(diǎn)為前提[2-3]，并未考慮車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)與主銷(xiāo)軸線(xiàn)不存在交點(diǎn)對(duì)回正力矩的影響，而在相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)對(duì)車(chē)身抬高量的全局敏感性分析更是鮮有研究。本文引用ISO 8855:2011標(biāo)準(zhǔn)中定義的車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距(castor offset at wheel centre)來(lái)描述車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)與主銷(xiāo)軸線(xiàn)的空間位置關(guān)系，然后建立車(chē)輪運(yùn)動(dòng)模型并進(jìn)行求解，最后應(yīng)用改進(jìn)的Sobol法對(duì)車(chē)身抬高量進(jìn)行全局敏感性分析，旨在分析車(chē)輪定位參數(shù)和車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距對(duì)車(chē)身抬高量的影響，為汽車(chē)的主銷(xiāo)位置設(shè)計(jì)提供參考。

圖1 車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距示意圖Fig.1 Schematic diagram of castor offset at wheel centre

1 車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距的定義

根據(jù)ISO 8855: 2011標(biāo)準(zhǔn)的定義，車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距是指車(chē)輪中心和主銷(xiāo)軸線(xiàn)在輪胎坐標(biāo)系xoz平面的投影于x軸方向的距離，用qτ表示，如圖1所示。如果主銷(xiāo)軸線(xiàn)的投影相對(duì)于車(chē)身在車(chē)輪中心之前，則車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距為正。

2 模型建立

2.1 假設(shè)條件

本文分析采用以下一般假設(shè)[1-4]：①輪胎半徑不變；②輪胎在接地面的位置以輪胎中心平面與地面的交線(xiàn)與車(chē)輪旋轉(zhuǎn)中心線(xiàn)在地面投影的交點(diǎn)(即輪胎接地中心)來(lái)表示，不考慮輪胎和地面的面接觸，也不考慮側(cè)偏引起的輪胎接地中心的偏移；③前輪主銷(xiāo)位置固定不動(dòng)。

2.2 右前輪與主銷(xiāo)相對(duì)位置物理模型的建立

為表示右前輪與主銷(xiāo)的相對(duì)位置關(guān)系，建立如圖2的笛卡爾坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，x、y、z軸方向與車(chē)輛坐標(biāo)系一致。O′表示主銷(xiāo)延長(zhǎng)線(xiàn)與地面的交點(diǎn)，主銷(xiāo)在xoz平面的投影為O′F′，OP表示qτ=0時(shí)的主銷(xiāo)位置，O點(diǎn)表示qτ=0且其他主銷(xiāo)位置參數(shù)不變時(shí)主銷(xiāo)延長(zhǎng)線(xiàn)與地面的交點(diǎn)，OP在xoz平面的投影為OF。A1、A2、A3分別表示右前輪前束角和外傾角為零時(shí)車(chē)輪中心點(diǎn)、右前輪只存在外傾角時(shí)的車(chē)輪中心點(diǎn)以及右前輪同時(shí)存在前束角和外傾角時(shí)的車(chē)輪中心點(diǎn)，A4表示右前輪圍繞主銷(xiāo)旋轉(zhuǎn)一定角度后A3點(diǎn)移動(dòng)到的位置。B1表示車(chē)輪與地面的輪胎接地中心點(diǎn)，B2表示右前輪圍繞主銷(xiāo)旋轉(zhuǎn)一定角度后B1點(diǎn)移動(dòng)到的位置。γ、β、σ、τ分別表示右前輪的外傾角、前束角、主銷(xiāo)內(nèi)傾角和主銷(xiāo)后傾角。A1C1表示前束角與外傾角為零時(shí)的車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)，A3R表示前束角與外傾角不為零時(shí)的車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)。OP與A3R相交于點(diǎn)R，OP與A1C1相交于點(diǎn)Q，D點(diǎn)表示OF與A1C1的交點(diǎn)，OF與O′F′在x軸方向的距離用DD1表示。由于前輪前束角一般很小，可令DD1近似等于qτ以簡(jiǎn)化模型。

接下來(lái)根據(jù)雙橫臂懸架的轉(zhuǎn)向節(jié)參數(shù)求車(chē)輪中心和輪胎接地中心的坐標(biāo)。假設(shè)已知車(chē)輪半徑r、前輪軸擺臂lb(lb表示主銷(xiāo)軸線(xiàn)與車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)在汽車(chē)坐標(biāo)系yoz平面上投影的交點(diǎn)至車(chē)輪中心平面的距離)。雙橫臂懸架轉(zhuǎn)向節(jié)如圖3所示。

圖2 右前輪與主銷(xiāo)相對(duì)位置關(guān)系圖
Fig.2 Diagram of the relative position of theright front wheel and the kingpin

圖3 雙橫臂懸架轉(zhuǎn)向節(jié)示意圖
Fig.3 Sketch of knuckle for doublewishbone suspension

圖4 車(chē)輪中心與主銷(xiāo)相對(duì)位置關(guān)系圖Fig.4 Diagram of the relative position of the wheel center and the kingpin

設(shè)A3在圖2坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xA3,yA3,zA3)，以Q點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖4的笛卡爾坐標(biāo)系。在考慮右前輪的外傾角和前束角后，假設(shè)車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)與主銷(xiāo)軸線(xiàn)存在交點(diǎn)R，R應(yīng)位于主銷(xiāo)軸線(xiàn)上Q點(diǎn)上方的某個(gè)位置。R′為R點(diǎn)在過(guò)A3點(diǎn)水平面的投影，R″為R′在通過(guò)A3點(diǎn)且與y軸平行的直線(xiàn)上的投影。A3′點(diǎn)為過(guò)A3點(diǎn)且與RR′平行的直線(xiàn)上一點(diǎn)，位于A3點(diǎn)上方，滿(mǎn)足RR′=A3A3′，點(diǎn)A3″為點(diǎn)A3在過(guò)Q點(diǎn)水平面的投影。A3R表示前輪軸擺臂。

在A3A3′RR′平面，有：

RR′=lbsinγ，

(1)

R″R′=lbcosγsinβ。

(2)

設(shè)在圖2坐標(biāo)系中的R點(diǎn)坐標(biāo)為(xR,yR,zR)，有：

zA3=rcosγ，

(3)

A3A3″=r(1-cosγ)，

(4)

zR=RR′-A3A3″+r=lbsinγ-r(1-cosγ)+r，

(5)

R″A3=lbcosγcosβ，

(6)

yR=zRtanσ，

(7)

xR=-zRtanτ，

(8)

yA3=-R″A3+zRtanσ，

(9)

xA3=-rtanτ+rsinγsinβ，

(10)

即A3點(diǎn)坐標(biāo)為(-rtanτ+rsinγsinβ，-lbcosγcosβ+(lbsinγ+rcosγ)tanσ，rcosγ)。

設(shè)B1點(diǎn)坐標(biāo)為(xB1,yB1,0)，由圖2的幾何關(guān)系可知：

yB1=rsinγcosβ+yA3=rsinγcosβ-lbcosγcosβ+[lbsinγ-r(1-cosγ)+r]tanσ，

(11)

xB1=-rtanτ，

(12)

即B1坐標(biāo)為(-rtanτ,rsinγcosβ-lbcosγcosβ+(lbsinγ+rcosγ)tanσ,0)。

2.3 車(chē)身抬高量數(shù)學(xué)模型的建立

A3點(diǎn)坐標(biāo)由前文已知，A4點(diǎn)坐標(biāo)可通過(guò)對(duì)A3點(diǎn)進(jìn)行圖形變換[5]得到。圖形變換的基本思路：將A3點(diǎn)連同主銷(xiāo)一同向x軸負(fù)方向平移距離qτ，使得主銷(xiāo)軸線(xiàn)與車(chē)輪回轉(zhuǎn)中心線(xiàn)相交，再將其繞x軸旋轉(zhuǎn)σ度角，使得主銷(xiāo)軸線(xiàn)位于xoz平面，接著將其繞y軸旋轉(zhuǎn)τ度角，使得主銷(xiāo)軸線(xiàn)與z軸重合，然后將A3繞z軸旋轉(zhuǎn)θ度角，最后應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換和逆平移變換將主銷(xiāo)軸線(xiàn)變換到原來(lái)位置，旋轉(zhuǎn)的角度正負(fù)參考右手法則。

變換矩陣為:

T=T1·T2·T3·T4·T5·T6·T7

(13)

設(shè)A4點(diǎn)坐標(biāo)為(xA4,yA4,zA4)，用四維齊次坐標(biāo)PA4=[xA4yA4zA41]表示三維空間的A4點(diǎn)，用四維齊次坐標(biāo)PA3=[xA3yA3zA31]表示三維空間的A3點(diǎn)，由圖形變換法可知：

PA4=PA3·T，

(14)

即可得A4點(diǎn)坐標(biāo)為(xA4,yA4,zA4)。由于采用矩陣變換的方法，模型得到的解析解較為冗長(zhǎng)，本文暫不列出。

A3點(diǎn)與A4點(diǎn)的z軸坐標(biāo)之差即為車(chē)輪中心抬高量h1，即：

h1=zA4-rcosγ。

(15)

由相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系可知右前輪總的抬高量h為：

h=-h1。

(16)

假設(shè)車(chē)輪半徑r=0.3 m，外傾角γ=1 °，前束角β=0.3 °，前輪軸擺臂lb=0.1 m，主銷(xiāo)內(nèi)傾角σ=9.5 °，主銷(xiāo)后傾角τ=4 °，代入以上各式可得出車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距對(duì)車(chē)身抬高量的影響，結(jié)果如圖5所示。

圖5 車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距對(duì)車(chē)身抬高量的影響Fig.5 Influence of castor offset at wheel centre on the body lift

由圖5可知車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距qτ對(duì)車(chē)身抬高量大小影響明顯，如在qτ=0 m時(shí)，車(chē)身抬高量最大為33.75 mm，但是在qτ=-0.1 m時(shí)，車(chē)身抬高量最大可以達(dá)到47.97 mm。不僅如此，qτ的變化甚至影響車(chē)身抬高量的變化趨勢(shì)，如在qτ=0 m，車(chē)輪轉(zhuǎn)角在0 °～50 °范圍內(nèi)時(shí)，車(chē)身抬高量隨著右輪轉(zhuǎn)角的增加先減小后增大，但是在qτ=-0.1 m時(shí)，同樣的轉(zhuǎn)角范圍，車(chē)身抬高量隨著車(chē)輛轉(zhuǎn)角的增加而一直增大。因?yàn)檐?chē)身抬高量與回正力矩緊密相關(guān)，所以qτ也是一個(gè)影響車(chē)輛轉(zhuǎn)向回正性能和轉(zhuǎn)向輕便性的重要參數(shù)。

3 車(chē)身抬高量的全局敏感性分析

為分析多個(gè)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響程度，對(duì)車(chē)身抬高量進(jìn)行全局敏感性分析?？紤]模型的非線(xiàn)性特點(diǎn)，采用基于方差的敏感性分析方法，通常稱(chēng)為Sobol方法。Sobol法的核心思想是將模型輸出的總方差分解為每個(gè)輸入?yún)?shù)的方差和各輸入?yún)?shù)相互作用的方差之和，然后通過(guò)輸入?yún)?shù)對(duì)輸出總方差的貢獻(xiàn)比例進(jìn)行敏感性分級(jí)。任意d個(gè)輸入變量的數(shù)學(xué)模型可以寫(xiě)作為：

Y=f(X)，

(17)

其中，X是關(guān)于輸入?yún)?shù){X1,X2,X3,…,Xd}的向量。

Sobol法假設(shè)輸入?yún)?shù)在單元超立方體內(nèi)是獨(dú)立均勻分布的，即Xi∈[0,1]，i=1,2,3,…,d。但是任何輸入?yún)?shù)的定義區(qū)間都可以轉(zhuǎn)換到[0,1]上，這一般不會(huì)造成誤差損失。如果輸入?yún)?shù)Xi的定義區(qū)間為[XL，XU]，則有：

Xi′=Xi·(XU-XL)+XL，

(18)

Xi′表示Xi映射到定義區(qū)間[XL,XU]上的一點(diǎn)。

設(shè)置采樣樣本數(shù)為n(500或更多)[6]，樣本數(shù)量越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。輸入變量數(shù)目為d(本文d=6)。Sobol法的一般處理流程[7]如下：

①生成一個(gè)n×2d的矩陣J。這里n個(gè)樣本的采樣應(yīng)該根據(jù)輸入?yún)?shù)的概率分布來(lái)完成。樣本采樣方法一般都是基于蒙特卡洛采樣以及一系列基于蒙特卡洛采樣的變種，這里采用Sobol’ quasi-random sequence來(lái)生成均勻分布的(準(zhǔn))隨機(jī)數(shù)[6]，借助Matlab中Sobolset函數(shù)實(shí)現(xiàn)，即：

(19)

②將矩陣J的前d列作為矩陣A，剩余的后d列作為矩陣B，這樣給出d維單元超立方體的n個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)獨(dú)立樣本矩陣，即：

(20)

(21)

再構(gòu)建n×d的矩陣ABi，使得ABi的第i列等同于矩陣B的第i列，其余列與矩陣A保持一致，即：

(22)

其中，i=1，2，3，…，d。

至此構(gòu)建了A、B、ABi共(d+2)個(gè)矩陣，得到(d+2)×n組[0,1]區(qū)間上的輸入?yún)?shù)樣本。

(23)

(24)

總效應(yīng)指數(shù)STi[9-10]為：

(25)

其中，對(duì)于Vxi(Ex～i(Y|Xi))，有[6]：

(26)

對(duì)于Ex～i(Vxi(Y|X～i))，有[11]：

(27)

V(Y)=V(f(A′B′))，

(28)

(29)

式(26)～(28)中，j=1,2,3,…,n；f(*)j表示取f(*)的第j行；X～i表示除了輸入?yún)?shù)Xi外的所有輸入?yún)?shù)；V(*)表示*的方差；Ex～i(*)表示包含所有輸入?yún)?shù)但不包括Xi的*的期望值(本文采用均勻分布，也即*的平均值)，同理，Exi(*)表示只包含輸入?yún)?shù)Xi的*的期望期；Y|Xi表示輸入?yún)?shù)Xi固定不變但接受X～i樣本變化的輸出參數(shù)Y，同理，Y|X～i表示除了輸入?yún)?shù)Xi外的所有輸入?yún)?shù)固定不變但接受Xi樣本變化的輸出參數(shù)Y。

在MATLAB中建立并運(yùn)行上述數(shù)學(xué)模型，取樣本數(shù)n=104，得到各輸入?yún)?shù)對(duì)車(chē)輪抬高量的敏感性指標(biāo)，結(jié)果如表1所示。

由表1可知，對(duì)車(chē)身抬高量影響較為明顯的結(jié)構(gòu)因素依次是車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距、主銷(xiāo)內(nèi)傾角、主銷(xiāo)后傾角，而其他因素對(duì)車(chē)身抬高量的貢獻(xiàn)度則相對(duì)較低。雖然車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距這一常被忽略掉的因素單獨(dú)對(duì)車(chē)身抬高量的影響較小，一階影響指數(shù)Si只有-0.001 7，但它與其他因素相互作用后對(duì)車(chē)身抬高量影響明顯，總效應(yīng)指數(shù)STi達(dá)到0.737 3，超過(guò)了主銷(xiāo)內(nèi)傾角和主銷(xiāo)后傾角的總效應(yīng)指數(shù)之和。因此，有時(shí)發(fā)現(xiàn)車(chē)輪定位參數(shù)匹配沒(méi)有太大問(wèn)題，但還是出現(xiàn)低速不回正或者低速回正過(guò)多現(xiàn)象，可能就因?yàn)闆](méi)有考慮車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距的影響。

表1 各變量對(duì)車(chē)身抬高量的敏感性指標(biāo)Tab.1 Sensitive index of each variable on the body lift

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于圖形變換法建立右前輪與主銷(xiāo)相對(duì)位置的物理模型和車(chē)身抬高量的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)理論分析得出車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距與車(chē)身抬高量的關(guān)系，結(jié)果顯示，車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距不僅影響車(chē)身抬高量的大小，還影響著車(chē)身抬高量的變化趨勢(shì)。應(yīng)用改進(jìn)的Sobol法對(duì)車(chē)身抬高量進(jìn)行了全局敏感性分析，根據(jù)敏感性指標(biāo)得出車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距和主銷(xiāo)內(nèi)傾角、主銷(xiāo)后傾角是對(duì)車(chē)身抬高量影響較大的3個(gè)因素。就所研究對(duì)象而言，車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距對(duì)車(chē)身抬高量的貢獻(xiàn)度甚至超過(guò)主銷(xiāo)內(nèi)傾角和主銷(xiāo)后傾角對(duì)車(chē)身抬高量的貢獻(xiàn)度，說(shuō)明車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距是一個(gè)對(duì)車(chē)輛轉(zhuǎn)向回正性能和轉(zhuǎn)向輕便性影響較為明顯的參數(shù)。

本文在計(jì)算車(chē)身抬高量時(shí)采用一般性假設(shè)，將車(chē)輪視為剛性體，并未考慮其彈性變形，接下來(lái)的工作可結(jié)合輪胎模型進(jìn)一步完善本文的車(chē)身抬高量模型。另外，本文在建立模型時(shí)假設(shè)車(chē)輪中心主銷(xiāo)偏移距不變，未來(lái)可將其與車(chē)輪中心主銷(xiāo)拖距結(jié)合進(jìn)行共同分析，以進(jìn)一步研究?jī)烧邔?duì)回正力矩和操縱穩(wěn)定性的影響。