基于α-stable分布的多目標(biāo)粒子群算法研究及應(yīng)用

樊華羽, 詹浩, 程詩信, 米百剛

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

隨著計(jì)算流體力學(xué)技術(shù)(CFD)和計(jì)算機(jī)軟硬件的快速發(fā)展，各類數(shù)值優(yōu)化算法結(jié)合先進(jìn)CFD求解器進(jìn)行高效的氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)成為研究的熱點(diǎn)[1-2]。經(jīng)過幾十年的發(fā)展，在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域先后開發(fā)出了基于遺傳算法[3]、粒子群算法[4]和差分進(jìn)化[5]等智能優(yōu)化算法的設(shè)計(jì)模式，對(duì)包括二維翼型、三維機(jī)翼、全機(jī)構(gòu)型以及飛發(fā)一體化等問題進(jìn)行了有效的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，取得了豐碩的研究成果[6-7]，其中應(yīng)用最普遍的優(yōu)化算法之一就是粒子群算法(PSO)。

粒子群算法通過模擬鳥群的覓食行為，將解空間中的設(shè)計(jì)變量當(dāng)成一群質(zhì)量和體積均為0的“鳥”，也就是所謂的粒子，將所求解問題的解當(dāng)成鳥群尋覓的“食物”，以單個(gè)粒子的最優(yōu)解和整個(gè)群體的最優(yōu)解來引導(dǎo)下一代種群的搜索，以此來趨向最優(yōu)解。該算法屬于進(jìn)化算法的一種，與遺傳算法類似，也是從隨機(jī)解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解，使用適應(yīng)度來評(píng)價(jià)解的品質(zhì)。相比遺傳算法，粒子群算法規(guī)則簡(jiǎn)單，沒有“交叉”和“變異”操作，僅是通過追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來尋找全局最優(yōu)，容易實(shí)現(xiàn)，精度高、收斂快，但是該算法的缺點(diǎn)在于進(jìn)化后期的早熟現(xiàn)象導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu)。為此，研究人員先后建立了多個(gè)改進(jìn)算法來提高其全局尋優(yōu)能力。李丁等[8]將粒子群算法和差分進(jìn)化算法結(jié)合，使得粒子群和差分群分層交換，共享最優(yōu)信息，降低了算法陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)，改進(jìn)的算法在對(duì)RAE288翼型的減阻優(yōu)化中取得了良好的效果；陳進(jìn)等[9]提出一種反雙曲余弦函數(shù)形式的非線性慣性權(quán)重表示法，改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)的粒子群算法，并對(duì)不同厚度的風(fēng)力機(jī)翼型進(jìn)行了優(yōu)化，提高了相應(yīng)的氣動(dòng)特性；李鑫等[10]采用基于二階振蕩和自然選擇的改進(jìn)粒子群算法對(duì)二維SC-0717超臨界翼型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，顯著提高了升阻比并降低了氣動(dòng)噪聲。

盡管改進(jìn)型算法改善了原算法容易陷入局部最優(yōu)的問題，但是多數(shù)研究仍然局限在單點(diǎn)單目標(biāo)狀態(tài)，而氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種高維強(qiáng)非線性問題，考慮多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)才能更好發(fā)揮設(shè)計(jì)的作用。為此，本文針對(duì)傳統(tǒng)的粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種基于α-stable分布的多目標(biāo)粒子群算法。該算法將α-stable分布理論引入傳統(tǒng)的粒子群算法，旨在改善粒子群智能算法的全局/局部搜索能力平衡問題。使用多個(gè)基準(zhǔn)多目標(biāo)函數(shù)對(duì)改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群算法的性能進(jìn)行了測(cè)試，并將改進(jìn)后的多目標(biāo)優(yōu)化算法應(yīng)用到RAE2822的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)比分析了改進(jìn)前后的算法在考慮減阻和力矩絕對(duì)值不減小2個(gè)目標(biāo)下的優(yōu)化效果。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

本文對(duì)于一個(gè)n維搜索空間S∈Rn,假定fi(x),i=1,…,m是定義于S的目標(biāo)數(shù)量為m的多目標(biāo)優(yōu)化向量,那么帶約束的最小化連續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化問題(muliti-objective optimization, MO)的通用數(shù)學(xué)模型可以定義如下

(1)

式中，x=[x1,x2,…,xn]是決策變量向量,變量個(gè)數(shù)為n,l和p分別是不等式約束和等式約束的數(shù)量,gj(x)是第j個(gè)不等式約束,hk(x)是第k個(gè)等式約束。目標(biāo)函數(shù)就是將決策空間映射到目標(biāo)空間,即S→Ω∈Rm。

下面給出多目標(biāo)優(yōu)化問題中常用的Pareto最優(yōu)相關(guān)定義。

定義1對(duì)于任意2個(gè)向量u=(u1,…,um)和v=(v1,…,vm),當(dāng)且僅當(dāng):?i=1,2,…,m,ui≤vi∧?j=1,2,…,m,uj

定義2有且僅有在搜索空間S中不存在任何向量x∈S使得f(x)f(x*),那么就稱決策向量x*∈S為Pareto最優(yōu)解,或者稱為非支配解。

定義3在決策空間S內(nèi)的Pareto最優(yōu)解的集合被稱為Pareto最優(yōu)解集,記為P*。Pareto最優(yōu)解集對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值稱為Pareto最優(yōu)前沿,為F*={f(x):x∈P*}。

1.2 基本粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)最初是為了模擬鳥群的飛行覓食行為而提出的。其初始化為一群隨機(jī)粒子,通過迭代尋找最優(yōu)解。在每一次迭代中,粒子通過跟蹤2個(gè)極值來更新自己:①粒子本身所找到的最優(yōu)解,稱為個(gè)體最優(yōu)值pbest;②整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解,該極值稱為全局最優(yōu)值gbest。在找到上述2個(gè)最優(yōu)值時(shí),粒子根據(jù)(2)式和(3)式來更新自己的速度和位置:

(2)

(3)

式中,c1和c2分別為認(rèn)知和社會(huì)加速系數(shù),取值范圍為[0,4],一般取為c1=c2=2;r1和r2為2個(gè)在[0,1]內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)變量。

1.3 多目標(biāo)粒子群(CDMOPSO)算法

Coello在2002年首次提出了多目標(biāo)粒子群(MOPSO)算法[11],其獨(dú)特的搜索機(jī)理使其特別適合處理多目標(biāo)優(yōu)化問題。在此基礎(chǔ)上,Raqual于2005年提出了CDMOPSO(crowding distance multi-objective PSO)算法[12],CDMOPSO將擁擠距離算子(見圖1)[13]引入PSO算法中,用于選擇引導(dǎo)粒子運(yùn)動(dòng)的最優(yōu)解以及維護(hù)存儲(chǔ)非支配解的外部檔案,增加了整個(gè)種群的多樣性,從而避免算法在早期就陷入局部最優(yōu)。此算法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn)。其具體流程見圖2。

圖1 擁擠距離計(jì)算示意圖

圖2 CDMOPSO流程圖

2 ASMOPSO算法

2.1 α-stable分布

α-stable分布是一個(gè)四參數(shù)分布函數(shù)族[14-15]是一類廣泛應(yīng)用的隨機(jī)信號(hào)模型,記為S(α,β,γ,σ),其中,α∈(0,2]是穩(wěn)定性參數(shù),β∈[-1,1]是偏斜參數(shù),γ∈(0,∞)是放大系數(shù),σ∈(-∞,∞)是位移參數(shù), 參數(shù)α和β決定了α-stable分布的形狀。

α-stable分布是一個(gè)非常豐富的分布族,它有3種特殊情況:

2) 當(dāng)α=1,且β=0時(shí)為柯西分布,記為S(1,0,γ,σ);

3) 當(dāng)α=0.5且β=1時(shí)是Levy分布,記為S(0.5,1,γ,σ)。

它的概率密度函數(shù)可以用特征函數(shù)的連續(xù)傅里葉變換來定義

(4)

式中,sgn(t)是t的符號(hào),Φ表示為

(5)

2.2 α-stable變異

在α-stable分布中,穩(wěn)定性系數(shù)α是一個(gè)非常重要的參數(shù),它描述了分布的尾跡大小,決定了生成的隨機(jī)數(shù)分布范圍。圖3給出了不同α值對(duì)應(yīng)的α-stable分布。

圖3 α對(duì)分布密度的影響

本文的PSO算法中采用α-stable分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù),對(duì)PSO種群中的個(gè)體進(jìn)行變異操作。變異過程中通過動(dòng)態(tài)調(diào)整α-stable函數(shù)的穩(wěn)定性系數(shù)α來實(shí)現(xiàn)變異范圍和幅度的變化,變化范圍為[1,2],其變化過程見圖4。在PSO程序循環(huán)的開始階段,使用較小的α值,此時(shí)變異能力強(qiáng),有助于增強(qiáng)算法的全局搜索能力,避免算法過早陷入局部最優(yōu);隨著α值逐漸變大,全局變異能力減弱,但是局部搜索能力增強(qiáng);最終α值增大為2,此時(shí)執(zhí)行的是傳統(tǒng)的高斯變異,局部搜索能力最強(qiáng),有利于提高解的精度。這種動(dòng)態(tài)α-stable變異可以很好地平衡算法的開發(fā)和探索能力,使得改進(jìn)后的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法ASMOPSO算法兼顧精度和全局搜索能力,具有更好的適用性。α-stable變異操作的偽代碼見圖5。

圖4 α值的變化過程

圖5α-stable變異偽代碼

2.3 本文提出的算法(ASMOPSO)

本文提出的ASMOPSO算法是在CDMOPSO算法的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的,其詳細(xì)實(shí)現(xiàn)步驟如下:

步驟1 設(shè)置粒子群種群POP規(guī)模為N,加速系數(shù)c1和c2,慣性系數(shù)w,外部檔案A容量NREP,變異概率pmut,給定最大迭代步數(shù)Imax,設(shè)置外部檔案A=φ;

步驟2 對(duì)于種群中的每個(gè)粒子(i=1,…,N),隨機(jī)初始化位置Xi,初始速度設(shè)置為Vi=0,計(jì)算初始目標(biāo)向量值f(Xi),初始化粒子的最優(yōu)位置pi=Xi;

步驟3 令t=0;對(duì)種群中所有粒子進(jìn)行Pareto比較,將非支配粒子儲(chǔ)存在外部檔案A中;

步驟4t=t+1;計(jì)算外部檔案A中的非支配解的擁擠距離,將非支配解按照擁擠距離值大小降序排列;

步驟5 對(duì)于POP中的每個(gè)粒子(i=1,…,N):從外部檔案A中頂部一定比例(例如10%)的非支配解中隨機(jī)選擇一個(gè)作為全局最優(yōu)粒子pg;用公式(2)和(3)更新粒子的速度和位置;如果Xi超出搜索空間邊界,那么就設(shè)置粒子的位置為邊界值,同時(shí)將速度乘以(-1),使粒子反向移動(dòng);使用2.2節(jié)的方法對(duì)粒子執(zhí)行α-stable變異操作;計(jì)算粒子的目標(biāo)向量值f(Xi);更新粒子個(gè)體最優(yōu)位置;

步驟6 對(duì)種群POP中所有粒子進(jìn)行Pareto比較,并將新的非支配粒子與外部檔案A中非支配粒子進(jìn)行Pareto比較,將外部檔案A中的支配粒子刪除;如果外部檔案A中的非支配解的數(shù)量等于NREP,那么進(jìn)行下列操作:①計(jì)算檔案A中的每個(gè)非支配粒子的擁擠距離;②將外部檔案中的個(gè)體按照擁擠距離值降序排列;③從A中最擁擠區(qū)域(擁擠距離值最小的10%)中隨機(jī)選擇一個(gè),然后將其用新的非支配解代替;

步驟7 如果t=Imax,結(jié)束程序,否則轉(zhuǎn)到步驟4。

3 基準(zhǔn)函數(shù)測(cè)試

3.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)

要對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化算法的性能進(jìn)行全面的量化分析,需要從它們的收斂性能、解集分布的多樣性和寬廣性三方面進(jìn)行比較。本文使用反轉(zhuǎn)世代距離(inverted generation distance,IGD)來綜合評(píng)價(jià)算法的性能,IGD既能評(píng)價(jià)多目標(biāo)解集的收斂性,又能在一定程度上評(píng)價(jià)解集的分布特性。其定義如下

(6)

式中,d(v,P)表示近似解集P中的個(gè)體到真實(shí)前沿P*中個(gè)體v之間的最小歐氏距離;該算法求得的最優(yōu)解集用P表示。IGD指標(biāo)值越低,優(yōu)化結(jié)果越理想,算法性能越優(yōu)異。

3.2 參數(shù)設(shè)置

本文選擇ZDT1、ZDT2、ZDT3、ZDT4、Tanaka以及Srinivas 6個(gè)測(cè)試函數(shù)來評(píng)估ASMOPSO算法的性能[16-18],并與CDMOPSO算法進(jìn)行對(duì)比。

表1給出了6個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的基本屬性。6個(gè)測(cè)試函數(shù)中,ZDT系列函數(shù)屬于無約束的函數(shù),而Tanaka和Srinivas屬于帶有約束的多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)。ZDT系列測(cè)試函數(shù)的設(shè)計(jì)變量維度高,優(yōu)化難度大,特別是ZDT3函數(shù)的Pareto前沿是非連續(xù)的,ZDT4函數(shù)是一個(gè)多峰值函數(shù),擁有多個(gè)局部最優(yōu)前沿。Tanaka的Pareto前沿曲線被分為三段,其中中間段的水平和垂直部分由于解之間的差異比較小,是最難搜索的部分。Srinivas是一個(gè)具有2個(gè)設(shè)計(jì)變量和二目標(biāo)帶約束的優(yōu)化問題,但其具有的2個(gè)非線性約束項(xiàng)給優(yōu)化問題還是帶來了一定的困難。CDMOPSO和ASMOPSO算法的初始種群大小均取為100,最大循環(huán)次數(shù)為200,慣性權(quán)值w從0.9線性遞減為0.4,加速系數(shù)c1=c2=2.0,變異概率為0.4。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

續(xù)表1

函數(shù)名稱維數(shù)變量范圍函數(shù)目標(biāo)與約束注解ZDT230[0,1]minf1(x)=x1minf2(x)=g1-f1g()2()g(x)=1+9∑ni=2xi(n-1)凹函數(shù) ZDT330[0,1]minf1(x)=x1minf2(x)=g1-f1g-f1g()sin(10πf1)()g(x)=1+9∑ni=2xi(n-1)非連續(xù)凸函數(shù) ZDT410x1∈[0,1]xi∈[-5,5]i=2,…,nminf1(x)=x1minf2(x)=g1-f1g()g(x)=1+10(n-1)+∑ni=2(x2i-10cos(4πxi))多模態(tài)凸函數(shù) Srinivas2[-20,20]minf1(x)=2+(x1-2)2+(x2-1)2minf2(x)=9x1-(x2-1)2s.t. e1(x)=x21+x22≤225 e2(x)=x1-3x2+10≤0凸函數(shù) Tanaka2(0,π]min f1(x,y)=xmin f2(x,y)=ys.t.-x2-y2+1+0.1cos16arctanxy()≤0 x-12()2+y-12()2-12≤0非凸不連續(xù)函數(shù)

3.3 函數(shù)測(cè)試結(jié)果分析

對(duì)每個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行30次獨(dú)立運(yùn)行之后的IGD值統(tǒng)計(jì)結(jié)果列于表2,表中AVE表示平均值,STD表示標(biāo)準(zhǔn)差。從表中數(shù)據(jù)可以看出,本文提出的ASMOPSO在4個(gè)ZDT函數(shù)上的性能都優(yōu)于CDMOPSO,尤其在優(yōu)化難度較大的ZDT3和ZDT4函數(shù)上的優(yōu)勢(shì)明顯;對(duì)于2個(gè)帶約束的函數(shù),CDMOPSO的IGD均值都略小于ASMOPSO,但是差距都非常小。

表2 CDMOPSO算法與ASMOPSO算法的IGD指數(shù)比較

圖6和圖7給出了2種算法任意一次優(yōu)化搜索到的近似Pareto解與真實(shí)Pareto前沿的比較?？梢钥闯龈倪M(jìn)后的ASMOPSO算法獲得非支配解與真實(shí)Pareto前沿的偏差很小,而且都均勻地分布在真實(shí)前沿上,特別是在求解ZD4測(cè)試函數(shù)時(shí)表現(xiàn)出了非常優(yōu)異的性能。圖9和圖10表明CDMOPSO在處理ZDT4這種多模態(tài)問題時(shí)尋優(yōu)能力欠佳,同時(shí)CDMOPSO生成的ZDT3前沿也沒有均勻地分布在真實(shí)前沿上,且Pareto解的數(shù)量明顯偏少。

圖6 CDMOPSO測(cè)試函數(shù)結(jié)果

圖7 ASMOPSO測(cè)試函數(shù)結(jié)果

4 工程應(yīng)用

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的多目標(biāo)粒子群算法的優(yōu)化性能,將其應(yīng)用于RAE2822翼型跨音速優(yōu)化設(shè)計(jì)。

4.1 優(yōu)化模型的建立

以RAE2822翼型在Ma=0.73,α=2.79°,Re=6.5×106時(shí)最小化阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)絕對(duì)值不減小為目標(biāo)進(jìn)行外形優(yōu)化設(shè)計(jì)[19]。約束條件為升力系數(shù)大于原始翼型的升力系數(shù)值,同時(shí)保持翼型的最大厚度不減小。由此可得優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

(7)

式中，X是設(shè)計(jì)變量向量,Cd是阻力系數(shù),Cm是力矩系數(shù),Cl是升力系數(shù),cmax是翼型的最大厚度,上標(biāo)*表示初始翼型的計(jì)算值。

本文的翼型參數(shù)化使用型函數(shù)為6階Bernstein多項(xiàng)式的CST方法。翼型上下表面各取6個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù),共12個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。圖8～11顯示了RAE2822初始翼型的CST參數(shù)化結(jié)果。從圖中可以看出,CST參數(shù)化后的上翼面外形與原翼型幾乎完全重合,而下翼面在x/c=0.1～0.5段誤差較大。從數(shù)值上看上翼面的最大擬合誤差小于0.000 2,下翼面的最大擬合誤差小于0.000 5,而在工程中對(duì)于翼型最大擬合誤差小于0.001(弦長(zhǎng)為1時(shí)),則認(rèn)為該參數(shù)化方法能精確擬合當(dāng)前翼型。從圖12可知經(jīng)過CST參數(shù)化后的擬合翼型表面的Cp分布基本與原翼型重合,下表面有較小的差異,主要集中在x/c=0.2～0.5這一段,上表面的Cp分布的差異較大,在前緣附近未能很好的捕捉負(fù)壓鼓包區(qū),在翼型中部,激波出現(xiàn)的比原始翼型稍早,但是差異不是很明顯;而表3則直觀說明了2種翼型的氣動(dòng)力特性差別非常小,升力系數(shù)和阻力系數(shù)的相對(duì)誤差都小于1%,力矩系數(shù)誤差略大,為1.6%。參數(shù)化結(jié)果表明本文選用的基于6階Bernstein多項(xiàng)式的CST方法可以較為精確地描述RAE2822翼型的設(shè)計(jì)空間。

圖8 上翼面外形擬合結(jié)果 圖9 上翼面外形擬合誤差 圖10 下翼面外形擬合結(jié)果

圖11 下翼面外形擬合誤差

圖12 RAE2822翼型CST參數(shù)化后壓力系數(shù)比較

參數(shù)值原始翼形CST-BPn6誤差/% Cl0.758 00.754 6-0.45 Cd0.017 70.017 6-0.56 Cm-0.087 3-0.085 9-1.60

4.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

采用本文改進(jìn)的ASMOPSO和CDMOPSO 2種方法對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行跨音速多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)并對(duì)比兩者的優(yōu)化效果。2個(gè)優(yōu)化算法的種群規(guī)模均為100,兩者的外部檔案大小為100;慣性系數(shù)為0.4～0.9。認(rèn)知加速系數(shù)和社會(huì)加速系數(shù)C1=C2=2.0。ASMOPSO優(yōu)化算法中的系數(shù)α變化范圍為1.0～2.0。2種算法的迭代步數(shù)均為100步。

由圖13可知,多次優(yōu)化后,ASMOPSO優(yōu)化算法得到的非支配解集分布均勻,而且比CDMOPSO的優(yōu)化結(jié)果更接近真實(shí)Pareto前沿。所以后續(xù)的對(duì)比中,僅需要與原始翼型對(duì)比即可。由于多目標(biāo)解集更能客觀的反應(yīng)優(yōu)化問題的真實(shí)內(nèi)涵,選取點(diǎn)更能符合不同設(shè)計(jì)人員的需求,那么在均衡操縱性和減阻效果下,如圖13所示,取Pareto前緣的中間一點(diǎn)。在此點(diǎn)下的氣動(dòng)數(shù)據(jù)如表4所示。圖14與圖15分別為原始翼型與優(yōu)化后翼型的幾何外形比較與Cp分布比較?？梢钥闯鰞?yōu)化后翼型,最大厚度位置向后移動(dòng),前緣壓力峰值和上翼面中部的局部壓力變化有明顯的減緩。圖16與圖17的壓力云圖可以看出優(yōu)化翼型激波明顯減小。因此在此取點(diǎn)下的優(yōu)化結(jié)果具有良好的阻力特性和力矩特性。

圖13 RAE2822翼型優(yōu)化后的Pareto前緣

表4 優(yōu)化前后的氣動(dòng)數(shù)據(jù)比較

圖14 翼型表面壓力分布對(duì)比

圖15 優(yōu)化翼型外形對(duì)比

圖16 原始翼型壓力云圖

圖17 ASMOPSO優(yōu)化后翼型壓力云圖

5 結(jié) 論

本文針對(duì)CDMOPSO算法容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn),結(jié)合α-stable分布理論,建立了改進(jìn)的ASMOPSO多目標(biāo)優(yōu)化算法。使用多個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)對(duì)比測(cè)試了改進(jìn)前后的算法性能,并將改進(jìn)算法應(yīng)用到了RAE2822翼型跨聲速多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,得到的結(jié)論有:

1) 引入α-stable分布理論在PSO算法中對(duì)種群進(jìn)行變異操作,根據(jù)α-stable分布隨穩(wěn)定系數(shù)α來的特點(diǎn),通過改變?chǔ)林祦韯?dòng)態(tài)調(diào)整優(yōu)化過程中的變異強(qiáng)度和范圍,使得改進(jìn)后的ASMOPSO算法較原始算法具有更好的局部和全局搜索兼顧能力。

2) 無約束的ZDT系列函數(shù)和帶約束的Tanaka和Srinivas的測(cè)試結(jié)果顯示,改進(jìn)后的算法能夠有效引導(dǎo)非支配解逼近真實(shí)Pareto前沿,尤其是對(duì)多峰值ZDT4函數(shù)的求解,表明改進(jìn)后的算法在處理多模態(tài)問題時(shí)有很強(qiáng)的尋優(yōu)能力;

3) RAE2822翼型的跨聲速減阻和俯仰力矩系數(shù)絕對(duì)值不減小的綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)中,新的ASMOPSO算法得到的結(jié)果明顯優(yōu)于CDMOPSO。