空間目標的軌跡和姿態(tài)數(shù)據(jù)生成

陳爾康, 高長生, 荊武興

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

彈道導彈在空間中[1]會釋放出包括彈頭、誘餌、碎片在內(nèi)的多種空間目標，這些目標形成了目標群。在攻防對抗系統(tǒng)仿真中不論是對目標群進行跟蹤、識別還是攔截，都需要其較為精確的軌跡[2]和姿態(tài)數(shù)據(jù)，因此對空間目標的軌跡和姿態(tài)數(shù)據(jù)生成方法進行研究是非常必要的。

在大多數(shù)相關研究中，目標的軌跡數(shù)據(jù)一般根據(jù)橢圓彈道原理計算得到[3-4]。但這類方法忽略了地球扁率和自轉(zhuǎn)的影響，生成的軌跡數(shù)據(jù)不夠精確。與真實場景類似，目標的彈道由發(fā)射諸元確定，因此軌跡數(shù)據(jù)生成問題實際上是發(fā)射諸元的計算問題[5-6]。發(fā)射諸元的計算方法主要有彈道積分、對射表擬合、解析算法[7-8]和軌跡優(yōu)化[9]等，但這些方法在計算諸元之前需要進行大量的計算作為準備。除此之外，目標群還還包括分導彈頭和誘餌。這類目標在中段由母艙釋放并作被動飛行[10]，因此只需計算出釋放后的初始狀態(tài)即可得到軌跡數(shù)據(jù)。誘餌的初始狀態(tài)可根據(jù)其具體類型設定釋放相對速度矢量后計算得到。而分導彈頭的初始狀態(tài)則需滿足命中指定目標點的要求，需按照一定的分導策略進行計算[11]。文獻[12]對若干種不同分導策略進行了研究并得出了最優(yōu)分導策略。文獻[13]則應用極小值原理推導了分導速度增量的近似解析解，但無法得到能夠精確命中設定目標的軌跡數(shù)據(jù)。隨著誘餌技術的不斷發(fā)展，單純的軌跡信息難以識別出真彈頭，必須考慮目標運動細節(jié)信息[14]。文獻[15-16]將目標除質(zhì)心平動以外的微小運動定義為微動并分析了其特點，建立了振動、旋轉(zhuǎn)、翻滾和錐旋四類典型微動的模型，并發(fā)展成為中段目標識別的重要手段[17]。但相關研究只關注雷達信號的結果，缺少對目標姿態(tài)數(shù)據(jù)生成方法的研究。本文從目標數(shù)據(jù)生成的角度出發(fā)，根據(jù)彈道導彈的動力學特性和飛行程序設計了4種類型的基準彈道并給出了對應的諸元計算方法。并在此基礎之上，提出了一種分導彈頭最優(yōu)速度增量的實時計算方法。最后針對目標的微動特性，設計了姿態(tài)數(shù)據(jù)的快速生成算法。

1 數(shù)學模型

1.1 質(zhì)心運動模型

考慮地球扁率和自轉(zhuǎn)，在發(fā)射系內(nèi)建立彈道導彈質(zhì)心的運動模型[18]如下

(1)

式中,ρ為導彈相對發(fā)射系的位置;v為導彈相對發(fā)射系的速度;P為推力;R為氣動力;g為引力加速度;ae為牽連加速度;ak為哥氏加速度。

氣動力在速度坐標系中分解為如下形式

(2)

引力加速度沿地心矢徑r方向和地球自轉(zhuǎn)角速度ωe矢量方向分解如下

g=grr+gωeωe

(3)

式中，gr和gωe的表達式分別為

(4)

式中，μ為地球的引力常數(shù);r為地心距;ae為地球赤道平均半徑;J2為帶諧系數(shù);φ為地心緯度。

1.2 主動段飛行程序

彈道導彈的軌跡主要由其主動段決定,由于彈道導彈的軌跡近似位于射面以內(nèi),因此其飛行程序主要由其俯仰角變化規(guī)律決定。工程上將其主動段飛行程序分為3段[18]:

第1段為垂直上升段,導彈俯仰角保持90°不變。第2段為轉(zhuǎn)彎段,該段內(nèi)攻角變化規(guī)律如下:

(5)

式中，αm為攻角絕對值的最大值,稱為限制攻角。

第3段為瞄準段，此段中攻角保持固定值αx不變,稱為瞄準角。

2 基準彈道設計

2.1 彈道類型分析

在沒有瞄準段能量管理,即瞄準角為零的情況下,導彈的射程隨限制攻角的增大呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢。因此某個中間射程會對應2個限制攻角值,但這兩個值所對應的彈道高度是不一樣的,一高一低,分別對應高彈道和低彈道。

而在瞄準角不為零時,彈道高度下壓,起到了調(diào)整彈道高度的作用,稱為固定高度彈道。此外,同一個射程對應著多個限制攻角和瞄準角的組合,其中存在導彈關機點機械能最小的組合,該組合對應的彈道即為最小能量彈道。

2.2 發(fā)射諸元計算方法

考慮到彈道導彈主要在射面內(nèi)飛行且其射程隨限制攻角先增大后減小的特點,采用大步長遍歷粗搜索與精確迭代相結合的方法計算發(fā)射諸元,如圖1所示。首先通過球面三角算出發(fā)射方位角的粗搜索值,然后進行限制攻角和發(fā)射方位角的遍歷,最后通過精確迭代計算出發(fā)射諸元。

圖1 發(fā)射諸元計算流程

3 分導彈道設計

3.1 理論分析

為便于分析和仿真計算,本文采用脈沖變軌的方式并忽略再入段。這樣分導彈道的設計就簡化為經(jīng)典Lambert問題[19]。

由分導點掃過地心角θ至目標點的時間ΔT可由拉格朗日轉(zhuǎn)移時間方程表示[20]

(6)

式中,μ為引力常數(shù);a為軌道半長軸;α和β為拉格朗日參數(shù),cosα=1-s/a,cosβ=1-(s-c)/a,s=(rk+rb+c)/2,c為分導點與目標點之間的距離。

因此飛行時間ΔT與半長軸a之間的關系如圖2所示。

圖2 ΔT與a的關系

在ΔT<ΔTm時,ΔT隨a增大而單調(diào)遞減;在ΔT>ΔTm時,ΔT隨a增大而單調(diào)遞增。

而軌道偏心率為[19]

(7)

記分導點處基準彈道的速度為vc1,分導彈道的速度為v1,則機動速度增量為

(8)

式中

因此增速ΔV與半長軸a之間的關系如圖3所示。

圖3 ΔV與a的關系

由圖2和圖3可知:在ΔT<ΔTm時,ΔV隨a增大先減小后增大;在ΔT>ΔTm時,ΔV隨a增大而單調(diào)遞增。因此存在飛行時間ΔTvmin使得增速ΔV最小

ΔV(ΔTvmin)=minΔV(ΔT)

(9)

3.2 增速計算方法

根據(jù)3.1節(jié)的分析結果,本文設計了一種搜索最小增速的雙層迭代策略。

對某一固定飛行時間,構造如下指標函數(shù)

J(X)=(GT(X)TG(X)

(10)

式中,G(X)為殘差,取為

G(ΔVx,ΔVy,ΔVz)=[rbx-rfx,rby-rfy,rbz-rfz]T

(11)

式中，[rbx,rby,rbz]T為b點的地心矢徑,[rfx,rfy,rfz]T為分導彈頭由分導點K飛行ΔT時間后的地心矢徑。

采用如下迭代格式使(12)式中指標最小

Xk+1=Xk-A-1B

(12)

式中

(13)

經(jīng)過迭代后可得增速為

(14)

對于外層迭代,在增速最小時有

ΔV′(ΔT)=0

(15)

運用牛頓迭代法有迭代公式

(16)

如此反復迭代即可計算得到最小增速ΔVmin及其對應的飛行時間ΔTvmin。

4 微動姿態(tài)數(shù)據(jù)生成

4.1 理論分析

由于中段目標一般為自旋穩(wěn)定,因此其微動特征主要是其受干擾力矩作用產(chǎn)生的進動。在釋放過程中,中段目標會受到?jīng)_量Q的作用[21],可將其按橫向和縱向分解為

(17)

式中,η為沖量Q與目標對稱軸的夾角。

進動周期和進動角為

(18)

式中,It為目標橫向轉(zhuǎn)動慣量,Is為目標縱向轉(zhuǎn)動慣量。

由(17)式和(18)式可知,雖然進動特性涉及參數(shù)很多,但主要特征為進動周期和進動角。因此數(shù)據(jù)生成算法應根據(jù)這2個量生成目標的姿態(tài)數(shù)據(jù)。

4.2 姿態(tài)數(shù)據(jù)計算方法

在仿真中目標姿態(tài)一般以相對于地球固聯(lián)坐標系姿態(tài)角的形式給出,具體如圖4所示。其中o-XEYEZE為地球固聯(lián)坐標系,o-x1y1z1為目標的彈體坐標系,ψe為偏航角,φe為俯仰角。而滾轉(zhuǎn)角γe為oz1軸與ox1軸、oZE軸所確定平面的夾角。由于本文考慮的目標均做自旋運動,因此根據(jù)自旋角速度計算滾轉(zhuǎn)角即可。

圖4 姿態(tài)示意圖

記沿ox1、oy1軸的單位向量為i,j,經(jīng)坐標轉(zhuǎn)換后在地固系的坐標分別為[ixe,iye,ize]T、[jxe,jye,jze]T。

則俯仰角、偏航角為

(19)

為便于計算建立角動量慣性坐標系,以角動量方向(即進動軸方向)為X軸,任意選擇與X軸構成右手坐標系的Y軸和Z軸。與體系間的姿態(tài)角分別為進動角θ、章動角ψ和自轉(zhuǎn)角φ。體系到角動量慣性系的坐標變換矩陣為

(20)

角動量慣性系到釋放瞬時彈體系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣為

(21)

釋放瞬時彈體系到地固系的轉(zhuǎn)換陣為

(22)

釋放瞬時地固系到地固系的轉(zhuǎn)換關系只與自轉(zhuǎn)角λ=ωeΔT有關

(23)

由以上坐標變化關系可計算彈體系到地固系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣

Ce1=CefCfaCapCp1

(24)

至此已求出了i,j在地固系中的坐標,代入(19)式即可計算出姿態(tài)角。

5 仿真分析

5.1 基準彈道設計

對基準彈道設計方法進行仿真驗證,以某導彈為仿真對象,發(fā)射點設為(155.462°W,19.653°N),目標點設為(116.395°E,39.922°N),初步計算目標射程為8 481.88 km。本文提出方法(方法1)的彈道設計結果分別如表1和圖5所示。為便于比較,文獻[8]中方法(方法2)的彈道設計結果如表2所示。

表1 基準彈道設計結果(方法1)

表2 基準彈道設計結果(方法2)

圖5 基準彈道

由表1和表2可知，2種方法計算出的諸元非常相近，說明本文提出的方法能夠給出足夠準確的彈道數(shù)據(jù)。而在計算時間上，雖然方法2的迭代時間小于方法1的總耗時，但方法2事先需要大量時間計算彈道進行擬合，在處理不同的多個發(fā)射點時計算耗時會進一步增大，因此方法1在應用靈活性和計算耗時上優(yōu)于方法2。由圖5，4種類型的彈道均以較高的精度命中目標點，且由于彈道類型不同其彈道高度也不同，其中固定高度彈道和最小能量彈道的彈道高度位于高彈道和低彈道之間。

5.2 分導彈道設計

以5.1節(jié)中的高彈道為基準彈道進行分導彈道設計的仿真。設置分導時刻為發(fā)射后350 s，分導目標點為(117.216°E,39.128°N)，設計結果如圖6所示。其中橫程偏差為0.8 m，縱程偏差為8.36 m，計算耗時為0.894 s。利用最優(yōu)分導方法計算分導彈道，其橫程偏差為35.4 m，縱程偏差為247.6 m，計算耗時為0.115 s。雖然該方法計算耗時更短，但由于該方法未使用精確模型迭代計算，因此精度不如本文提出的方法，難以用于系統(tǒng)仿真中。

圖6 分導彈道

可以看到分導彈道以較小偏差命中分導目標點，且計算耗時較少，能夠滿足仿真需求。

5.3 姿態(tài)數(shù)據(jù)生成

同樣以5.1節(jié)中的高彈道為基準彈道進行誘餌姿態(tài)數(shù)據(jù)生成的仿真。設置進動角為4°，自旋周期為0.1 s，錐旋周期為0.5 s，釋放時間為發(fā)射后400 s。分別使用本文方法(方法1)和傳統(tǒng)的姿態(tài)動力學方程積分方法(方法2)計算姿態(tài)數(shù)據(jù)，仿真結果如圖7和圖8所示。

圖7 偏航角

圖8 俯仰角

可以看到本文提出的方法與直接積分動力學方程的計算結果一致，但本文方法無需進行積分計算，在計算時間上有優(yōu)勢，適于系統(tǒng)仿真使用。

6 結 論

以系統(tǒng)仿真中的目標數(shù)據(jù)生成為研究對象，考慮仿真的特點，對各類目標的特性進行分析并建立了相應的模型，給出仿真數(shù)據(jù)的生成方法：

1)根據(jù)導彈飛行程序特點和彈道特性將基準彈道分為4類，并設計了相應的彈道諸元計算方法。該方法將諸元計算分為粗搜索和精搜索兩部分，無需事先準備工作即可快速準確地生成基準彈道數(shù)據(jù)。仿真結果表明，該方法能夠生成準確的軌跡數(shù)據(jù)；雖然總計算耗時大于傳統(tǒng)方法，但傳統(tǒng)方法在迭代前的準備工作需要耗費大量時間，而本文提出的方法并不需要任何準備工作，因此該方法能夠更好地滿足系統(tǒng)仿真的要求。

2)將分導彈道的設計問題轉(zhuǎn)化為Lambert問題，分析了飛行時間與分導增速的關系?；诖岁P系，提出了一種最小增速分導彈道規(guī)劃方法。這一兩層迭代算法能夠計算處分導彈頭的最小增速。利用這一增速即可計算出分導彈頭的彈道數(shù)據(jù)。與傳統(tǒng)方法相比，該方法雖然計算耗時小幅增加，但精度明顯提高，更適合系統(tǒng)仿真使用。

3)分析了中段目標的姿態(tài)微動特性，設計了一種通過坐標轉(zhuǎn)換矩陣計算姿態(tài)數(shù)據(jù)的方法，能夠快速準確的生成包含目標微動特性的姿態(tài)運動數(shù)據(jù)。仿真結果表明，該方法計算得到的姿態(tài)數(shù)據(jù)與動力學模型積分計算的結果一致，能夠準確反映目標微動特性，且計算耗時短，使用方便，符合仿真的要求。